La version faible du k-tuple conjecture
Bonjour les matheux,
Il y a un an et j'essaye de comprendre les nombres premiers et comment ils se produisent,
J'ai bien compris le mechanisme de production de ces nombres et il reste donc de traduire cette comprihension a quelque chose de concret, et voila un résultat faible de la conjecture k-tuple de Hardy-Littlewood, ainsi une forme équivalente pour prouvé cette conjecture,
Voici ma démarche:
Soit $b,q \in \mathbb{P}$ et $d \in \mathbb{N}$, considérons les fonctions suivantes:
$$\Upsilon_{b,q}(d) := {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{d}{a}}\right)}.$$
$$F_b(x) := {\small \prod_{\substack{b \leq a \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{x^2}{a^2}}\right)} \,\, , \quad C_b(d) := {\small \prod_{\substack{b \leq a \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\left(\frac{d-1}{a-1}\right)^2}\right)}.$$
On a la relation:
$$\Upsilon_{b,q}(d) = {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\left(\frac{d-1}{a-1}\right)^2}\right)} {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{a}}\right)}^2 {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1+\frac{d-2}{a}}\right)}^{-1}$$
On a le 3-ème théorème de Mertens : $\displaystyle{\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{a}}\right)} \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln(q)}$
Considérons la constante $K_b := \displaystyle{\small \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{a}}\right)}$.
On a :
$$\Upsilon_{b,q}(d) \sim \left\{ \begin{array}{cl}1 & \text{ si } \ d = 0 \\\dfrac{e^{-\gamma}}{K_b \ln(q)} & \text{ si } \ d = 1 \\ \\\dfrac{C_b(d) \, e^{-2\gamma}}{K_b^2 \, F_b(d-2) \, \ln^{2}(q)} \Upsilon_{b,q}(d-2) & \text{ si } \ d \geq 2\end{array} \right.$$
C'est une formule récursive, donc pour $d \geq 2$ :
$$\Upsilon_{b,q}(d) \sim \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(d) \, e^{- d \gamma}}{F_b(0) F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{1}{\ln^d(q)} & \text{ si } \ \text{d est paire} \\ \\\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(d) \, e^{- d \gamma}}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{1}{\ln^d(q)} & \text{ si } \ \text{d est impaire}\end{array} \right.$$Maintenant considérons le k-tuple $G(d,c) = (c_1,c_2,\cdots,c_d)$, et soit l'ensemble:
$$\mathcal{B}_q := \left\{b \in \mathbb{N}^{*} \, \middle| \, \gcd(b, {\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a}})=1 \right\}$$
On considère la fonction:
$$I_{G(d,c)}(n) := \# \left\{ (b+c_1,b+c_2,\cdots,b+c_d) \in \mathcal{B}_q^{d} \, | \, b+c_d \leq n \right\}$$
Pour $n = \displaystyle {\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$ et utilisons le théorème du reste chinois :
$$I_{G(d,c)}(n) = f(d) {\small \left( \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime, }a \neq d}} {\normalsize (a-d)} \right)}$$
Pour $f(d)$ une fonction (facile à calculer), et $b$ un nombre premier.
Par exemple $G(2,c)=(0,m)$ et $n = \displaystyle {\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$ on a :
$$ I_{G(2,c)}(n) = \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime, } a | m}} (a-1) \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime, } a \nmid m}} {\normalsize (a-2)} $$
Donc :
$$I_{G(2,c)}(n) = {\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} {\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)} \right)}$$
Dans ce cas : $f(d) = \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} $
Il reste de déterminer la fonction $f(d)$ dans le cas générale, aussi le nombre premier $b$.
Voici donc la Version faible du célèbre conjecture de k-tuple de Hardy-Littlewood, on considère donc la fonction $\Upsilon_{b,q}(d)$, on peut montrer que :
$$I_{G(d,c)}(n) \sim \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}} \dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(d) \, e^{-\gamma d}}{F_b(0) F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(\log(n))^d} & \text{ si } \ \text{d est paire} \\ \\\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}}\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(d) \, e^{-\gamma d}}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(\log(n))^d} & \text{ si } \ \text{d est impaire}\end{array} \right.$$
Pour $G(2,c)=(0,m)$ on a : $I_{G(2,c)}(n) \sim \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} 2 \, C_2 \, \dfrac{n}{\log(\log(n))^2} \, e^{-2 \gamma}$ et $C_2 = C_3(2) =\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a (a-2)}{(a-1)^2}} \right)}$.
La deuxième importante idée:
Soit $q(n)$ le plus grand nombre premier qui vérifie $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)} < n$
Soit $I_n$ le nombre des nombres inférieure à $n$ et premier avec $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$, then : $$I_n \sim \dfrac{n}{\log\log(n)} \, e^{-\gamma}$$
Utilisons le Théorème de nombre premiers : $\dfrac{n}{\log(\log(n))} \, e^{-\gamma} = \dfrac{n}{\log(n)} \dfrac{\log(n)}{\log(\log(n))} \, e^{-\gamma} \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$
Voici donc la fondamentale équivalence:
$$I_n \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$$
Maintenant on conjecture que:
$$I_{G(d,c)}(n) \sim \pi_{G(d,c)}(n) \, (\pi(q(n)) e^{-\gamma})^d$$
Avec : $\pi_{G(d,c)}(n) = \# \left\{ (b+c_1,b+c_2,\cdots,b+c_d) \in \mathbb{P}^{d} \, | \, b+c_d \leq n \right\}$
Cela donne le résultat immédiat:
$$\pi_{G(d,c)}(n) \sim \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}} \dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(d)}{F_b(0) F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(n)^d} & \text{ si } \ \text{d est paire} \\ \\\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}}\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(d)}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(n)^d} & \text{ si } \ \text{d est impaire}\end{array} \right.$$
note: $\pi(n) e^{-\gamma} \sim \dfrac{n}{\log(n)} e^{-\gamma} \sim n \displaystyle{\small \prod_{\substack{a \leq n \\ \text{a prime}}} {\normalsize \left(1 - \frac{1}{a}\right)}}$
Exemple de conjectures on utilisons la conjecture on haut:
Pour $G(2,c) = (0,m)$ on a : $\pi_{G(2,c)}(n) = \pi_m(n) \sim \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} 2 \, C_2 \; \dfrac{n}{\log(n)^2}$, avec $C_2 = C_3(2) = \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a (a-2)}{(a-1)^2}} \right)}$
Pour $G(3,c) = (0, 2, 6)$ on a $f(3)=1$, et utilisons le théorème du reste chinois : $\displaystyle\#\{(b, b+2, b+6) \in \mathcal{B}_q^3 \, | \, b+6 \leq {\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a}} \} = {\small \left( \prod_{\substack{5 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-3)} \right)}$, then : $\pi_{G(3,c)}(n) \sim \dfrac{1}{6} \dfrac{C_5(3) \, n}{F_5(1) K_5^3 \log^{3}(n)}$
Dévelloppons les constatntes : $\pi_{G(3,c)}(n) \sim \dfrac{9}{2} \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{5 \leq a \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a^2 (a-3)}{(a-1)^3}} \right)} \, \dfrac{n}{\log(n)^3}$
Il y a un an et j'essaye de comprendre les nombres premiers et comment ils se produisent,
J'ai bien compris le mechanisme de production de ces nombres et il reste donc de traduire cette comprihension a quelque chose de concret, et voila un résultat faible de la conjecture k-tuple de Hardy-Littlewood, ainsi une forme équivalente pour prouvé cette conjecture,
Voici ma démarche:
Soit $b,q \in \mathbb{P}$ et $d \in \mathbb{N}$, considérons les fonctions suivantes:
$$\Upsilon_{b,q}(d) := {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{d}{a}}\right)}.$$
$$F_b(x) := {\small \prod_{\substack{b \leq a \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{x^2}{a^2}}\right)} \,\, , \quad C_b(d) := {\small \prod_{\substack{b \leq a \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\left(\frac{d-1}{a-1}\right)^2}\right)}.$$
On a la relation:
$$\Upsilon_{b,q}(d) = {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\left(\frac{d-1}{a-1}\right)^2}\right)} {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{a}}\right)}^2 {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1+\frac{d-2}{a}}\right)}^{-1}$$
On a le 3-ème théorème de Mertens : $\displaystyle{\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{a}}\right)} \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln(q)}$
Considérons la constante $K_b := \displaystyle{\small \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{a}}\right)}$.
