Cardinal quantitatif
Voici le lien Wikiversité sur le Cardinal quantitatif :
https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif
et la page de discussion qui lui est associée :
https://fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif
N'oubliez pas de consulter le message suivant de cette discussion : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1776042,1800894#msg-1800894
NB : Mes travaux sont accessibles, pour peu que l'on s'en donne les moyens, que l'on connaisse les rudiments de base de la théorie de la mesure et de l'intégration, ainsi que les rudiments de base de la topologie générale, ainsi que quelques notions classiques de Licence, surtout de L1-L2, et que l'on consulte la table des matières ou que l'on parcourt l'ensemble du document, et que l'on prenne le temps de s'habituer à certaines notations.
D'une, il ne faut pas se contenter de survoler mes travaux, et, de deux, il ne faut pas se laisser rebuter par le début et, notamment, par "Remarque préliminaire" (pourtant très éclairante), "Avant propos" et "Introduction" (Elle aussi très éclairante), et se désister sur et abandonner tout le reste.
Pour certaines sections, il est, clairement, indiqué qu'il faut les omettre ou les zapper dans un 1er temps, et il est, aussi, clairement, indiqué qu'il ne faut pas lire certaines parties de certaines sections, en 1ère lecture ou en 1ère approche :
Il est bon de tenir compte de toutes ces indications.
Peut-être que le problème vient, aussi, des notations, notamment, celles des "plafonnements à l'infini", dont j'ai donné , pourtant, la définition, à plusieurs reprises.
Cf. aussi :
La discussion : L'art de bien communiquer, en mathématiques et, en particulier, le message suivant : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1801706,1801800#msg-1801800
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1776042,1781842#msg-1781842
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1776042,1781998#msg-1781998
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1776042,1782184#msg-1782184
Veuillez émettre vos avis et vos conseils.
Si malgré tout, mes efforts vous paraissent, encore, insuffisants : N'hésitez pas à me le dire et à me le faire savoir et à me dire pourquoi. J'attends des réponses constructives. Donnez-moi les numéros voire les titres des sections ou des sous-sections qui, selon vous, posent problème.
Mais la recherche consiste pour une large part à débattre, longuement, d'un brouillon de mathématiques, plus ou moins vague et plus ou moins informel, et à le faire évoluer, pour l'améliorer, le faire progresser et le faire aboutir et faire en sorte qu'il devienne un texte mathématique à part entière.
C'est, justement, le cas, de ma recherche sur le "Cardinal quantitatif", même si elle n'en est plus à ses premiers {stades|balbutiements} et est devenue "relativement aboutie".
La recherche ne consiste pas à pondre des textes mathématiques, de manière toute cuite et achevée.
https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif
et la page de discussion qui lui est associée :
https://fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif
N'oubliez pas de consulter le message suivant de cette discussion : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1776042,1800894#msg-1800894
NB : Mes travaux sont accessibles, pour peu que l'on s'en donne les moyens, que l'on connaisse les rudiments de base de la théorie de la mesure et de l'intégration, ainsi que les rudiments de base de la topologie générale, ainsi que quelques notions classiques de Licence, surtout de L1-L2, et que l'on consulte la table des matières ou que l'on parcourt l'ensemble du document, et que l'on prenne le temps de s'habituer à certaines notations.
D'une, il ne faut pas se contenter de survoler mes travaux, et, de deux, il ne faut pas se laisser rebuter par le début et, notamment, par "Remarque préliminaire" (pourtant très éclairante), "Avant propos" et "Introduction" (Elle aussi très éclairante), et se désister sur et abandonner tout le reste.
Pour certaines sections, il est, clairement, indiqué qu'il faut les omettre ou les zapper dans un 1er temps, et il est, aussi, clairement, indiqué qu'il ne faut pas lire certaines parties de certaines sections, en 1ère lecture ou en 1ère approche :
Il est bon de tenir compte de toutes ces indications.
Peut-être que le problème vient, aussi, des notations, notamment, celles des "plafonnements à l'infini", dont j'ai donné , pourtant, la définition, à plusieurs reprises.
Cf. aussi :
La discussion : L'art de bien communiquer, en mathématiques et, en particulier, le message suivant : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1801706,1801800#msg-1801800
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1776042,1781842#msg-1781842
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Si malgré tout, mes efforts vous paraissent, encore, insuffisants : N'hésitez pas à me le dire et à me le faire savoir et à me dire pourquoi. J'attends des réponses constructives. Donnez-moi les numéros voire les titres des sections ou des sous-sections qui, selon vous, posent problème.
JLT a écrit:Tu dis encore "je ne sais pas le définir de manière formelle et générale". Voilà justement le problème ! Un mathématicien doit tout définir de manière formelle, précise et rigoureuse. Si tu ne le fais pas, ton texte n'est pas un texte de mathématiques (au mieux, c'est un brouillon de maths).
Mais la recherche consiste pour une large part à débattre, longuement, d'un brouillon de mathématiques, plus ou moins vague et plus ou moins informel, et à le faire évoluer, pour l'améliorer, le faire progresser et le faire aboutir et faire en sorte qu'il devienne un texte mathématique à part entière.
C'est, justement, le cas, de ma recherche sur le "Cardinal quantitatif", même si elle n'en est plus à ses premiers {stades|balbutiements} et est devenue "relativement aboutie".
La recherche ne consiste pas à pondre des textes mathématiques, de manière toute cuite et achevée.
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Réponses
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Cordialement
Dom
Ce lien m'évitera de poster d'éventuelles nouvellles versions sur Les-mathematiques.net, qui risqueraient de faire désordre.
J'aurais dû opter pour cette solution depuis longtemps.
A GaBuZoMeu, je n'apprécie pas qu'on émette un avis sur la version la plus récente de mes travaux, sans même l'avoir lue :
Elle a grandement changé et évolué, depuis.
Par ailleurs, je n'apprécie pas le déplacement de ma discussion, dans le sous-forum Shtam, qui est par définition, même si c'est sans le dire, dédié aux travaux farfelus.
Les miens l'ont été en grande partie, pendant un temps, mais le sont sans doute beaucoup moins.
Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir résolu en quelques pages des conjectures célèbres qui résistent depuis longtemps : Je ne pense pas avoir montré des résultats importants ou difficiles : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus ni moins, à faire "péter" de la quantité infinie, encore plus fou, plus fort et plus finement, que Cantor. Par ailleurs, je souhaite que les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal équipotentiel" s'imposent.
Mes travaux ne sont pas nouveaux concernant une petite classe de variétés de $\R^n$ (PV) :
La classe des sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de $\R^n$, de classe ($\mathcal{C}^0$) et ($\mathcal{C}^1$ par morceaux), de dimension $i \,\, (0 \leq i \leq n)$.
La mise au point de la définition des "plafonnements à l'infini", n'est pas si difficile que ça, techniquement parlant, et ne mérite pas que j'en obtienne mille louanges, par contre cette idée si simple soit-elle a pas mal d'implications et permet de calculer et de comparer et de distinguer, les cardinaux quantitatifs de variétés fermées, convexes (connexes). non bornées, de $\R^n$, éventuellement de classe ($\mathcal{C}^0$) et ($\mathcal{C}^1$ par morceaux), de dimension $i \,\, (0 \leq i \leq n)$.
