La version faible du k-tuple conjecture

Bonjour les matheux,
Il y a un an et j'essaye de comprendre les nombres premiers et comment ils se produisent,
J'ai bien compris le mechanisme de production de ces nombres et il reste donc de traduire cette comprihension a quelque chose de concret, et voila un résultat faible de la conjecture k-tuple de Hardy-Littlewood, ainsi une forme équivalente pour prouvé cette conjecture,
Voici ma démarche:

Soit $b,q \in \mathbb{P}$ et $d \in \mathbb{N}$, considérons les fonctions suivantes:
$$\Upsilon_{b,q}(d) := {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{d}{a}}\right)}.$$
$$F_b(x) := {\small \prod_{\substack{b \leq a \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{x^2}{a^2}}\right)} \,\, , \quad C_b(d) := {\small \prod_{\substack{b \leq a \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\left(\frac{d-1}{a-1}\right)^2}\right)}.$$

On a la relation:
$$\Upsilon_{b,q}(d) = {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\left(\frac{d-1}{a-1}\right)^2}\right)} {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{a}}\right)}^2 {\small \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1+\frac{d-2}{a}}\right)}^{-1}$$

On a le 3-ème théorème de Mertens : $\displaystyle{\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{a}}\right)} \sim \frac{e^{-\gamma}}{\ln(q)}$

Considérons la constante $K_b := \displaystyle{\small \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} \left({\normalsize 1-\frac{1}{a}}\right)}$.

On a :

$$\Upsilon_{b,q}(d) \sim \left\{ \begin{array}{cl}1 & \text{ si } \ d = 0 \\\dfrac{e^{-\gamma}}{K_b \ln(q)} & \text{ si } \ d = 1 \\ \\\dfrac{C_b(d) \, e^{-2\gamma}}{K_b^2 \, F_b(d-2) \, \ln^{2}(q)} \Upsilon_{b,q}(d-2) & \text{ si } \ d \geq 2\end{array} \right.$$

C'est une formule récursive, donc pour $d \geq 2$ :

$$\Upsilon_{b,q}(d) \sim \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(d) \, e^{- d \gamma}}{F_b(0) F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{1}{\ln^d(q)} & \text{ si } \ \text{d est paire} \\ \\\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(d) \, e^{- d \gamma}}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{1}{\ln^d(q)} & \text{ si } \ \text{d est impaire}\end{array} \right.$$Maintenant considérons le k-tuple $G(d,c) = (c_1,c_2,\cdots,c_d)$, et soit l'ensemble:

$$\mathcal{B}_q := \left\{b \in \mathbb{N}^{*} \, \middle| \, \gcd(b, {\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a}})=1 \right\}$$

On considère la fonction:

$$I_{G(d,c)}(n) := \# \left\{ (b+c_1,b+c_2,\cdots,b+c_d) \in \mathcal{B}_q^{d} \, | \, b+c_d \leq n \right\}$$

Pour $n = \displaystyle {\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$ et utilisons le théorème du reste chinois :

$$I_{G(d,c)}(n) = f(d) {\small \left( \prod_{\substack{b \leq a \leq q \\ \text{a prime, }a \neq d}} {\normalsize (a-d)} \right)}$$

Pour $f(d)$ une fonction (facile à calculer), et $b$ un nombre premier.
Par exemple $G(2,c)=(0,m)$ et $n = \displaystyle {\small \left( \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$ on a :

$$ I_{G(2,c)}(n) = \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime, } a | m}} (a-1) \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime, } a \nmid m}} {\normalsize (a-2)} $$

Donc :
$$I_{G(2,c)}(n) = {\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} {\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-2)} \right)}$$

Dans ce cas : $f(d) = \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} $

Il reste de déterminer la fonction $f(d)$ dans le cas générale, aussi le nombre premier $b$.