On a :
$$\Upsilon_{b,q}(d) \sim \left\{ \begin{array}{cl}1 & \text{ si } \ d = 0 \\\dfrac{e^{-\gamma}}{K_b \ln(q)} & \text{ si } \ d = 1 \\ \\\dfrac{C_b(d) \, e^{-2\gamma}}{K_b^2 \, F_b(d-2) \, \ln^{2}(q)} \Upsilon_{b,q}(d-2) & \text{ si } \ d \geq 2\end{array} \right.$$
C'est une formule récursive, donc pour $d \geq 2$ :
$$\Upsilon_{b,q}(d) \sim \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(d) \, e^{- d \gamma}}{F_b(0) F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{1}{\ln^d(q)} & \text{ si } \ \text{d est paire} \\ \\\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(d) \, e^{- d \gamma}}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{1}{\ln^d(q)} & \text{ si } \ \text{d est impaire}\end{array} \right.$$Maintenant considérons le k-tuple $G(d,c) = (c_1,c_2,\cdots,c_d)$, et soit l'ensemble:
$$\mathcal{B}_q := \left\{b \in \mathbb{N}^{*} \, \middle| \, \gcd(b, {\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a}})=1 \right\}$$
On considère la fonction:
$$I_{G(d,c)}(n) := \# \left\{ (b+c_1,b+c_2,\cdots,b+c_d) \in \mathcal{B}_q^{d} \, | \, b+c_d \leq n \right\}$$
Pour $n = \displaystyle {\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$ et utilisons le théorème du reste chinois :
$$I_{G(d,c)}(n) = f(d) {\small \left( \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime, }a \neq d}} {\normalsize (a-d)} \right)}$$
Pour $f(d)$ une fonction (facile à calculer), et $b$ un nombre premier.
Par exemple $G(2,c)=(0,m)$ et $n = \displaystyle {\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$ on a :
$$ I_{G(2,c)}(n) = \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime, } a | m}} (a-1) \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime, } a \nmid m}} {\normalsize (a-2)} $$
Donc :
$$I_{G(2,c)}(n) = {\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} {\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)} \right)}$$
Dans ce cas : $f(d) = \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} $
Il reste de déterminer la fonction $f(d)$ dans le cas générale, aussi le nombre premier $b$.
Voici donc la Version faible du célèbre conjecture de k-tuple de Hardy-Littlewood, on considère donc la fonction $\Upsilon_{b,q}(d)$, on peut montrer que :
$$I_{G(d,c)}(n) \sim \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}} \dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(d) \, e^{-\gamma d}}{F_b(0) F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(\log(n))^d} & \text{ si } \ \text{d est paire} \\ \\\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}}\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(d) \, e^{-\gamma d}}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(\log(n))^d} & \text{ si } \ \text{d est impaire}\end{array} \right.$$
Pour $G(2,c)=(0,m)$ on a : $I_{G(2,c)}(n) \sim \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} 2 \, C_2 \, \dfrac{n}{\log(\log(n))^2} \, e^{-2 \gamma}$ et $C_2 = C_3(2) =\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a (a-2)}{(a-1)^2}} \right)}$.
La deuxième importante idée:
Soit $q(n)$ le plus grand nombre premier qui vérifie $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)} < n$
Soit $I_n$ le nombre des nombres inférieure à $n$ et premier avec $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$, then : $$I_n \sim \dfrac{n}{\log\log(n)} \, e^{-\gamma}$$
Utilisons le Théorème de nombre premiers : $\dfrac{n}{\log(\log(n))} \, e^{-\gamma} = \dfrac{n}{\log(n)} \dfrac{\log(n)}{\log(\log(n))} \, e^{-\gamma} \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$
Voici donc la fondamentale équivalence:
$$I_n \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$$
Maintenant on conjecture que:
$$I_{G(d,c)}(n) \sim \pi_{G(d,c)}(n) \, (\pi(q(n)) e^{-\gamma})^d$$
Avec : $\pi_{G(d,c)}(n) = \# \left\{ (b+c_1,b+c_2,\cdots,b+c_d) \in \mathbb{P}^{d} \, | \, b+c_d \leq n \right\}$
Cela donne le résultat immédiat:
$$\pi_{G(d,c)}(n) \sim \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}} \dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(d)}{F_b(0) F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(n)^d} & \text{ si } \ \text{d est paire} \\ \\\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}}\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(d)}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(n)^d} & \text{ si } \ \text{d est impaire}\end{array} \right.$$
note: $\pi(n) e^{-\gamma} \sim \dfrac{n}{\log(n)} e^{-\gamma} \sim n \displaystyle{\small \prod_{\substack{a \leq n \\ \text{a prime}}} {\normalsize \left(1 - \frac{1}{a}\right)}}$
Exemple de conjectures on utilisons la conjecture on haut:
Pour $G(2,c) = (0,m)$ on a : $\pi_{G(2,c)}(n) = \pi_m(n) \sim \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} 2 \, C_2 \; \dfrac{n}{\log(n)^2}$, avec $C_2 = C_3(2) = \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a (a-2)}{(a-1)^2}} \right)}$
Pour $G(3,c) = (0, 2, 6)$ on a $f(3)=1$, et utilisons le théorème du reste chinois : $\displaystyle\#\{(b, b+2, b+6) \in \mathcal{B}_q^3 \, | \, b+6 \leq {\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a}} \} = {\small \left( \prod_{\substack{5 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-3)} \right)}$, then : $\pi_{G(3,c)}(n) \sim \dfrac{1}{6} \dfrac{C_5(3) \, n}{F_5(1) K_5^3 \log^{3}(n)}$
Dévelloppons les constatntes : $\pi_{G(3,c)}(n) \sim \dfrac{9}{2} \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{5 \leq a \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a^2 (a-3)}{(a-1)^3}} \right)} \, \dfrac{n}{\log(n)^3}$
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Réponses
La version propre est ici https://math.stackexchange.com/a/3078617/276986
Je lui ai expliqué clairement pourquoi étant donné des $c_j$ on sait estimer $\sum_{n \le x} \prod_{j=1}^J 1_{gcd(n+c_j,N)= 1}$ quand $x$ est du même ordre de grandeur que $N$, pas quand $x \approx \log N$, ce qui est ce dont on a besoin pour compter les nombres premiers et les nombres premiers jumeaux. Pour $x$ petit la méthode optimale c'est le crible de Brun et le "combinatorial sieve".