$\R^n$ ayant plusieurs "plafonnements à l'infini" :
Par exemple, avec mes nouvelles notations et en proscrivant les anciennes, dans ce cas précis :
$\displaystyle{\Bigg[\R^n,{\Big(\overline{B_{\R^n}(0_n,r)}\Big)}_{r \in \N}\Bigg] = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow +\infty} \overline{B_{\R^n}(0_n,r)}}$ et $\displaystyle{\Bigg[\R^n,{\Big({[-r,r]}^n\Big)}_{r \in \N}\Bigg] = \lim_{r \in \N, \,\, r \rightarrow +\infty} {[-r,r]}^n}$
et on a : $\Bigg[\R^n,{\Big(\overline{B_{\R^n}(0_n,r)}\Big)}_{r \in \N}\Bigg] \neq \Bigg[\R^n,{\Big({[-r,r]}^n\Big)}_{r \in \N}\Bigg]$
Soit $\mathcal{R}_n$ un repère orthonormé direct de $\R^n$, d'origine $0_n$,
on a ${card}_{Q,\mathcal{R}_n}\Bigg(\Bigg[\R^n,{\Big(\overline{B_{\R^n}(0_n,r)}\Big)}_{r \in \N}\Bigg]\Bigg) \neq {card}_{Q,\mathcal{R}_n}\Bigg(\Bigg[\R^n,{\Big({[-r,r]}^n\Big)}_{r \in \N}\Bigg]\Bigg)$,
et il n'y a pas de contradiction, contrairement à la notation usuelle,
on a même dépassé la contradiction qui existait avec la notation usuelle, bien entendu, ce faisant, on a changé de système, mais ce système est meilleur.
Certes, il faut être implacable concernant le jugement et l'évaluation de travaux finaux. Mais la grande majorité des matheux et des mathématiciens professionnels nient ce que sont les coulisses de la recherche et donc les coulisses de leurs propres recherches (qu'hypocritement, ils ne se risquent, jamais et sous aucun prétexte, à déballer, de peur et par crainte de subir les représailles et les railleries d'une bonne partie de leurs pairs, contrairement à moi), lorsqu'ils jugent fermement, durement et implacablement voire définitivement, les travaux en cours, des autres, surtout des mathématiciens amateurs, divulgués sur les forums, même si, effectivement, au final, beaucoup d'entre eux le méritent, vraiment. Cela peut avoir des conséquences fâcheuses, car des travaux en cours, jugés négativement sur certains forums, voire définitivement, sur une période donnée, peuvent finir par prendre une tournure positive, et, malgré tout, ne, plus jamais, être jugés comme tels, et ne, plus jamais, recevoir l'approbation de ces mêmes forums, définitivement, cantonnés à leurs jugements définitifs et obtus.
Par ailleurs, il se peut, malgré nous, que ce que nous écrivons, ne soit pas maladroit, mais soit mal lu ou mal compris, sans avoir tenu compte du contexte, et que cela puisse créer des malentendus, et il se peut aussi, malgré nous, que nous soyons maladroits et que ce que nous écrivons ne corresponde pas à {notre pensée|nos pensées} et que cela puisse aussi créer des malentendus, et que dans les 2 cas, ces malentendus soient, parfois, et l'expérience l'a prouvé, irréversibles, et qu'en conséquence, un interlocuteur donné, nous quitte, définitivement, et quitte, définitivement, la discussion.
Je souhaite, simplement, avant tout, et fortement, qu'on juge mes travaux, dans leur forme actuelle, et non qu'on continue de {tenir compte des|prendre en compte les} jugements qu'on a pus avoir d'eux, dans leurs formes passées, surtout, si ces derniers ne sont plus d'actualité, notamment et, surtout, sur mon ancienne page de discussion Wikipedia, sous mon pseudonyme "Guillaume De Normandie", qui n'avait pas lieu d'être, et sur le forum Les-mathematiques.net, mais aussi, à moins forte raison, sur le forum Maths-Forum.
Avec un niveau moyen, en mathématiques, je me suis attaqué et je m'attaque toujours, quasiment seul, au problème difficile de la généralisation du cardinal quantitatif (notion optimale de quantité d'éléments) à toutes les parties de $\R^n$ (bornées et non bornées), alors il est tout à fait normal, que je connaisse, rencontre et commette un grand nombre d'erreurs et d'écueils, sur ma route, et que je me sois beaucoup exposé, avec d'autres travaux, à en parler sur Les-mathematiques.net :
Les mathématiciens professionnels ne s'exposent pas, comme moi, je l'ai fait, et ne montrent pas et même jamais, la part informelle, pourtant importante, conséquente, fondamentale et essentielle, de leurs travaux, et n'envoient ou ne postent ces derniers que quand ils estiment avec leurs pairs, qu'ils sont, parfaitement, au point :
Mais moi, je demandais de l'aide et je ne dispose pas de leurs moyens.
Certes, j'ai un niveau moyen, en mathématiques, mais certains intervenants extrapolent des conclusions fausses, hâtives et non fondées, sur ce dernier, en se basant sur les discussions portant sur mes travaux de recherche mathématiques personnels, car, concernant ces derniers, j'ai et il y a tellement de choses à prendre en compte et en considération, de travail, de modifications, de rectifications et de versions successives et intermédiaires, à fournir, voire de retours en arrière, avant d'aboutir à une version finale potable exprimant toutes mes intuitions, parfois en les chamboulant en partie, qu'à chaque étape ou chaque stade, je ne peux avoir la présence d'esprit de penser, absolument, à tout, et qu'il reste, nécessairement, des zones d'ombre, des choses qui m'échappent ou qui m'ont échappées et des parties, des passages et des formules inaboutis, inachevés et imparfaits voire faux, régressifs ou en suspend ou n'ayant pas de sens ou tout leur sens, en l'état :
Et que, selon les souhaits des intervenants Des-mathematiques.net, je n'aurais dû garder que pour moi-même, jusqu'à ce que ma version soit absolument impeccable, irréprochable et parfaite, mais ce qu'ils oublient, c'est que dans cette phase brouillonne, je demandais de l'aide.
Lis au moins la "Remarque préliminaire", les "Avant propos 1 à 3" et l'"Introduction",
et puis après, tout le reste.
Si tu as les compétences pour comprendre les rudiments de base de la théorie de la mesure et de l'intégration,
si tu as des notions de base sur les et surtout si tu as des représentations mentales et spatiales des sous-variétés et des mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff de dimension $i\,\,(0 \leq i \leq n)$, sur $\R^n$,
et que tu possèdes quelques notions de topologie,
ainsi que d'analyse classique de Licence,
alors tu as les compétences pour comprendre mes travaux.
Pour les formules donnant le cardinal quantitatif de certaines parties de $\R^N$ et impliquant les mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i\,\,(0\leq i \leq N)$, sur $\R^N$, voir :
===Théorème (formule de Steiner-Minkowski, pour les polytopes de $\R^N$, de dimension $N$)===
===Théorème (formule donnant le cardinal quantitatif d'un polytope de $\R^N$, de dimension $N$, en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)===
===Corollaire (formule donnant le cardinal quantitatif d'une sous-variété compacte, convexe, connexe de $\mathbb{R}^N$, de classe [$C^0$] et [$C^1$ par morceaux], de dimension $N$, en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)===
Tu ne vas, tout de même, pas me dire qu'après avoir posté plus de 9000 messages sur Les-mathematiques.net, tu n'as, toujours, pas le niveau.
Au cas où, j’écris celui-là ;-)
Non, non, très sérieusement, je ne sais même pas définir « sous-variété ».
A défaut de savoir définir une "sous-variété", tu peux en avoir des représentations :
Par exemple une feuille de papier, légèrement, courbée ou non, avec son bord, est une sous-variété compacte (c-à-d fermée, bornée) de $\R^3$, de dimension $2$, de classe ($\mathcal{C}^0$) et ($\mathcal{C}^1$ par morceaux).
la même, sans son bord, est une sous-variété ouverte, bornée, de $\R^3$, de dimension $2$, de classe ($\mathcal{C}^0$) et ($\mathcal{C}^1$ par morceaux).