Voici donc la Version faible du célèbre conjecture de k-tuple de Hardy-Littlewood, on considère donc la fonction $\Upsilon_{b,q}(d)$, on peut montrer que :

$$I_{G(d,c)}(n) \sim \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}} \dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(d) \, e^{-\gamma d}}{F_b(0) F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(\log(n))^d} & \text{ si } \ \text{d est paire} \\ \\\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}}\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(d) \, e^{-\gamma d}}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(\log(n))^d} & \text{ si } \ \text{d est impaire}\end{array} \right.$$

Pour $G(2,c)=(0,m)$ on a : $I_{G(2,c)}(n) \sim \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} 2 \, C_2 \, \dfrac{n}{\log(\log(n))^2} \, e^{-2 \gamma}$ et $C_2 = C_3(2) =\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a (a-2)}{(a-1)^2}} \right)}$.

La deuxième importante idée:

Soit $q(n)$ le plus grand nombre premier qui vérifie $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)} < n$

Soit $I_n$ le nombre des nombres inférieure à $n$ et premier avec $\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a \leq q(n) \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}$, then : $$I_n \sim \dfrac{n}{\log\log(n)} \, e^{-\gamma}$$

Utilisons le Théorème de nombre premiers : $\dfrac{n}{\log(\log(n))} \, e^{-\gamma} = \dfrac{n}{\log(n)} \dfrac{\log(n)}{\log(\log(n))} \, e^{-\gamma} \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$

Voici donc la fondamentale équivalence:

$$I_n \sim \pi(n) \big( \pi(q(n)) e^{-\gamma} \big)$$

Maintenant on conjecture que:

$$I_{G(d,c)}(n) \sim \pi_{G(d,c)}(n) \, (\pi(q(n)) e^{-\gamma})^d$$

Avec : $\pi_{G(d,c)}(n) = \# \left\{ (b+c_1,b+c_2,\cdots,b+c_d) \in \mathbb{P}^{d} \, | \, b+c_d \leq n \right\}$

Cela donne le résultat immédiat:

$$\pi_{G(d,c)}(n) \sim \left\{ \begin{array}{cl}\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}} \dfrac{C_b(2) C_b(4) \cdots C_b(d)}{F_b(0) F_b(2) F_b(4) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(n)^d} & \text{ si } \ \text{d est paire} \\ \\\dfrac{f(d)}{\displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a < b \\ \text{a prime}}} {\normalsize a} \right)}}\dfrac{C_b(3) C_b(5) \cdots C_b(d)}{F_b(1) F_b(3) \cdots F_b(d-2) K_b^d} \,\, \dfrac{n}{\log(n)^d} & \text{ si } \ \text{d est impaire}\end{array} \right.$$

note: $\pi(n) e^{-\gamma} \sim \dfrac{n}{\log(n)} e^{-\gamma} \sim n \displaystyle{\small \prod_{\substack{a \leq n \\ \text{a prime}}} {\normalsize \left(1 - \frac{1}{a}\right)}}$

Exemple de conjectures on utilisons la conjecture on haut:

Pour $G(2,c) = (0,m)$ on a : $\pi_{G(2,c)}(n) = \pi_m(n) \sim \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{a | m \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a-1}{a-2}} \right)} 2 \, C_2 \; \dfrac{n}{\log(n)^2}$, avec $C_2 = C_3(2) = \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{3 \leq a \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a (a-2)}{(a-1)^2}} \right)}$

Pour $G(3,c) = (0, 2, 6)$ on a $f(3)=1$, et utilisons le théorème du reste chinois : $\displaystyle\#\{(b, b+2, b+6) \in \mathcal{B}_q^3 \, | \, b+6 \leq {\small \prod_{\substack{a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize a}} \} = {\small \left( \prod_{\substack{5 \leq a \leq q \\ \text{a prime}}} {\normalsize (a-3)} \right)}$, then : $\pi_{G(3,c)}(n) \sim \dfrac{1}{6} \dfrac{C_5(3) \, n}{F_5(1) K_5^3 \log^{3}(n)}$

Dévelloppons les constatntes : $\pi_{G(3,c)}(n) \sim \dfrac{9}{2} \displaystyle{\small \left( \prod_{\substack{5 \leq a \\ \text{a prime}}} {\normalsize \frac{a^2 (a-3)}{(a-1)^3}} \right)} \, \dfrac{n}{\log(n)^3}$