La question que j'ai déjà posé c'est pour $\lambda_m(n) = \#\{p_{k+1}-p_k=m \, , \, p_{k+1} \leq n\}$,
Ce travaille parle de conjecture de Hardy-Littlewood porte sur $\pi_m(n)$ et j'ai déjà fait le travaille dure pour les nombres premiers consécutifs, alors que le cas des k-tuples est plus simple, voir:
http://lagrida.com/Fondamentale_Conjonctures_Prime_Numbers.html ($\pi_m(n)$ dans cet article est $\lambda_m(n)$ parce que j'ai fais une confusion avec la définition de $\pi_m(n)$)
Je te remercie pour ta réponse sur https://math.stackexchange.com/questions/3078408/constantes-in-asymptotique-formulas-of-consecutif-primes/3078617 il faudra un autre sujet pour donner l'autre conjecture : c'est qu'on faite on a $\lambda_m(n) \sim \pi_m(n)$
Juste lire ma méthode, c'est une nouvelle méthode qui donne des résultats pertinents il suffit de voir les exemples à la fin
Utilisons la notation dans cet publication: http://lagrida.com/prime_numbers_construction.html
On a : $\displaystyle I_p(n) := \#\{k \in \mathbb{N}^{*} \, | \, k \leq n \text{ et } k \wedge {\small \prod_{\substack{a \leq p \\ \text{a prime}}}} a = 1\}$
Et si $q$ est le nombre premier suivant de $p$ : $\displaystyle u_q(n) = I_p \left( \left\lfloor \frac{n}{q} \right\rfloor \right)$
On a: $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, n-1 = \displaystyle\sum_{\substack{a \leq n \\ \text{a primier}}} u_a(n)$
Et : $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, I_p(n) = n - \displaystyle \sum_{\substack{a \leq p \\ \text{a prime}}} u_a(n)$
Donc pour $n$ un nombre entier donné, Soit $\alpha$ le nombre premier maximal qui vérifie la division euclidienne de $n$ par primorial de $\alpha$ :
Donc $I_{\alpha}(n) = \displaystyle {\small \left( \prod_{\substack{a \leq \alpha \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-1)} \right)} t + I_{\alpha}(b)$
D'autre part on a : $I_{\alpha}(n) = n - \displaystyle \sum_{\substack{a \leq \alpha \\ \text{a prime}}} u_a(n)$
Pour $p > \alpha$ :
Donc : $I_p(n) = n - \displaystyle \sum_{\substack{a \leq \alpha \\ \text{a prime}}} u_a(n) - \sum_{\substack{\alpha < a \leq p \\ \text{a prime}}} u_a(n)$
Donc : $I_p(n) = \displaystyle {\small \left( \prod_{\substack{a \leq \alpha \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-1)} \right)} t + I_{\alpha}(b) - \sum_{\substack{\alpha < a \leq p \\ \text{a prime}}} u_a(n)$
Voir que : $t=\displaystyle (n-b) \dfrac{1}{\displaystyle {\small \prod_{\substack{a \leq \alpha \\ \text{a prime}}} {\normalsize a}}}$
Donc:
$$I_p(n) = \displaystyle (n-b) {\small \prod_{\substack{a \leq \alpha \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{a}}\right)} + I_{\alpha}(b) - \sum_{\substack{\alpha < a \leq p \\ \text{a prime}}} u_a(n)$$
Voir que cette formule est valable pour tous $n$ dans $\mathbb{N}^{*}$
Autre formule : $\displaystyle I_p(n) = 1 + \sum_{\substack{q \leq a \leq n \\ \text{a prime}}} u_a(n)$ pour $q$ le nombre premier suivant de $p$.
@Lagrida
c'est simple il y a deux cribles : Ératosthène et sa variante avec le principe de Goldbach..
Les deux cribles donnent : E) le nombre de nombres premiers P de 0 à N et G) le nombre de premiers q de N à 2N , mais en criblant toujours la même limite N fixée .
la seul différence vient du nombre de premiers qui criblent...!
Dans E) on utilise les nombres premiers $P\leqslant\sqrt{N}$ ; alors que dans G) , on utilise les nombres premiers $P\leqslant\sqrt{2N}$
Ce qui permet de vérifier, pour $N\geqslant{150}$ le nombre de premiers de N à 2N vaut au moins $\frac{N}{Ln2N}$; et qu'en principe la conjecture 2 de Hardy-Littlewood est vraie...
Où est ce que cette affirmation a été démontrée svp ?
@babsgueye
pour l'instant c'est moi qui l'affirme, c'est un corollaire du TNP, la variante du crible d'Ératosthène Le Crible G "Goldbach" utilise le même principe qu'Ératosthène , mais dans les congruences.
il n'a jamais été étudié, donc aucun mathématicien ne peut avoir démontré ce corollaire.
la limite du crible pour un entier N fixé, utilisera par conséquente les nombres premiers $P\leqslant\sqrt{2N}$ au lieu de la racine carré pour Ératosthène.
la fonction du TNP $\frac{N}{Ln N}$ qui vaut environ $\pi(N)$ fonction de compte des nombres premiers , qui caractérise Ératosthène..
Il est simple de constater par évidence, que cette fonction du TNP serra tout simplement modifié pour le crible G utilisant les premiers < ou = à la racine de 2N et qui devient donc $\frac{N}{Ln 2N}$ ...
Il n'y a même rien à démontrer car c'est une évidence de ce corollaire...sauf pour la rigueur...Mais ne te gènes pas....
On a donc la fonction $\pi(G)$ qui compte le nombre de premiers q [N ; 2N] qui vaut environ $\frac{N}{Ln 2N}$ ...etc etc.
Rassure toi le crible est démontré de façon élémentaire...c'est Ératosthène ....
il y a d'ailleurs d'autres fonction d'estimations du nombre de premiers [N ; 2N] plus précises ,@ Math Coss en avait donnée une, sur ce forum...ce n'est donc pas un scoop.
voici quelques infos sur la suite de cette fonction, lorsque la limite N du crible progresse par pas de 15 et donc de 30 pour une limite 2N...
15/ln30 = 4,41… = U1 .... pour un réel de 4.
30/ln60 = 7,32.. = U2 .... pour un réel de 7
45/ln 90= 10,00… =U3 ; , , V1 = 2* U2 – U1 = 10,24… pour un réel de 10
60/ln120 = 12,53… =U4 , , V2 = 2* U3 – U2 = 12,67… pour un réel de 13
75/ln150 = 14,96.. =U5 , , V3 = 2* U4 – U3 = 15,06… pour un réel de 14
90/ln180 = 17,33.. =U6 ; , V4 = 2* U5 – U4 = 17,40… pour un réel de 17
105/ln210= 19,63.. =U7 ; , V5= 2* U6 – U5 = 19,69… pour un réel de 19
120/ln240= 21,89.. =U8 ; , V6 = 2* U7 – U6 = 21,94… pour un réel de 22
135/ln270=24,11.. =U9 ; , V7 = 2* U8 – U7 = 24,15… pour un réel de 25
150/ln300=26,29.. =U10 ; , V8 = 2* U9 – U8 = 26,33… pour un réel de 27
165/ln330 =28,45.. =U11 ; , V9 = 2* U10 – U9 = 28,48… pour un réel de 28
180/ln360=30,58.. =U12 ; , V10 = 2* U11 – U10 = 30,60… pour un réel de 31
195/ln390 =32,68.. =U13 ; , V11 = 2* U12 – U11 = 32,70… pour un réel de 33
Bonne continuation...
Merci @LEG.
Al-Kashi
Justement , je pense que démontrer rigoureusement ce corollaire doit permettre de démontrer Goldbach.
De plus il faut savoir, qu'avec le principe de fonctionnement de ce Crible G, on peut montrer élémentairement avec un raisonnement par l'absurde, que la densité de premiers de 0 à N , ou de N à 2N est équivalente pour les 8 familles de nombres premiers, en progression arithmétique de raison 30 et de premier terme 1 ou P premier, appartenant à [7 ; 29]
( J'ai nommé ce crible Goldbach, en référence à sa conjecture et du fait que si on veut vérifier un couple de premiers (p,q) qui décompose un entier 2N en somme de deux nombres premiers, il faut bien que p ne soit congru à 2N [Pi] et Pi est obligatoirement inférieur à la racine de 2N et non de N. Car on cherche ou crible les nombres premiers q [N ; 2N] , En résumé on crible les entiers congrus 2N[Pi]... appartenant à [7 ; N])
pour info voici un aperçu du nombres de premiers criblé:
A) par Ératosthène modulo 30 de 7 à N fixé
par Goldbach modulo 30 de 7 à N mais attention , avec les $P_i\leqslant\sqrt{2N}$ suivant le principe des entiers congrus à 2N modulo Pi.