Dans le cas où cette feuille de papier est non courbée, alors c'est un convexe de $\R^2 \times \{0\}$ et de $\R^3$, en considérant que $0_3$ est le centre de la feuille et que cette dernière est contenue dans $\R^2 \times \{0\}$.
Dans le cas où elle est courbée ou non, c'est une surface et la mesure de Lebesgue généralisée ou de Hausdorff, de dimension $2$, sur $\R^3$, permet de mesurer l'aire de cette surface.
Je quitte le navire quand même.
Bon courage.
Dom
Les personnes qui ont obtenu l'agrégation, en étant dans les 50 premiers voire moins, en savent bien plus que moi en mathématiques et les maîtrisent bien mieux que moi.
Math Coss aurait pu me donner les raisons de son retrait.
Peut-être faut-il croire, vu que les mathématiques sont vastes, que ce dont je parle dans mes travaux ne relèvent pas de son domaine de compétences, et que malgré le fait qu'il possède une vaste culture mathématique bien plus grande et bien plus solide que la mienne, il ne maîtrise pas le peu de mathématiques que j'utilise dans mes travaux et qui sont nécessaires pour les comprendre.
Mais je ne crois pas trop à cette hypothèse.
Il y a quelque chose qui le repousse et qui le rebute, voire le révulse.
S'il ne veut pas me donner tous les points concernés parce que ce serait trop long et trop long à expliquer, qu'il m'en donne certains, maintenant, et d'autres, un autre jour, et ainsi de suite :
Ça me permettra peut-être d'améliorer mes travaux, mais il faut que ce qu'il dise ne soit pas trop vague et soit suffisamment précis.
Si oui, on s'en branle.
[Tout comme de ton avis Joapa ! :-D AD]
C'est mal comprendre mes travaux et leur intérêt.
Mais, je peux le comprendre avec mes interventions antérieures sur ce sujet, en grande partie mauvaises et brouillonnes, qui en ont déçues plus d'un.
C'est le lot de tout mathématicien professionnel, de connaître de telles périodes brouillonnes, surtout et d'avantage à ses débuts, mais lui n'en parlera pas, ne les divulguera pas et les gardera pour lui et ses collègues proches.
Mais je crois que j'ai sensiblement amélioré la forme de mes travaux, depuis ma dernière intervention, avant cette discussion, il y a plusieurs années.
De donner la notion optimale de quantité d'éléments d'un ensemble, et non un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble, comme c'est le cas de la notion usuelle de cardinal, concernant les ensembles infinis.
On a : $[-1,1] \subsetneq [-2,2]$ et $[-1,1]$ {est équipotent à|peut être mis en bijection avec} $[-2,2]$
donc ${card}_{Q,\mathcal{R}}([-1,1]) < {card}_{Q,\mathcal{R}}([-2,2])$ et ${card}_{E}([-1,1]) = {card}([-1,1]) = {card}([-2,2]) = {card}_{E}([-2,2])$ .
$\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([-2,2]) - 1}{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([-1,1]) - 1} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([-2,2[) }{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([-1,1[) } = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([0,4[) }{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([0,2[) } = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([0,2[ \bigcup [2,4[) }{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([0,2[) } = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([0,2[) + {card}_{Q,\mathcal{R}}([2,4[) }{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([0,2[) }}$
$\displaystyle{= \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([0,2[) + {card}_{Q,\mathcal{R}}([0,2[) }{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([0,2[) } = \frac{2 \,\,{card}_{Q,\mathcal{R}} ([0,2[) }{{card}_{Q,\mathcal{R}} ([0,2[) } = 2 = \frac{{vol}^1([-2,2])}{{vol}^1([-1,1])}}$
A l'intervalle $[-1,1]$, j'associe la grandeur ${card}_{Q,\mathcal{R}}([-1,1])$ qui est le cardinal quantitatif, relatif au repère orthonormé $\mathcal{R}$ de $\R$, d'origine $0$, de l'intervalle $[-1,1]$.
Plus généralement, soient $I$ et $J$ des intervalles bornés, non vides et non réduits à un singleton,
alors on a $\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{I}) - 1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\overline{J}) - 1} = \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\stackrel{\circ}{I}) + 1}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\stackrel{\circ}{J}) + 1} = \frac{{vol}^1(I)}{{vol}^1(J)}}$.
On peut généraliser cette formule aux variétés compactes, convexes, (connexes) de $\R^n$, de classe ($\mathcal{C}^0$) et ($\mathcal{C}^1$ par morceaux), et de dimension $i \,\, (0 \leq i \leq n)$,
et concernant cette classe de parties, c'est la notion optimale de quantité d'éléments d'un ensemble, puisque, sur cette classe de parties, c'est une mesure qui ne néglige aucun point, avec pour toute partie $A$ appartenant à cette classe de parties : $\forall x \in A, \,\, {card}_{Q,\mathcal{R}}(\{x\}) = 1$.
A Foys :
Editer mes messages de très nombreuses fois est une question de prudence, de précaution et de sécurité, afin d'être exhaustif et de supprimer toutes les erreurs et les passages ambigus ou mal exprimés : C'est si vite fait d'oublier de dire certaines choses, de commettre des erreurs et de produire des passages pas assez bien ou mal exprimés, sur un tel sujet, où il y a beaucoup de paramètres à prendre en considération : Il faut que mes messages soient absolument parfaits, car sinon je risque de m'attirer les foudres, les incompréhensions et les moqueries.
A chaque fois que je poste ou que j'édite un message sur Les-mathematiques.net, j'ai un peu la pression.
Par ailleurs, à part obtenir quelques aperçus avant de poster, je n'ai pas le temps d'attendre, car je suis impatient de répondre aux questions qui m'ont été posées et car il suffirait d'un problème technique, pour que j'ai tout à recommencer et à retaper.
Je préfère améliorer mes messages, par éditions successives, même si je devrais plutôt le faire par aperçus successifs.
Sinon, Foys, peut-être que tu as de meilleures capacités et un meilleur potentiel intellectuel que moi (le QI ne correspond pas à notre intelligence à proprement parler, mais à notre potentiel intellectuel : Notre intelligence est relative à ce qu'on fait de notre potentiel intellectuel, et à ce qu'on est prêt à investir), qui te rend la rédaction de messages longs et techniques, plus facile.
Ce que tu as dit là, ne veut, strictement, rien dire.
C'est là des questions épineuses auxquelles je ne répondrai pas :
Je dirai toutefois que pour $\Q$, elle est liée à la densité des couples de nombres premiers entre eux, dans $\Z^2$ :
$\displaystyle{ d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(a,b) = 1\} \bigcup \{(0,0)\}) = \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\,| \,\, {pgcd}(a,b) = 1\} \bigcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}}$
$\displaystyle{= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\,| \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, {pgcd}(a,b) = 1\} \bigcup \{0\})}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)}= \frac{{card}_{Q, \mathcal{R}} (\Q)}{{card}_{Q, \mathcal{R}}(\Z^2)} = d_{Q,\mathcal{R},\Z^2}(\Q)}$
où $d_{Q,\mathcal{R},B}(A)$ est la densité quantitative, relative au repère orthonormé $\mathcal{R}$ de $\R^2$ (ou de $\Z^2$), de l'ensemble $A$ par rapport à l'ensemble $B$ :
Cf. définition et conditions d'application données dans "Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb{R}^n$, Partie 1",
de ma page de recherche dont le lien url est https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif
ou, plus précisément, si le lien fonctionne, https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1
On sait que si $p_n$ est la probabilité pour que deux entiers choisis aléatoirement (loi uniforme sur $[1 ; n]$) plus petits que $n$ soient premiers entre eux, alors la limite de $p_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $\dfrac{6}{\pi^2}$.