Fam = 13[30]
Pour n = 6 000 mds , nombre de premiers 17 mod 30, entre 6 000 et 12 000 mds = 25 161 218 215 en 1 625,3 secondes
Estimation par la fonction fonction 2 : ($(6*10^{12})$ / $(Ln (12*10^{12}))$) / 8 = 24 903 765 403
Pour n =7 500 mds , nombre de premiers 17 mod 30, entre 7500 et 15 000 mds = 31 217 840 128 en 2181,1 secondes
Par famille,avec Ératosthène jusqu'à $n = 3*10^{12}$ ; puis Goldbach de n à $2n = 6*10^{12}$ et de 2n à $4n= 12*10^{12}$
S.1 : 13 542 509 912 ; $[n ; 2n]$ : 12 880 166 285 ; $[6*10^{12} ; 12*10^{12}]$ : 25 161 182 182
S.7 : 13 542 540 342 ; $[n ; 2n]$ : 12 880 139 871 ; $[6*10^{12} ; 12*10^{12}]$ : 25 161 297 765
S.11 : 13 542 540 483 ; $[n ; 2n]$ : 12 880 098 499 ; $[6*10^{12} ; 12*10^{12}]$ : 25 161 266 724
S.13 : 13 542 565 275 ; $[n ; 2n]$ : 12 880 143 127 ; $[6*10^{12} ; 12*10^{12}]$ : 25 161 218 215
S.17 : 13 542 544 064 ; $[n ; 2n]$ : 12 880 152 341 ; $[6*10^{12} ; 12*10^{12}]$ : 25 161 172 074
S.19 : 13 542 516 483 ; $[n ; 2n]$ : 12 880 100 965 ; $[6*10^{12} ; 12*10^{12}]$ : 25 161 300 619
S.23 : 13 542 538 178 ; $[n ; 2n]$ : 12 880 175 597 ; $[6*10^{12} ; 12*10^{12}]$ : 25 161 230 088
S.29 : 13 542 544 014 ; $[n ; 2n]$ : 12 880 151 651 ; $[6*10^{12} ; 12*10^{12}]$ : 25 161 200 076
Pour Goldbach il y a quand même une autre évidence, les nombres premiers p qui sont congrus 2N[Pi] en rajoutant 30 à 2N il est clair que ces même nombres premiers ne peuvent être à nouveau congrus 2N+30, car il faudrait qu'ils divisent tous 30...c'est un peu la même méthode qu'Euclide... donc pour 30(k+1) ils ne sont plus congrus et ceux qui ne l'étaient pas peuvent l'être...etc
Bonne continuation.
Le TNP dit que $\pi(N) = \frac{N}{\log N} + o\left(\frac{N}{\log N}\right)$, donc le nombre de nombres premiers dans $]N, 2N]$ vaut \begin{align*} \pi(2N) - \pi(N) &= \frac{2N}{\log(2N)} - \frac{N}{\log N} + o\left(\frac{N}{\log N}\right)\\ &= N\left(\frac{2}{\log(2N)} - \frac{1}{\log N}\right) + o\left(\frac{N}{\log N}\right)\\ &= N \times \frac{2\log N - \log(2N)}{\log(2N) \log N} + o\left(\frac{N}{\log N}\right)\\ &= \frac{N}{\log (2N)} + o\left(\frac{N}{\log N}\right)\end{align*}
Bref, ton affirmation "non démontrée" est une conséquence immédiate du TNP.
c'est exact , d'où mon affirmation concernant l'estimation du nombre de nombres premiers q [N ; 2N] qui vaut G(n) soit environ $\frac{N}{log(2N)}$ lorsque n tend vers l'infini; en est une conséquence directe..via le crible d'Ératosthène et le crible G; donc cette fonction, n'a nul besoin d'une démonstration rigoureuse à mon avis....
Maintenant que cela serve à démontrer Goldbach ça c'est une autre histoire....
Par contre , le crible G permet de voire pourquoi cette conjecture est toujours vraie jusqu'à preuve du contraire , car à priori, quelque soit l'entier $2n\geqslant{30}$, que l'on décompose en somme de deux premiers; il est clair que si on augmente 2n de 30 et bien les nombres premiers P [7 ; 15(k+1)] congrus à 30(k+1) [Pi] ne peuvent pas être à nouveau congrus [Pi] puisqu'ils augmentent de 30, ils deviennent donc des décomposant de Goldbach....Maintenant le démontrer rigoureusement ce n'est peut être pas faisable, non plus avec les moyens mathématiques modernes, sinon cela aurait été démontré...!
Pour exemple: n = 300, P = 13, 47, 79 ...etc sont congrus 300[Pi] ; augmente de 30, soit 30(k+1] et bien ces trois premiers sont " libérés de leurs congruence" il vont décomposer 330...et d'autre comme 127, vont devenir congrus à 330[Pi]..etc...etc.
c'est un roulement par pas de 30....ce qui préserve les nombres premiers q [N ;2N] leur densité....qui jusqu'à preuve du contraire est toujours vrai...!
On sait aussi, qu'à partir d'une certaine limite N , la conjecture est vraie...
illustration de cet Exemple fichier join....
L'idée était de comparer $\frac{N}{log(2N)}$ avec $\varphi (N) - 1 - \frac{N}{logN}$ où ce dernier est au moins le nombre de nombres premier avec $N$ compris entre $0$ et $N$ et composés (où $\varphi$ est l'indicateur d'Euler).
En d'autres termes montrer que $\frac{N}{log(2N)} - \varphi (N) + 1 + \frac{N}{logN}$ est supérieur à $1$.
J'ai pas encore fait le calcul dans le détail, mais je pense que cette inégalité est vraie.
Un conseil, arrête avec les grosses conjectures, prends quelques bons bouquins d'arithmétique, crois moi c'est plus agréable X:-(
Al-Kashi
Alors c'est gentil, mais laisse moi dans ma lancée @Al Kashi.
Merci.
Cordialement.
Il suffit de compter le nombre des nombres $k$ et $2n-k$ qui sont premiers avec primorial de $q$ et inférieures au primorial de $q$.
Comme ça on passe aussi avec le fondamental résultat : $I_n \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$.
La relation $I_n \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$ représente une relation nombres premiers - nombres criblés
$$\forall n \in \mathbb{N}^{*} \, : \, n-1 = \displaystyle\sum_{\substack{a \leq n \\ \text{a primier}}} u_a(n)$$
On a : pour $0 \leq n < q \, , \quad u_q(n)=0$
Pour $q \leq n < q^2 \, , \quad u_q(n) = 1$,
Donc Pour $a$ un nombre premier qui vérifie $a \leq n < a^2 \iff \sqrt{n} < a \leq n$ on a : $u_a(n) = 1$
D’où $n-1 = \displaystyle\sum_{\substack{a \leq \sqrt{n} \\ \text{a primier}}} u_a(n) + \sum_{\substack{\sqrt{n} < a \leq n \\ \text{a primier}}} u_a(n)$
$$n - 1 = \displaystyle\sum_{\substack{a \leq \sqrt{n} \\ \text{a primier}}} u_a(n) + \sum_{\substack{\sqrt{n} < a \leq n \\ \text{a primier}}} 1$$
On a : $\displaystyle\sum_{\substack{\sqrt{n} < a \leq n \\ \text{a primier}}} 1 = \pi(n) - \pi(\sqrt{n})$, Donc :
$$\pi(n) - \pi(\sqrt{n}) = n - 1 - \displaystyle\sum_{\substack{a \leq \sqrt{n} \\ \text{a primier}}} u_a(n)$$
On peut montrer : $u_2(n) = \left\lfloor \dfrac{n}{2} \right\rfloor$
$u_3(n) = \left\lfloor \dfrac{n}{3} \right\rfloor - \left\lfloor \dfrac{n}{6} \right\rfloor$
......
On générale $u_q(n)$ est le nombre des nombres inférieur à $n$ et ont $q$ comme plus petit diviseur.
Exemple: Pour $n=49$
On a : $\displaystyle\sum_{\substack{a \leq \sqrt{49} \\ \text{a primier}}} u_a(49) = u_2(49) + u_3(49)+ u_5(49)+u_7(49)$
$u_2(49) + u_3(49)+ u_5(49)+u_7(49) = 24 + 8 + 3 + 2 = 37$
Donc $\pi(49) - \pi(7) = 49 - 1 - 37 = 11$ et c'est exactement le résultat :
$\pi(49) = \#\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47\} = 15$
$\pi(7) = \#\{2,3,5,7\} = 4$
Il suffit de résoudre l'équation $u_q(n)=m \geq 1$ avec l'inconnu $n$ (la solution sous forme d'intervalle) :
Soit $q$ le nombre premier suivant de $p$, et faisant la division euclidienne de $m$ par $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq p \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-1)} \right)}$ :
$$m = \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq p \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-1)} \right)} t + i \, , \quad 0 \leq i < {\small \left( \prod_{\substack{a \leq p \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-1)} \right)}$$
Soit $\beta_p(i)$ le i-ème nombre premier avec primorial $p$ et inférieur au primorial $p$ avec la convention $\beta_p(0)=-1$.
La solution de l'équation $u_q(n) = m$ est :
$$q \left( \displaystyle {\small \left( \prod_{\substack{a \leq p \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)} t + \beta_p(i) \right) \leq n < q \left( \displaystyle {\small \left( \prod_{\substack{a \leq p \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)} t + \beta_p(i+1) \right)$$
Le cas $m = 1$ on a $t=0$ et $i=1$, et il est claire que $\beta_p(1)=1$ et $\beta_p(2) = q$.
@Lagrida ;
Je pense quand même, qu'il est plus simple de cribler les nombres premiers de tes deux ensembles , plutôt que de calculer les multiples de P < n...sans les doublons....non ?
Essaye un peu avec n = 300 000 000 000 si ton pc ne plante pas:-)
Mais la question n'est pas là. En quoi la quantité de premiers entre tes deux ensembles donnerai la solution pour Goldbach..Ou même, te donnerai le nombre de couples (P,q) au minimum, qui décomposent 2N en somme de deux premiers...?
Que je sache, q ne dépend de P , que si est seulement si , il n'est pas congru à 2N[Pi].... et non à la quantité de premiers de tes deux ensembles...
Par exemple 2n = 30k + 2 , 302 quel sont les nombres premiers P et q , qui ne peuvent satisfaire la conjecture..donc que tu peux éliminer d'office....
quel sont les nombres premiers P et q que tu vas compter...?
Pour info nombre de premiers > 5 , < 302 = 59
par expérience, le nombre de couples au minimum : $\frac{151}{(log(151))^2}$ Cela fait des lustres que ce n'est pas démontré....
que montre ton exemple de calcul avec n = 302 en détail...?
Soit $p(n)$ le plus grand nombre premier qui divise $n$.
soit $q$ un nombre premier suprérieur à $p(n)$
On veut déterminer les couples $(k,n-k)$ qui vérifient : $k$ et $n-k$ sont premiers avec $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$ et $k$ inférieur à $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$
Il suffit de déterminer le nombre de solutions du systeme:
$$\left\{ \begin{array}{cl}
k & \equiv b_1[\displaystyle{\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a}}] \\ \\
n-k & \equiv b_2[\displaystyle{\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a}}]
\end{array} \right.$$
avec $b_1$ et $b_2$ ne sont divisible par aucun nombre premier $p_i \leq q$
Pour $p_i \leq q$ :
$$\left\{ \begin{array}{cl}
k & \equiv b_1[p_i] \\ \\
n-k & \equiv b_2[p_i]
\end{array} \right.$$
Le théorème du reste chinois dit que la solution est unique modulo $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$.
Pour $n$ premier avec $p_i$ on a exactement $p_i-2$ elements qui vérifient les deux équations puisque il faut deux valeurs pour éviter le $\bar{0}$
Si $p_i$ divise $n$ on a $b_1$ et $b_2$ represente la meme chose. Donc il doit évité seulement un cas pour $b_1=\bar{0}$. On a donc exactement $p_i-1$ elements.
Maintenant on utilise principe fondamentale du dénombrement :
Le nombre de couples $(k,n-k)$ qui vérifie $k$ et $n-k$ premier avec $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$ et $k$ inferieur à $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$:
$$\prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime, } a | n}} (a-1) \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime, } a \nmid n}} {\normalsize (a-2)}$$
ou encore:
$$ {\small \left( \prod_{\substack{a | n \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} {\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)} \right)}$$
je prend ton grand $P_n$ = 151 oui ou non...?
que vient faire un nombre premier q > 151 donc > n/2 pour décomposer 302....
je ne suis pas Matheux , mais ne me fais pas prendre des vessies pour des lanternes...
si ta solution était celle ci , franchement tu ne penses pas que tous les Mathématiciens qui depuis plus d'un siècle ce sont cassés les dents ....et qu'ils sont aussi mauvais pour ne pas s'en être aperçu.....?
d'autant que les deux conjectures du k-tuple ne sont toujours pas solutionner....!
avec $n = 302$ indique les couples p,q et non pas k et n-k .
$b_1 ; b_2$ ne sont divisible par aucun $P_n$ < 151 < q et si q est > 302 tu en fais quoi....?
bref, je prend : $b_1 = 181$ ; $b_2 = 173$ donc pas divisible par aucun $P_i < q$
("car si ils n'étaient pas premiers, ils seraient divisibles par $P_i$ inférieur à racine de 302 et donc bien inférieur à 151 et à $P_i < n/2 $")
je ne vois donc pas pourquoi, des entiers premiers entre eux serait des décompositions de Goldbach....quand bien même si j'avais $b_1 = 89$ ; $b_2 = 137$ ...etc ...etc
Pour info : Les décomposant $P_i$ de Goldbach pour n = 302, ne peuvent être que congrus à 1[30], 13[30] et à 19[30] tous les autres c'est du vent....!
Ta formule du principe fondamental de dénombrement te les indiques....?
Alors comptes tes couples k et n-k et la réalité avec ton principe de dénombrement, les couples p et q = 302....!
n =302 ce n'est pas la mer à boire non ?
Note :
@Poirot m'a fait une remarque au sujet de la fonction qui donne une estimation du nombre de nombres premiers q [N ; 2N] il a raison sur le fond mais pas sur la forme.
car cette fonction donne le nombre d'entiers < N qui ne sont pas congrus à 2N [Pi] par criblage selon le principe d'Ératosthène ....
Or si on était capable de distinguer les multiples de P < N et les premiers P qui sont congrus....il est évident que l'on pourrait dénombrer les nombres premiers P qui ne sont pas congrus à 2N[Pi] ; par conséquence directe, lorsque l'on change de congruence en augmentant N de 15, on connaîtrait le nombre de premiers qui ne sont plus congrus...ou leur densité, car Goldbach est une conséquence directe de ce crible et du principe de criblage...
De la même façon que l'on est capable d'estimer le nombre de premiers < N qui ont été criblés....
Mais personne n'a calculé la densité {de premiers et de multiples de P} , pris par le crible G dont la fonction : $\frac{N}{log(2n)}$ donne le nombres d'entiers non congrus.....etc ; et par voie de conséquence le nombre de nombres premiers q[N ; 2N] .....C'est bien pour cela d'ailleurs, que cette petite fonction de minoration du nombre de couples (p,q) qui décompose 2N ...fonctionne très bien $\frac{N}{(log N)^2}$ . Car cela revient à calculer uniquement les nombres premiers P < N qui sont criblé par le crible G...