Cordialement,
Rescassol
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=1
et un document posté sur ce fil:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php?14,file=7802,filename=GF.pdf
Je pense que l'on peut montrer que :
$\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Q)}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}$
$\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{\displaystyle{\frac{a}{b}} \,\, | \,\, (a,b) \in {(\Z^*)}^2, \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigcup \{0\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}$
$\displaystyle{=\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\} \bigcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2)}}$
$\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow +\infty} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\Z^*)}^2 \bigcap {[-n,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\}\bigcup \{(0,0)\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\Z^2 \bigcap {[-n,n]}^2)}}$, si cette limite existe,
$= \cdots \,\, Je \,\, ne \,\, sais \,\, pas \,\, comment \,\, faire \,\, pour \,\, aller \,\, plus \,\, loin.$
D'après le message de Rescassol ou Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux, on sait que :
$\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(\N^*)}^2\Big)}}$
$\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow +\infty} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {\N}^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}$
$\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow +\infty} p_n}$
$\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}$
Donc
$\displaystyle{\frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N^*)}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}\Big({(-\N^*)}^2\Big)}}$
$\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow +\infty} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in {(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2 \,\, | \,\, pgcd(|a|,|b|) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}({(-\N)}^2 \bigcap {[-n,-1]}^2)}}$
$\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow +\infty} \frac{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\{(a,b) \in \N^2 \bigcap {[1,n]}^2 \,\, | \,\, pgcd(a,b) = 1\})}{{card}_{Q,\mathcal{R}}(\N^2 \bigcap {[1,n]}^2)}}$
$\displaystyle{= \lim_{n \in \N, \,\, n \rightarrow +\infty} p_n}$
$\displaystyle{= \frac{6}{\pi^2}}$
Je te renvoie à "Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb{R}^n$, Partie 1",
de ma page de recherche dont le lien url est https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif
ou, plus précisément, si le lien fonctionne, https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif#Partie_1
et à "Série de remarques 1", de la page de discussion associée à ma recherche, dont le lien url est https://fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif
ou, plus précisément, si le lien fonctionne, https://fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif#S%C3%A9rie_de_remarques_1
JLT,
le 1er lien que tu donnes, dans ton message plus haut, date et ne me fera pas bonne presse.
Rajout et remarque :
A propos de ce lien :
Soit $n \in \N^*$.
Je ne possédais pas le formalisme et les notations nécessaires pour définir et désigner le bord, l'adhérence et l'intérieur d'une variété topologique quelconque de dimension $i(0 \leq i \leq n)$ de $\R^n$, sauf dans le cas où $i = n$.
Par contre il y a des idées intéressantes quand même. Notamment l'idée de la couche de peinture me plait bien : on prend un ensemble $E\subset \R^n$ "gentil" on définit la fonction $\varphi : r \mapsto \lambda(E+B(0,r))$ et on regarde le développement limité (s'il existe) de $\varphi $ en $0$. Le terme constant est simplement $\lambda(E)$ mais les termes suivants vont donner d'autres informations, par exemple pour un disque le terme constant est l'aire du disque et le terme suivant son périmètre. Je veux bien croire au lien entre le coefficient du terme de plus haut degré et la caractéristique d'Euler de l'ensemble $E$ dans certains cas.
Bref, en modifiant un peu le truc je pense qu'il y a moyen de faire du pdf "la saga du "cardinal"" un vrai pdf de math et intéressant . Par contre ça ne sera pas novateur.
Mauvaise compréhension de ma part : la caractéristique d'Euler (à support compact). est le terme constant du "cardinal".
Il n'y a pas de mauvaise compréhension, c'est juste que j'adopte un autre point de vue et les termes se retrouvent plus ou moins inversés. Si $D$ est le disque unité alors $\lambda (D + B(0,r)) = \pi (1+r)^2 = \pi + 2\pi r +r^2$ et le terme constant est bien l'aire de $D$.
2°) La caractéristique d'Euler ne présente pas grand intérêt pour les convexes compacts. Steiner-Minkowski est a priori pour les convexes compact. Mais pour les ensembles non convexes, voir le 5e épisode du texte, et en particulier ce qui y est dit pour les variétés compactes
Réponse : C'est normal, puisque ma page de recherche Wikiversité sur le "Cardinal quantitatif" ne se contente pas de reprendre une partie des résultats de "La saga du "cardinal" " de M.C., mais cherche, aussi, à aller au delà.
De plus, ma page de recherche Wikiversité mentionne ou cherche à mentionner certains résultats de "La saga du "cardinal" " de manière plus explicite, plus précise, plus formelle et plus détaillée.
Donnez moi des conseils pour mieux organiser ma page de recherche Wikiversité.
Il y a peut-être des paragraphes ou des sections plus prioritaires et/ou plus éclairants et/ou plus clairs et/ou plus présentables que d'autres, qui devraient et qui doivent peut-être passer {en 1er|avant les autres}.
Peut-être que mon texte est trop complexe, en l'état, et qu'il faut que je le simplifie.
[Entre autre, je peux omettre les $"\widetilde{\,\,\,\,\,\,}"$ concernant les intervalles "$\widetilde{(a,b)}$ ".
C'est fait (04-03-2019, 18h35)]
Mon texte n'est pas si fouillis et si cabalistique qu'il n'y paraît ou qu'il n'en a l'air, mais peut-être qu'il faut que je fasse une refonte de la table des matières, en proposant un plan plus simple, plus clair et plus lisible.
Peut-être que je formalise trop et que je n'explique pas assez par des phrases.
Il y a des passages que je peux omettre dans un 1er temps et/ou qui ne servent pas dans la définition de la notion de cardinal quantitatif sur $\R^n$.
Il n'empêche que certains paragraphes correspondent à un travail nécessaire afin de fournir une formalisation propre et aboutie, que n'a pas voulue fournir M.C. ou pour laquelle il s'est abstenu.
Peut-être faudrait-il aérer et espacer d'avantage le texte, afin que les paragraphes soient visibles et ainsi gagner en clareté :
Initialement, je l'avais fait, mais Anne Bauval a tout {resserré|tassé}.
[Je viens d'aérer plusieurs passages (04-03-2019, 15h39)]
NB : Vu son inutilité et par souci de clareté, je viens de supprimer une sous-section de la section Définition du cardinal quantitatif et j'ai supprimé tous les passages qui y faisaient allusion (04-03-2019, 18h33).
Dois-je remanier les Avant propos 1, 2 et 3, ainsi que l'Introduction ? :
Il faut savoir que ces parties ont été, grandement, purgées de propos, jugés, a priori, inutiles et n'apportant rien, au débat, au sujet du cardinal quantitatif, mais qui apportaient, néanmoins, des précisions contextuelles ainsi que des précisions sur certaines haines, rancoeurs et vengeances personnelles et sur certains règlements de compte, qui ne sont pas, toujours, bons à dire ni à révéler ou à dévoiler, même s'ils sont sincères et si c'est à juste titre, et que l'on peut retrouver dans les "Passages que l'on peut omettre" dans les liens donnés au début de la page https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif.
Je viens de simplifier la notation "$\mathcal{P}_{C,C,C,C^1}(\R^N)$" en "${PV}(\R^n)$" ou en "${PV}_i(\R^N)$", suivant les cas, j'ai introduit la notation "${\mathcal{P}olytope}_i(\R^n)$" qui se distingue de la notation "${\mathcal{P}olytope}(\R^n)$", qui, de fait, a légèrement changé de sens, version de mes travaux du (07-03-2019, 15h19).
Les sections suivantes, ont été modifiées en conséquence, mais les modifier est parfois délicat, de fait je peux m'être parfois trompé :
===Théorème (formule de Steiner-Minkowski, pour les polytopes de $\R^N$, de dimension $N$)===
===Théorème (formule donnant le cardinal quantitatif d'un polytope de $\R^N$, de dimension $N$, en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)===
===Corollaire (formule donnant le cardinal quantitatif d'une sous-variété compacte, convexe, connexe de $\mathbb{R}^N$, de classe [$C^0$] et [$C^1$ par morceaux], de dimension $N$, en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)===
[Je pense qu'on devrait mettre de bons PV, dans un autre sens du terme, à tous ceux qui, dès à présent, ne comprennent, toujours, pas mes travaux.]
Si, je n'arrive pas à me faire comprendre, c'est qu'il y a un sérieux et gros problème, alors même que je ne suis pas quelqu'un de fou ou de dérangé :
Mais le problème est que personne ne me donne les raisons profondes, concrètes voire immédiates de ce problème et que je n'arrive pas à les voir ni à les saisir.
Par rapport à ce qu'étaient mes travaux sur le cardinal quantitatif, la dernière fois que je suis venu sur les-mathematiques.net, il y a plusieurs années, j'ai fait de gros efforts et de gros progrès, et malgré tout, je n'en suis pas récompensé.
J'ai travaillé des centaines d'heures sur ce projet, pour qu'il est sa forme actuelle.
Il ne faut pas être effrayé et se laisser impressionner par la table des matières, et lire mes travaux, linéairement, du début jusqu'à la fin ou les faire défiler et consulter les sections, au hasard.
A tous : N'oubliez pas de jeter un coup d'oeil et de me donner votre avis sur les messages de cette discussion suivants :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1776042,1776636#msg-1776636
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1776042,1776650#msg-1776650
Remarque : Ça va être difficile pour moi, de faire beaucoup mieux que la version de "Recherche:Cardinal quantitatif" du (10-03-2019, 14h41), sur Wikiversité :
Mes travaux sont accessibles, pour peu que l'on s'en donne les moyens, que l'on connaisse les rudiments de base de la théorie de la mesure et de l'intégration, ainsi que les rudiments de base de la topologie générale, ainsi que quelques notions classiques de Licence, surtout de L1-L2, et que l'on consulte la table des matières ou que l'on parcourt l'ensemble du document, pour savoir où une notion utilisée dans une section est définie, et que l'on prenne le temps de s'habituer à certaines notations.
Je ne pense pas avoir raconté beaucoup de bêtises.
Moi, j'arrive à me comprendre et à comprendre où je veux en venir, dans chaque passage de mes travaux :
Il faut croire que je n'ai pas le même mode de fonctionnement que les intervenants Des-mathematiques.net, dans ma façon d'appréhender et de comprendre les mathématiques.
NB : Il faut attendre un peu, avant que les pages ne s'affichent.
Les adresses url des sections ci-dessous dont les titres contiennent du LaTeX ne sont pas stables :
Si les liens renvoient au début de la page générale : Il faudra se rendre aux sections concernées via la table des matières.
Les paragraphes suivants de ma page de recherche sur le cardinal quantitatif sont-ils éclairants ?
Remarque
Définition d'une chaîne exhaustive de parties de $\R^n$ (respectivement $\R''^n$, cas à omettre dans un 1er temps), pour l'inclusion, allant de l'ensemble $\emptyset$ à l'ensemble $\R^n$ (respectivement à l'ensemble $\R''^n$, cas à omettre dans un 1er temps) et contenant l'origine d'un repère orthonormé direct
Réponse : Peut-être que les 2 liens suivants, surtout le début de la page du 1er lien suivant, seront plus explicatifs et t'éclaireront à propos de l'existence et de la nature de cet objet, mais sinon le cardinal quantitatif de $[0;1]$ est, tout simplement, la ({vraie|véritable}) quantité d'éléments de $[0;1]$, contrairement au cardinal équipotentiel de $[0;1]$ ou au cardinal classique de $[0;1]$, qui est plutôt un ordre de grandeur de cette ({vraie|véritable}) quantité d'éléments de $[0;1]$ :
Remarque
Proposition (Proposition 1.4 de GF, dans les PDF de Michel COSTE)
Théorème (formule de Steiner-Minkowski, pour les polytopes de $\R^N$, de dimension $N$)
Théorème (formule donnant le cardinal quantitatif d'un polytope de $\R^N$, de dimension $N$, en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)
Corollaire (formule donnant le cardinal quantitatif d'une sous-variété compacte, convexe, connexe de $\mathbb{R}^N$, de classe [$C^0$] et [$C^1$ par morceaux], de dimension $N$, en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$ https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif#Corollaire_(formule_donnant_le_cardinal_quantitatif_d'une_sous-vari%C3%A9t%C3%A9_compacte,_convexe,_connexe_de_%7F'%22%60UNIQ--postMath-00000321-QINU%60%22'%7F,_de_classe_[%7F'%22%60UNIQ--postMath-00000322-QINU%60%22'%7F]_et_[%7F'%22%60UNIQ--postMath-00000323-QINU%60%22'%7F_par_morceaux],_de_dimension_%7F'%22%60UNIQ--postMath-00000324-QINU%60%22'%7F,_en_fonction_du_cardinal_quantitatif_de_l'intervalle_%7F'%22%60UNIQ--postMath-00000325-QINU%60%22'%7F)
Exemples 1
Revenons aux parties bornées de $\mathbb{R}^n$, en particulier aux parties compactes, convexes, (connexes), de $\mathbb{R}^n$, avec $n = 2$
2 calculs du cardinal quantitatif de $\R^2$ aboutissant à des résultats différents, suivant que l'on adopte 2 plafonnements à l'infini, {associés à|de} $\R^2$, différents, autour de l'origine $O_2(0,0)$ d'un même repère orthonormé direct ${\cal R}_2$ de $\R^2$
Tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\mathbb{R}^n$
Même question avec la page de discussion associée à ma recherche :
https://fr.wikiversity.org/wiki/Discussion_Recherche:Cardinal_quantitatif
Est-ce que le long paragraphe suivant de définition du cardinal quantitatif est satisfaisant ? Comment vous y prendriez-vous et comment feriez-vous pour l'améliorer ?
https://fr.wikiversity.org/wiki/Recherche:Cardinal_quantitatif#D%C3%A9finition
Peut-être qu'écrire certaines sections est trop technique et que je me noie trop dans le formalisme.
Personne ici, ne s'engage comme moi je l'ai fait et ne cherche à mettre les mains dans le cambouis.
C'est sûr le texte de M.C. est plus lisible, plus clair et plus compréhensible que le mien :
C'est normal, puisque ma page de recherche Wikiversité sur le "Cardinal quantitatif" ne se contente pas de reprendre une partie des résultats de "La saga du "cardinal" " de M.C., mais cherche, aussi, à aller au delà.
De plus, ma page de recherche Wikiversité mentionne ou cherche à mentionner certains résultats de "La saga du "cardinal" " de manière plus explicite, plus précise, plus formelle et plus détaillée.
C'est oublier que M.C. n'a pas fait un travail propre et abouti et n'a pas donné tous les détails et qu'il a dû procéder, parfois, implicitement, à des identifications d'objets mathématiques, par isomorphisme.
Je pense que M.C.est l'un des rares qui pourrait m'aider, mais il ne viendra pas.
Et bien, justement, Corto, tu pourrais m'aider à atteindre cet objectif : Tu verras que ce n'est pas aussi simple que tu le penses, notamment, si on veut parler, proprement, du cardinal quantitatif sur $PV(\R^n)$.
D'ailleurs, M.C. se garde bien de donner certaines démonstrations et en particulier sur les points les plus techniques, et je n'ai donc pas pu les fournir.