C'est à dire suivant le même principe: 1) on crible jusqu'à N , Ératosthène ...dont on connaît le nombre de premiers...
Puis : 2) on crible toujours jusqu'à N suivant le même principe, uniquement les nombres premiers ..mais avec le crible G .
d'où en utilisant deux fois la fonction du TNP on arrive à cette petite fonction qui donne au minimum le nombre de premiers P qui ne sont pas congrus à 2n[Pi] ...
le principe est peut être trop simple.....
mais peut on les dénombrer..?
En plus , on peut le faire par Famille, et personne ne l'a vu......!
Exemple : @Lagrida,
comment ferais tu pour compter le nombre de couples (p,q) qui décomposent Goldbach pour 2n = 30k + 2 ; uniquement avec les entiers congrus à 1 [30] pour 2n > 30k +2 = 152 ..etc 302...
en progression arithmétique de raison 30..
Sachant que la conjecture est vraie par expérience et sans le recours des 7 autres familles ....
Note: j'ai oublié un détail, il faut savoir que le nombre de couples (A , q) où A est premier avec q il est donné tout simplement par la fonction $\frac{N}{log(2n)}$ relatif au crible G ; donc comment dénombrer les nombres premiers P , contenus dans A < N < q < 2N....????
avec les fonctions relatifs au TNP et le crible....$\frac{n}{(log (2n))^2}$ ou encore avec $P_n$ qui est le nombre de nombres premiers < n qui vont être criblé par le crible G, ce qui donne : $\frac {P_n} {log (P_n)}$
Pour $n = 302 = 2 \times 151$.
On a le nombre des couples $(k, n-k)$ qui sont premiers avec $210=2 \times 3 \times 5 \times 7$ et $k$ inférieure à $210$ est:
$$\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | n \\ \text{a prime} \\ a \leq 7}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} {\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \leq 7 \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)} \right)} = 1 \times 3 \times 5 = 15$$
Puisque $n-1 = 301 = 7 \times 43$ il faut enlever le cas $(1,301)$
Donc tu as $14$ couples!
13, 289
19, 283
31, 271
61, 241
73, 229
79, 223
103, 199
109, 193
121, 181
139, 163
163, 139
181, 121
193, 109
199, 103
On a le nombre des couples $(k, n-k)$ qui sont premiers avec $210=2 \times 3 \times 5 \times 7$ et $k$ inférieure à $210$ est:
$$\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | n \\ \text{a prime} \\ a \leq 7}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} {\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \leq 7 \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)} \right)} = \dfrac{2}{1} \times \dfrac{4}{3} \times 1 \times 3 \times 5 = 40$$
Les couples sont:
1, 599
11, 589
13, 587
17, 583
23, 577
29, 571
31, 569
37, 563
41, 559
43, 557
53, 547
59, 541
67, 533
71, 529
73, 527
79, 521
83, 517
97, 503
101, 499
107, 493
109, 491
113, 487
121, 479
127, 473
137, 463
139, 461
143, 457
149, 451
151, 449
157, 443
163, 437
167, 433
169, 431
179, 421
181, 419
191, 409
193, 407
197, 403
199, 401
209, 391
Et c'est la meme chose pour la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Ma remarque et si on comprend l'origine de cette équivalence $I_n \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$ on peut montrer toutes ces conjectures.
Bien sur il faut trouver une autre démonstration de $I_n \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$ sans passer par $\pi(n) \sim \frac{n}{\log(n)}$
Et c'est ça mon idée..
Le crible G lui donne pour n/2 : $\frac{300}{log600}$ = 46 ; premiers q [300;600] d'où effectivement certain entiers k [7 ; n/2] qui ne sont pas des nombres premiers , ni même premier avec 210...
pour n = 602 selon ta formule, il faut multiplier 40 , "ou 46" par 0,375. car il n'y a que 3 familles sur 8 qui ne peuvent être criblé pour un 30k+2...etc...ce qui donne 15 et non 40.
je met dessous le résultat du crible G pour n/2 = 301, uniquement pour les entiers congrus à 1[30] , ("on peut se limiter à une famille en progression arithmétique de raison 30 sans perte de généralité avec n >150")
Donnez la valeur de n = 30k : 301
Phase d'initialisation: 0.0 seconds ---
[1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1]
chaque [1] représente un entier en progression arithmétique de raison 30, non congrus à 602[Pi]
le premier terme [1] est le nombre 1 qui n'est pas premier , donc il ne formera pas un couple (p,q) par contre en augmentant de 30 la limite tu auras bien (31 et 601).
le crible te donne les nombres premiers q = 601, 571, 541, 421, et 331 soit 5 couples, ce qui correspond pour la fonction : $\frac{300}{log600}$ = 46, et 46 / 8 = 5,75 pour une famille...
Que donne le crible É pour la même limite criblée n/2 = 301 dans la famille 1[30]:[donc là les [0] sont les multiples de p inférieur à racine de n/2
Donnez la valeur de n = 30k : 301
Phase d'initialisation: 0.0 seconds ---
Bloc S2_s3 : 0.0 seconds ---65....
[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1]
il n'y a donc que 4 premiers P < racine de n/2, qui ne sont pas congrus sur 7 , car 8 - 1 = 7
autrement dit si je fais une passe avec le crible G, uniquement sur les nombres P, il me paraît évident d'utiliser la même fonction liée au crible G . ce qui donnerait au minimum $\frac{7} {log 14}$ = 2,65...
ou encore $\frac{300} {(log 300)^2}$ puisque l'on passe deux fois le crible G
la fonction du crible est toujours la même , elle utilise toujours les mêmes nombres premiers Pi] pour cribler...jusqu'à la même limite n/2 fixée....!
Et on sait très bien que si tu augmentes la limite n de 30 , donc 632 , ce qui donne pour n/2 = 301+15, tu augmentes alors de 30 les congruents de Pi
("congruents de Pi, veut dire les entiers qui étaient congrus à 602 [Pi]")
Or il doit bien y avoir un moyen de calculer cette densité de premiers, qui changent de congruence, lorsque n augmente de 30....!
les matheux on trouvé des formules beaucoup plus complexes sur les nombres premiers ou les diviseurs de n etc....etc. Là c'est vrai que ça ne sert à rien...
donc re criblage avec G; pour n+30 = 632, soit n/2 = 316
Donnez la valeur de n = 30k : 316
Phase d'initialisation: 0.0 seconds ---
[1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0] il est simple de vérifier que les entiers qui étaient congrus ont augmenté de 30 et inversement ceux qui ne l'étaient pas aussi ...!
91 était congru il ne l'est plus, 211 qui était congru ne l'est plus, et 181 qui n'était pas congru l'est devenu ainsi que 271....etc ....etc
Re criblage avec É pour la forme :
Donnez la valeur de n = 30k : 316
Phase d'initialisation: 0.0 seconds ---
Bloc S2_s3 : 0.0 seconds ---
[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1] pas de changement ...significatif car le nombre de Pi qui criblent n'évoluent pas, on augmente de 4 entiers entre 301 et 316 donc on se décale de 4, et augmente de 8 entiers entre 602 et 632 , ce qui préserve la densité en moyenne générale....!
D'où, la densité n'évolue pratiquement pas de 7 à n/2 ou de n/2 à n par famille; lorsque la limite n augmente de 30...c'est pour cela que la conjecture est toujours vraie...à ce jour...!
si tu as besoins des deux cribles pour étudier le comportement , je les mettrais en pièces jointes.
Ils fonctionnent sous python 3.7.
Tu fais une erreur.
$\pi(n) \sim \dfrac{n}{\log(n)}$ ne donne pas que $\pi(n) \approx \dfrac{n}{\log(n)}$!