Par contre et par ailleurs, je pense qu'on peut aller au delà des résultats mentionnés dans ce PDF, et être, justement, novateur.
Anne Bauval, une intervenante de la Wikiversité, m'a aidé dans mon travail, mais l'avait rendu moins lisible en le resserrant et en le tassant trop, par ailleurs en voulant supprimer et remanier des parties du texte, à juste titre, il lui est arrivé de commettre quelques erreurs, notamment, entre autre, dans "Remarque préliminaire", et donc certains passages, parfois, fondamentaux n'ont donc pas, nécessairement, pu être bien compris {de|par} tous.
@Fin de partie :
Même en zappant : "Remarque préliminaire", "Avant propos 1 à 3" (Je les ai fusionnés) et "Introduction", ainsi que certaines sections ou parties de sections pour lesquelles, il est clairement, indiqué qu'elles sont, au moins, à zapper, dans un 1er temps.
A part, surtout, "Remarque préliminaire", "Avant propos 1 à 3" (Je les ai fusionnés) et "Introduction" qu'il est est recommandé de lire, il n'y a pas tellement de blabla sous forme de phrases habituelles,
et pour certaines sections, il est, clairement, indiqué qu'il faut les omettre ou les zapper dans un 1er temps, et il est, aussi, clairement, indiqué qu'il ne faut pas lire certaines parties de certaines sections, en 1ère lecture ou en 1ère approche :
Il est bon de tenir compte de toutes ces indications et recommandations.
Si tu regardes bien, mes égalités, et mes passages d'une étape à une autre, dans mes calculs et dans mes raisonnements, ils ne présentent aucunes difficultés :
Pour la plupart, il suffit de savoir faire des calculs classiques avec des mesures et des intégrales impliquant ces mesures : Rien de bien méchant.
J'aimerais que tu sois plus précis, dans ce que tu dis, car tes propos dans leur forme actuelle, ne m'aident pas et ne me sont d'aucune utilité, car ils ne me disent pas, exactement, où sont et quels sont les problèmes.
Peut-être que la plupart de mes raisonnements et de mes calculs sont {bons|justes}, et qu'ils ne sont malgré tout pas compris de la majorité d'entre vous, à cause de la forme qui vous rebute :
Si tel est le cas, c'est problématique.
Peut-être que le problème vient des notations, notamment, celles des "plafonnements à l'infini", dont j'ai donné, pourtant, la définition, à plusieurs reprises.
D'une, il ne faut pas se contenter de survoler mes travaux, et, de deux, il ne faut pas se laisser rebuter par le début et notamment, par "Remarque préliminaire" (pourtant très éclairante), "Avant propos" et "Introduction" (Elle aussi très éclairante), et se désister sur et abandonner tout le reste.
Si tous les lecteurs sont comme toi, c'est sûr, je comprends mieux pourquoi ils ne comprennent pas mes travaux.
Soit $n \in \N^*$.
'''Si $I$ est un ensemble totalement ordonné et si $A \in {\cal P}(\R^n)$, est une partie fermée, non bornée, convexe, (connexe), de $\R^n$ (éventuellement, de classe [$C^0$] et [$C^1$ par morceaux]), et si ${(A_i)}_{i \in I} \subset {\cal P}(\R^n)$, est une famille de parties compactes, convexes, (connexes), de $\R^n$ (éventuellement, de classe [$C^0$] et [$C^1$ par morceaux]) et si $\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = A}$, alors on exclut cette notation et on lui préfère la notation plus précise et dépendante de la famille ${(A_i)}_{i \in I}$, $\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}$.'''
'''De plus, il semble qu'on ait : (A remplacer, par "Conjecture : " conformément aux remarques de JLT, plus bas) ''' $\displaystyle{card_{Q,\cal R}\Big ([A,(A_i)_{i\in I}]\Big)=card_{Q,\cal R}(\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)}A_i)=\lim_{i\in I,\,\,i\to\sup(I)} card_{Q,\cal R}(A_i)}$.
Est-ce que les définitions suivantes sont compréhensibles ? :
Définitions :
A) Soient $a, b \in \overline{\R}, \,\, a<b$.
On pose et on note : $+ \infty_\R = +\infty$.
On note :
*$\cal F\left(\left(a,b\right[\right)$ :
l'ensemble des fonctions $f \,\, : \,\, \left(a,b\right[\to\R$, continues, strictement croissantes, telle que $\displaystyle{\lim_{b^-}f=+\infty_\R}$
et pour lesquelles (Je sais, il y a un hic concernant cette condition, mais peut-être faut-il, juste, la supprimer, tout bonnement, purement et simplement. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?) $\not\exists g,h \,\, : \,\, \left(a,b\right[\to\R$, telles que $f=g+h$,
avec $g$ continue, strictement croissante, telle que $\displaystyle{\lim_{b^-}g=+\infty_\R}$, et $h$ continue, '''« oscillante » (en un sens que je n'ai pas défini''') (En réaction au remarque de JLT, plus bas : Mais tout le monde sait ce qu'est une fonction oscillante, en général);
*$+\infty_{\lim,f,b}$ ou bien $+\infty_f$, s'il n' y a aucune confusion possible :
la classe d'équivalence de $f \in \cal F\left(\left(a,b\right[\right)$, pour la relation d'équivalence définie dans
*$+\infty_{\cal F\left(\left(a,b\right[\right)}$ :
l'ensemble des $+\infty_f$ pour $f\in\cal F\left(\left(a,b\right[\right)$.
A') Si $f$ a une expression « élémentaire » (en un sens que je n'ai pas défini)(En réaction aux remarques de JLT, plus bas : Cf. ma remarque à ce propos après le message de JLT, plus bas) au voisinage de $+\infty_\R$, je la prolongerai en une application (encore notée $f$) définie sur $\left(a,b\right[\cup\{+\infty_{id_\R}\}$ en posant :
$f\left(+\infty_{id_\R}\right)=+\infty_f$,
où $id_\R$ est l'application identité de $\R$.
Mes relations d'équivalence et d'égalité sont définies par :
$\displaystyle{+ \infty_f = +\infty_g\Longleftrightarrow f\underset{b^-}{\sim} g\Longleftrightarrow \lim_{b^-}(f-g)=0}$.
Mes relations d'ordre ('''hélas pas totales''') sont celles dont les ordres stricts sont définis par :
$\displaystyle{+\infty_f<+\infty_g \Longleftrightarrow f \underset{b^-}{<} g\Longleftrightarrow\lim_{b^-}(f-g)<0}$.
Je n'irai pas plus loin, pour le moment, tant je pense que la compréhension de ces définitions est cruciale et que ces définitions mal comprises ou incomprises sont la cause principale des incompréhensions qu'on impute à mes travaux.
"il semble qu'on ait"
"Je sais, il y a un hic concernant cette condition"
"en un sens que je n'ai pas défini" (2 fois)
Je ne vais quand même pas avoir le culot d'être affirmatif, lorsque je ne suis pas certain, et je ne pense pas qu'il soit bon de m'abstenir, pour autant :
Tu oublies que ce n'est pas l'exposition d'une théorie finalisée, mais d'une recherche en cours, même si elle est plus proche d'une théorie finalisée.
De plus ce "il semble qu'on ait" ne fait pas partie de la définition d'un "plafonnement infini", mais constitue une précision concernant le cardinal quantitatif.
Concernant le "Je sais, il y a un hic concernant cette condition", il ne faut pas oublier de lire la suite qui précise "mais peut-être faut-il, juste, la supprimer, tout bonnement, purement et simplement. Mais cela ne sera-t-il pas problématique ?"
Le "en un sens que je n'ai pas défini" (2 fois) : C'est Anne Bauval intervenante de la Wikiversité, qui les a ajoutés :
Mais, tu sais ce qu'est une fonction oscillante en général.