La meilleure estimation du $\pi(n)$ pour une fonction simple à calculer est $\text{Li}(n)$ et à ce jours on ignore si la quantité $|\pi(n)-\text{Li}(n)|$ dépasse $A \sqrt{n}$ ou non (hypothèse de Riemann).
Ton résonement est faux au départ, parce la bonne écriture est $\pi(n)=\dfrac{n}{\log(n)}+o\left( \dfrac{n}{\log(n)} \right)$
j'ai fait juste une erreur de tapage :
Théorème de nombres premier : $\pi(n) \sim \dfrac{n}{\log(n)} \iff \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\pi(n) \log(n)}{n}-1=0$
d'ou $\dfrac{\pi(n) \log(n)}{n} = 1 + o(1)$
Donc:
$$\pi(n)=\dfrac{n}{\log(n)}+o\left( \dfrac{n}{\log(n)} \right)$$
L'idée importante au LEG, est que $\pi(n) \approx \dfrac{n}{\log(n)}$ est fausse, parce qu'il a oublié le terme d'erreur.
Pour LEG, $\pi(n) = \dfrac{n}{\log(n)}+O(F(n))$, avec $F(n)$ une fonction qui vérifie $F(n) \geq \sqrt{n}$ comme le cas de $\text{Li}(n)$ montre. Et c'est un terme important !
En quoi le raisonnement peut il être faux, du moment que: si on arrive à prouver qu'il existe toujours un couple de premier (p,q) = 2n.
On s'en fou que l'estimation de $\pi(n)$ est inférieur aux estimations actuelles améliorées, lorsque n tend vers + l'infini ...
Enfin voyons qui peut le plus peut le moins...pour l'exemple que tu as cité avec n = 600, au lieu d'avoir pris 602;
je prend simplement (301 / log 602) * 0,375 = 17 -1 couples ...tu peux en estimer ou en calculer 40 ou plus et après....?
Je peux aussi prendre (301 / (log 602)2) = 7 couples ...pour un réel de 11 ("car : inutile d'utiliser 3 et 5")
Déjà il faut commencer à trouver et à démontrer une fonction qui permette d'affirmer que le nombre de couples (p,q) = 2n et quelque soit n > 180, vaut au minimum "pour ma part" : (n/2) / (log n)2 ou encore $\frac{p_n}{log P_n}$ avec $p_n$ le nombre de premiers P appartenant à [ 7; n/2] ce qui ne change pas grand chose....
Donc les couples d'entiers : avec A [7 ; n/2], non premiers et q [n/2 ; n] premier ou pas, on s'en fou royalement il y a belle lurette que cette piste a été étudiée depuis des lustres ....
Ce qui n'est pas le cas du principe de crible dans les congruences ...qui peut être serra aussi inutile... mais pour l'instant il n'a pas été étudié.
fam = 1[30]
Donnez la valeur de n = 30k : 301
Phase d'initialisation: 0.0 seconds ---
[1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1] on enlève 1 car 1 et 601 ne peuvent être compté , donc 4 entiers non congrus n[Pi]
fam = 13[30]
Donnez la valeur de n = 30k : 301
Phase d'initialisation: 0.0009999275207519531 seconds ---
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0] 5 entiers non congrus
fam = 19[30]
Donnez la valeur de n = 30k : 301
Phase d'initialisation: 0.0 seconds ---
[0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1] 5 entiers non congru
soit 14 couples... sur 15 nombres premiers q [n/2 ; n]...on est quand même loin de ta surestimation, je suis plus près avec 17....c'est par pour autant que je te dis que ton raisonnement est faux....
mon estimation est par rapport aux entiers non congrus donc par rapport aux nombres premier q appartenant à [ N ; 2N]...
lorsque je veux estimer pi(n) je n'ai pas besoins du terme d'erreur...pour faire une estimation minimum, sur le criblage des nombres premiers P[7 ; N] .....
démontre si tu peux, que pour $2N\geqslant{180}$ le nombre de couples (p,q) premiers, qui décomposent $2N$ en somme de deux premiers, dans la famille des entiers $N\equiv {1}[30]$ soit $2N = 30k + 2$ vaut environ :
$$\frac{\N/logN}{\log(2*(N/logN))} $$ lorsque 2N progresse de 30 et tend vers l'infini...
(" il suffit de le prouver pour une seule famille en progression arithmétique de raison 30... le fam = 1[30] est la plus critique au début...On peut exclure P = 3 ; ")
bonne soirée.
Soit $q(n)$ le plus grand nombre premier qui vérifie $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)} < n$
j'ai prouvé que :
$$G(n) \sim \displaystyle 2 \, C_2 \, {\small \left( \prod_{\substack{a | n \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} \dfrac{n}{\log(\log(n))^2} e^{-2\gamma}$$
Avec $G(n) = \#\left\{k \text{ et } n-k \text{ premier avec } \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)} \text{ et } k \leq \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}\right\}$ et la constante : $C_2 = \displaystyle{\small \prod_{\substack{3 \leq a \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\dfrac{1}{(a-1)^2}}\right)}$.
Et si On considere le fondamental équivalence : $I_n \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$ on conjecture que :
$$G(n) \sim G_p(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)^2$$
Avec $\displaystyle G_p(n) = \#\left\{k \text{ et } n-k \text{ sont premiers } \text{ et } k \leq \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}\right\}$
Cela donne le résultat immédiat:
$$G_p(n) \sim \displaystyle 2 \, C_2 \, {\small \left( \prod_{\substack{a | n \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} \dfrac{n}{\log(n)^2}$$
La preuve : http://lagrida.com/Goldbach_conjecture.html
on ne parle pas du même ensemble d'entiers...!
je t'ai dit que les entiers premiers entre eux etc ...etc. ne me servent à rien...!
comment tu peux donc dire que ma densité minimum de nombres premier [7 ; (15k + 1)] estimée avec la fonction du TNP est fausse ....? première nouvelle... le TNP est faux ? alors que ta formule ne la calcule pas...!
D'autant, que dans ton exemple avec les couples (k et n-k) tu balances des couples où aucun des deux ne sont premiers ...imagine alors, si il n'en reste qu'un, que ce soit le mauvais...
ta formule ne te dis pas et ne peut sélectionner uniquement les couples k et n-k sont deux nombres premiers..!
car le criblage de 1 à n, ne te dis pas si p < n/2 est non congru à n[Pi].
il est connu depuis longtemps que l'estimation minimum de couples de premiers (p,q) vaut en gros sans chipoter :
$\frac{n/2} {(log(n/2))^2}$ ça fait plus d'un siècle que la démo ne vient...Alors...:-S :
:)o Bonne chance pour démontrer dans ta formule que $k$ et $n-k$ sont bien deux nombres premiers (p,q).... et qu'il n'en restera qu'un minimum, que tu as prouvé que les autres couples sont écarté...etc ...etc
Essayer d'utilisé un langage mathématique au lieu d'écrire des pages et pages de texte (de la littérature).
Formule ton affirmation avec un raisonnement bien écrit avec les théorèmes utilisé.
Bonne continuation...
Soit $q,p$ des nombres premiers. Tel que $q$ est le nombre premier suivant de $p$.
Par exemple pour le cas des nombres premiers consécutif de distance 6:
J'ai montré que le nombre des couples $(b,b+6)$ qui vérifient $b$ et $b+6$ consécutifs premiers avec primorial de $q$ et $b+6$ inférieure au primorial de $q$ est égale :
$2$ si $q=5$, et si $q \geq 7$ :
$$\displaystyle 2 \left( {\small \left( \prod_{\substack{7 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)} \right)} + {\small \left( \prod_{\substack{5 \leq a \leq p \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-3)} \right)} + \sum_{\substack{5 \leq b' < p \\ \text{b' prime}}} {\small \left( \prod_{\substack{5 \leq a \leq b' \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-3)} \right)} {\small \left( \prod_{\substack{b < a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)} \right)} \right)$$
Avec $b$ est le nombre premier suivant du nombre premier $b^{'}$.
reuns ici : https://math.stackexchange.com/questions/3078408/constantes-in-asymptotique-formulas-of-consecutif-primes a montré que le cardinale est donné par:
$$\displaystyle 2\prod_{i=3}^k (p_i-2)-2 \prod_{i=3}^k (p_i-3) \tag{3}$$
Avec $p_k = q$
Les deux formules donnent les memes résultats numériques, mais ils sont différents !