De plus, par exemple si $f \,\, : \,\, \R \to \R : \,\, x \,\, \mapsto \,\, \Bigg\{ \begin{array} 3x +5 & \text{si} \,\, x \in \R_-\\ \displaystyle{\frac{e^{-x}}{6x+2}} & \text{si} \,\, x \in \R_+^*\end{array}$, $f$ a une expression élémentaire sur $\R_-$, et $f$ a une expression élémentaire sur $\R_+^*$, c'est intuitif, mais je ne sais pas le définir de manière formelle et générale.
Dis JLT, tu ne peux pas faire d'autres remarques plus sérieuses, allant au delà des simples remarques que tu as faites, c'est là que je t'attends et que je vous attends tous.
1) Tu dis encore "je ne sais pas le définir de manière formelle et générale". Voilà justement le problème ! Un mathématicien doit tout définir de manière formelle, précise et rigoureuse. Si tu ne le fais pas, ton texte n'est pas un texte de mathématiques (au mieux, c'est un brouillon de maths). Si une définition n'est pas précise, il est impossible d'écrire une démonstration rigoureuse utilisant cette définition.
2) "Je ne vais quand pas avoir le culot d'être affirmatif, lorsque je ne suis pas sûr, et je ne pense pas qu'il soit bon de m'abstenir pour autant" : oui c'est très bien de savoir reconnaître que tu n'es pas sûr de certaines affirmations, mais si tu veux avoir un texte clair, il faudrait que les assertions soient étiquetées convenablement.
* Si tu es sûr de quelque chose, écris "Théorème/proposition : (...)" suivi de "Démonstration : (...)"
* Si tu n'es pas sûr, écris "Conjecture/Question ouverte : (...)"
sinon le lecteur n'y se retrouve pas.
Par ailleurs, il existe des fonctions $g \,\, : \,\, \R \,\, \to \,\, \R$, qui, à part, l'expression que l'on note $\forall x \in \R, \,\, g(x)$, ont une expression (élémentaire) aléatoire, en chaque point ou sur chaque singleton, ou, plutôt, une valeur (élémentaire) aléatoire, en chaque point, et qui sont telles qu'on ne peut les exprimer avec les fonctions usuelles.
De toute façon, si je n'arrive pas à définir pour certaines fonctions $f \,\,: \,\, \R \,\, \rightarrow \,\, \R$, le fait que "$f$ a une expression élémentaire sur $A \in \mathcal{P}(\R)$", je supprimerai la condition qui lui est relative.
@JLT
Mais la recherche consiste pour une large part à débattre, longuement, d'un brouillon de mathématiques, plus ou moins vague et plus ou moins informel, et à le faire évoluer, pour l'améliorer, le faire progresser et le faire aboutir et faire en sorte qu'il devienne un texte mathématique à part entière.
C'est, justement, le cas, de ma recherche sur le "Cardinal quantitatif", même si elle n'en est plus à ses premiers {stades|balbutiements} et est devenue "relativement aboutie".
La recherche ne consiste pas à pondre des textes mathématiques, de manière toute cuite et achevée.
===Corollaire (formule donnant le cardinal quantitatif d'une sous-variété compacte, convexe, connexe de $\mathbb{R}^N$, de classe [$C^0$] et [$C^1$ par morceaux], de dimension $N$, en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)===
et tout ce qui est autour,
est difficile à énoncer correctement et formellement, en utilisant les seules indications laissées par Michel COSTE, dans "La saga du "cardinal"", car c'est très technique du point de vue des indices et des notations;,
et il y a encore plus de difficultés à le généraliser en :
===Corollaire (formule donnant le cardinal quantitatif d'une sous-variété compacte, convexe, connexe de $\mathbb{R}^N$, de classe [$C^0$] et [$C^1$ par morceaux], de dimension $i$, pour $i \in \N_N$, en fonction du cardinal quantitatif de l'intervalle $[0,1[$)===
C'est vraiment, très délicat, j'ai peur en modifiant le texte et en cherchant à le corriger, à le rectifier et à l'améliorer, de m'embourber voire de m'embourber, encore, d'avantage, et de faire empirer les choses.
Pourtant, même si la forme ne vous convient pas, vous rebute ou vous déroute :
Avec mes derniers correctifs, je sais que je n'ai pas raconté n'importe quoi ou, du moins, s'il y a du n'importe quoi, cela ne concerne qu'une partie minoritaire, qui n'a pas assez été travaillée, malgré le gros travail que j'ai fourni.
1) Ce ne sont pas les efforts qui ont manqué.
2) Ce que je vais dire là est un peu fort mais :
Au lieu d'utiliser ton état d'esprit, ta mentalité, ta bornitude, ton conformisme et ton carcan de mathématicien ou de matheux pointilleux et obtu, qui te rend aveugle et te bloque face à la signification ou au sens de mes travaux et qui bugue ou qui cale au moindre petit problème :
Lis les de manière plus naturelle, plus spontanée, plus intuitive et avec du bon sens, bon sang.
Tu sais, tu n'es plus en classe prépa, avec tes élèves ou tes étudiants.
Je ne le dis pas qu'à toi.
(Rajout : Il faut dire que j'ai fait et que je fais tout mon possible pour que mes travaux sur le "Cardinal quantitatif" soient au point, et malgré tout ça ne suffit toujours pas :
J'ai de quoi être énervé et exaspéré, et il est donc normal que je finisse par émettre ce genre de réponse ou de propos, plus haut)
La recherche consiste pour une large part à débattre, longuement, d'un brouillon de mathématiques, plus ou moins vague et plus ou moins informel, et à le faire évoluer, pour l'améliorer, le faire progresser et le faire aboutir et faire en sorte qu'il devienne un texte mathématique à part entière.
La recherche ne consiste pas à pondre des textes mathématiques, de manière toute cuite et achevée.
3) Les manipulations formelles avec le cardinal quantitatif, ne font intervenir que la $\sigma$-additivité et les passages à la limite impliquant la continuité.
Lorsque je passe à la limite sous le signe somme, cela ne pose pas de problème, puisque les sommes concernées sont finies.
Des prolongements de fonctions continues sont données, notamment le prolongement du cardinal quantitatif défini sur ${\mathcal{P}olytope}(\R^n)$, à ${PV}(\R^n)$.
Les calculs avec les intégrales impliquent des intégrales par rapport à des mesures et en particulier, par rapport à la mesure cardinal quantitatif, sur la classe de parties bornées de $\R^n$, où c'est une mesure.
Sinon lorsque la $\sigma$-additivité ne fonctionne plus avec les parties non bornées de $\R^n$, dans la théorie classique, elle fonctionne à nouveau, sur une classe de parties non bornées de $\R^n$, avec les "plafonnements à l'infini" dont les notations excluent les notations classiques, concernant la notion de limite d'une famille de parties de cette même classe de parties non bornées de $\R^n$, et qui contournent et dépassent les contradictions, rencontrées avec la théorie classique.
NB : La différence entre les 2 théories tient à peu de choses.
Quant à tout ce qui est relatif aux "$+\infty_f$" pour $f \in \mathcal{F}((a,b[)$ où $\mathcal{F}((a,b[)$ a été définie, elle ne concerne pas la notion de cardinal quantitatif sur $\R^n$, et on peut donc l'omettre, en première lecture.
1/ des théorèmes géniaux et des théories révolutionnaires feront leur apparition un jour sous la forme d'énoncés algébrique purement universels (ie que des forall devant des formules atomiques). On peut le prouver IL EN EXISTE.
2/ Même ces théories pourtant formelles et parfaitement ne dont pas lues si elles sont trop longues. La raison est légitime : par exemple il existe un langage L tel que la preuve de RH s'écrit en 2 lignes dans L
3/ Il n'y a rien d’illégitime à proposer des suites de calculs dans une nouvelle théorie. MAIS : ce n'est ni lu ni vérifié par les gens. Et c'est normal!!!!! Voir (2) ci dessus.
4/ C'est à toi d'introduire motivations, contextualisations, etc pour attirer les efforts de lecture sinon c'est stérile et risque de rester des graffitis intimes occupant.
-Tu mets une quantité faramineuses de remarques, préliminaires, notes, avant propos... qui obscurcissent ton texte plus qu'autre chose.
-Tu utilises sans arrêt des notions et notations que tu n'as pas encore définies, on ne peut pas lire ton texte de façon linéaire, tout est éparpillé n'importe comment.
-Tu noies le lecteur avec des montagnes de notations.
-etc
Donc quelques conseils pour améliorer la lisibilité : va à l'essentiel, fais quelque chose d'auto-contenu, fais quelque chose qui soit lisible linéairement, n'utilise rien que tu n'aies pas défini plus haut dans le texte, travaille sur tes notations pour les rendre moins lourdes etc.
Mais je pense que la vraie raison pour laquelle ton texte est illisible est qu'il ne veut rien dire.
Que cette affirmation soit vraie ou fausse, tu ne débats avec personne ici puisque personne ne comprend ce que tu racontes.
Personnellement je m'arrête là, j'aurais au moins eu le plaisir de découvrir et lire "la saga du "cardinal"".
Tu ne viendras plus sur ce fil, mais
Tout ce que tu dis dans ton dernier message plus haut est sans doute vrai, sauf cette phrase.
Moi, seul, peux, sans doute, comprendre mes travaux, et, moi, seul, peux en connaître toute la logique, tous les ressorts et tous les aboutissants, mais ils ont un sens, car sinon, cela reviendrait à dire ou à affirmer que je me suis bercé d'illusions voire que je suis fou, or je ne le suis pas.
Je me comprends tellement bien moi-même que je pensais qu'il en aurait dû être de même pour les autres et je n'ai donc pas su me mettre à leur place et me faire comprendre d'eux.
D'ailleurs, j'ai travaillé mes travaux, en étant, quasiment, seul livré à moi-même, sans aide et sans soutien :
Ce qui n'est pas forcément une bonne chose, car, ainsi, je peux persévérer, longtemps, dans mes erreurs, sans m'en rendre compte et sans qu'on me les signale.
Avec toi, je vois ce qu'il faut faire et ce qu'il me reste à faire :
Il faut que je mette tout en ordre, que je mette les définitions, avant les propositions qui y font appel, que j'élimine le superflu et que j'élimine les remarques et les notes et commentaires, à l'intérieur de mes définitions et que je les donne, après, en dehors ou à l'extérieur, voire que je simplifie certaines notations.
Il est vrai que je n'ai pas, toujours, introduit les notions, dans l'ordre et de manière linéaire, néanmoins j'ai toujours donné les définitions de tous mes objets, quelque part, même si certaines définitions peuvent ne pas être, tout à fait, au point ou être, en partie, incertaines, avec certaines conditions à supprimer ou à améliorer.
Mais mon texte est auto-contenu et si "Avant-propos" te semble obscurcir la compréhension de mes travaux, ce n'est pas le cas de "Remarque préliminaire" et "Introduction", mais si tel te semble, vraiment, être le cas, au lieu de les lire, libre à toi de les zapper.
1) Mes nombres, $+\infty_f$ pour certaines fonctions $f$, sont définis, dans la section qui leur est dédiée, même, si cette définition n'est peut-être pas parfaitement au point, mais ce que j'ai donné en donne une représentation intuitive.
2) La définition des "plafonnements à l'infini" "$[A,{(A_i)}_{i \in I}]$" a été donnée à plusieurs reprises :
Il aurait peut-être mieux fallu que je donne la définition une seule fois et que je donne des renvois vers cette définition.
3) Ma définition du cardinal quantitatif sur ${PV}(\R^n)$ a été donnée, mais des axiomes supplémentaires ont aussi été donnés pour l'étendre à une certaine classe de parties non bornées de $\R^n$ et à certaines classes de parties de ${\R''}^n$ :
Libre à toi, d'exclure tout ce qui ne concerne pas la définition du cardinal quantitatif sur ${PV}(\R^n)$ et tu retrouveras la définition donnée par M.C.
4) Pour simplifier les notations, M.C. avait posé : $\mathcal{I} = {card}_Q([0,1[)$,
donc je n'ai qu'à poser : $\mathcal{I} ={card}_{Q, \mathcal{R}}([0,1[)=_{dans \,\, ce \,\, cas} {card}_Q([0,1[)$.
Mais je ne crois pas que je peux, vraiment, aller au delà.
De plus cette simplification des notations masque un peu la signification, la nature et les paramètres des objets (manipulés).
5)De plus le document de mes travaux est devenu relativement complexe et conséquent, et les modifications ne sont pas toujours aisées à mettre en oeuvre et peuvent être ou se révéler fastidieuses.
Il va me falloir, un peu de temps, pour fournir et obtenir une version de mes travaux, qui soit conforme aux recommandations et aux attentes de Corto, dans son dernier message, avant celui-ci.
6) Concernant, ma définition du cardinal quantitatif, je la décomposerai en plusieurs définitions distinctes et je donnerai certains axiomes au passage :
Les différents cas à traiter étant :
(1) $A \in \mathcal{P}(\R^n)$ :
(a) $A \in PV(\R^n)$,
(b) $A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \,\, born\acute{e}e$,
(c) $A \in \mathcal{P}(\R^n), \,\, A \,\, non\,\, born\acute{e}e$
(2) $A \in \mathcal{P}({\R''}^n)$ :
(a) $A \in PV({\R''}^n)$,
(b) $A \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \,\, born\acute{e}e$
(c) $A \in \mathcal{P}({\R''}^n), \,\, A \,\, non \,\, born\acute{e}e$
Remarque :
${PV}(\R^n) \subsetneq \{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\} \subsetneq \mathcal{P}(\R^n)$
$\displaystyle{\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, | \,\, A \,\, non\,\, born\acute{e}e\} \subsetneq \mathcal{P}(\R^n)}$
${{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|{PV}(\R^n)} = {card}_Q$
et même ${{card}_{Q,\mathcal{R}}}_{|\{A \in \mathcal{P}(\R^n) \,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\}} = {card}_Q$
$\mathcal{P}(\R^n) \subsetneq \mathcal{P}({\R''}^n)$
${PV}({\R''}^n) \subsetneq \{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, | \,\, A \,\, born\acute{e}e\} \subsetneq \mathcal{P}({\R''}^n)$
$\displaystyle{\{A \in \mathcal{P}({\R''}^n) \,\, | \,\, A \,\, non\,\, born\acute{e}e\} \subsetneq \mathcal{P}({\R''}^n)}$
${PV}(\R^n) \subsetneq {PV}({\R''}^n)$
@christophe c :
On peut même créer un langage et un système où la démonstration de RH est triviale :
Il suffit de poser RH en axiome de ce système.
J'ai supprimé des choses superflues, mais je ne pense pas pouvoir beaucoup réduire le texte de ma théorie sur le "Cardinal quantitatif" et les exemples qui vont avec, par contre je peux mettre cette théorie et ces exemples en ordre, quitte à dédoubler le contenu de certaines définitions, en plusieurs définitions distinctes, notamment celle de la notion concernée, afin de gagner en clareté et en lisibilité.
Par ailleurs, je peux donner des notations (et des concepts) de manière encore plus synthétique (à la manière de Kant), cela améliorera la clareté et la lisibilité.