J'ai pas compris pourquoi l'ensemble a un cardinale avec des formules différentes! Alors qu'ils donnent le meme résultat!
$$\begin{array}{rcl}
\displaystyle \sum_{\substack{5 \leq b' < p \\ \text{b' prime}}} {\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq b' \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-3)}} {\small \prod_{\substack{b < a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)}} & = & \displaystyle{\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)}} \displaystyle \sum_{\substack{5 \leq b' < p \\ \text{b' prime}}} \dfrac{1}{b-3} {\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq b \\ \text{a prime}}} \left( {\normalsize \dfrac{a-3}{a-2}} \right) } \\ \\
& = & \displaystyle{\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)}} \displaystyle \sum_{\substack{5 \leq b' < p \\ \text{b' prime}}} \left( \dfrac{b-2}{b-3} - 1 \right){\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq b \\ \text{a prime}}} \left( {\normalsize \dfrac{a-3}{a-2}} \right) } \\ \\
& = & \displaystyle {\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)}} \left(
\displaystyle \sum_{\substack{5 \leq b' < p \\ \text{b' prime}}} {\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq b' \\ \text{a prime}}} \left( {\normalsize \dfrac{a-3}{a-2}} \right) } \\
- \displaystyle \sum_{\substack{5 \leq b' < p \\ \text{b' prime}}} {\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq b \\ \text{a prime}}} \left( {\normalsize \dfrac{a-3}{a-2}} \right) }
\right) \\ \\
& = & \displaystyle {\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)}} \left( \dfrac{2}{3} - {\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq p \\ \text{a prime}}} \left( {\normalsize \dfrac{a-3}{a-2}} \right) } \right) \\ \\
& = & \dfrac{2}{3} \displaystyle {\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)}} - (q-2) \displaystyle {\small \prod_{\substack{5 \leq a \leq p \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-3)}}
\end{array}$$
Cela complète le résultat
Il suffit de voir que $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)} < n$ et $q(n) = p_k$ on a :
$$p_{k} \sim k \log(k)$$
Pour $k \to +\infty$ on a $p_k \sim p_{f(n, k)}$ pour toute fonction $f(n, k)$ qui vérifie $f(n,k) \sim k$.
Donc il suffit de trouver une méthode pour s'éloigner de $k$ toute en gardant $p_k \sim p_{f(n, k)}$, comme ça les méthodes de l'arithmitique donnent un résultat de primalité dans un sens asymptotique.
Pour $f(n,k) = k+k^{\theta}$ avec $0 < \theta < 1$ on peut avoir quelques résultats, j'étudie ces cas quand j'aurai du temps.
J'ai rien compris.
Mais je pense que tu veux passer par une preuve par absurde.
Cela est impossible puisque le nombre des nombres premiers est plus grands que les nombres premiers qui vérifient la conjecture de Goldbach (tu peux voir les densité) pour un $n$ suffisamment grand.
Mon idée est d'explorer : $\displaystyle \log{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)} \sim q(n) \sim \log(n)$
Donc Pour $p_k = q(n)$ on aura $\displaystyle \log{\small \left( \prod_{\substack{a \leq p_{k+k^{\theta}} \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)} \sim p_{k+k^{\theta}} \sim p_k=q(n) \sim \log(n)$ pour tout $\theta \in ]0,1[$,
Comme ça on va pousser le nombre de premiers qui criblent de $p_k=q(n)$ jusqu'au $p_{k+k^{\theta}}$ comme ça on capte des nombres premiers dans un sens asymptotique.
1) effectivement tu as raison pour ta supposition ..
2) tu as tort sur ton affirmation.: car si effectivement c'était une histoire; de densité , de constante , de quantité même une histoire de technique de cribles ou de formules Mathématiques utilisant les outils les plus complexes ...Il me semble que les cadors de la discipline aurait trouvé la solution...Non ???
Celui qui à mon sens, pourrait trouver , c'est T . Tao et son théorème sur les suites de premiers, en progression arithmétique.
Or toutes les études ont été faites avec les crible de 1 à N pour p, il suffit ensuite de faire une différence de 1 à n pour avoir les premiers = q de n à N. Ce qui trivialement te donne le nombre de couples impairs candidat à la conjecture. et en tirer toutes les formules que tu voudras ...Résultat depuis des décennies ..Nada..!
Je te dis de formuler des assertions mathématique $A \implies B \implies C \implies \cdots$
Les mathématiques ne marchent pas avec des observations ou des exemples, surtout si ces exemples ne sont pas basés sur des choses solides.
Si on travaille comme ça on peut dire aussi que $\pi(x) \leq \text{Li}(x)$ pour tout $x$ dans $\mathbb{R}_{+}$. Mais il est prouvé que c'est faux, et c'est grâce au Littlwood on sait que $\pi(x) - \text{Li}(x)$ change de signe une infinité de fois. Et le premier contre-exemple de l'inégalité $\pi(x) \leq \text{Li}(x)$ est véritablement grand. (inférieur à $10^{371}$ et non capté jusqu'aujourd'hui (on a arrivé à $10^{20}$))
Il suffit de voir que le nombre d'atomes dans l’univers est de l'ordre de $10^{83}$.
Donc toute méthode qui dit une assertion non prouvée et non basée est $99.999999 \%$ fausse.
Les observations permettent de réfléchir, afin de raisonner...
Quand aux exemples, il te faudrait d'abord observer pour comprendre ....au lieu d'infirmer que le crible d'Ératosthène et autre... ne sont pas des bases solides, contrairement à tes estimations et formules; qui n'en resteront que des estimations!
Et comment crois tu qu'au niveau des atomes ou de l'univers, c'est uniquement à coups de formule...???
Alors ça doit être des abrutis, pour construire des télescope , ordinateur, et tout l'appareillage permettant de comprendre la physique, l'astronomie, chimie , biologie...etc..
Tu n'as pas l'impression de prendre tes désirs pour la réalité....ou de te croire bien au dessus de tes compétences....dans un ou des domaines que tu ignores totalement.
Donc je te laisse à tes illusions ...j'enlève ce que tu ne comprends pas car inutile de perdre du temps...
bonne chance.
Au passage j'en profite pour te dire que tu viens de prouver que la conjecture de Goldbach est probablement fausse à 99,99999...% car vue toutes les assertion prétendant qu'elle est vraie...Grace à ta remarque, au moins je sais qu'elle est fausse...
Tu ne peux jamais estimer $\displaystyle\sum_{n \le x} \prod_{j=1}^J 1_{gcd(n+c_j,N)= 1}$ pour $x \approx \log(N)$, je sais que cela demande une preuve, mais j'ai compris ça dans la construction de $\mathcal{B}_q$ par $\mathcal{B}_p$.....
L'idée pour compter les nombres premiers est de poursuivre leurs construction.
Pour $q(n)$ le plus grand nombre premier qui vérifie $\displaystyle{ \Big( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \Big)} < n$ les nombres premier $2,3,5,7,\cdots,q(n)$ sont donc des nombres premiers connues, il faut voir maintenant les nombres premiers construisent dans l'intervalle $]q(n), n]$.
Voici la relation donné par le théorème des nombres premiers :
$$I_n \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big).
$$ Il semble qu'il y a une relation entre le nombre des premiers jusqu'au rang $q(n)$ et le nombre des premiers jusqu'au rang $n$.
La compréhension de cette relation va nous servir beaucoup pour prouver les conjectures en haut.