Problème 3x+1
Tout entier impair peut être écrit:
soit sous la forme Impair1 = ((6*n-5)*2^(2*k)-1)/3
soit sous la forme Impair2 = ((6*n-1)*(2^(2*k-1)-1)/3
pour n positif non nul de 1 à N et k positif non nul de 1 à N.
Pour chaque couple n et k deux nombres impairs positifs différents, chaque nombre impair a une représentation unique dans une des deux formes.
pour n=1 k=1 on trouve ((6*1-5)*2^(2*1)-1)/3=1 et ((6*1-1)*2^(2*1-1)-1)/3=3
pour n=1 k=2 (1*16-1)/3=5 et (5*2^3-1)/3=13
pour n=2 k=1 (7*4-1)/3=9 et (11*2-1)/3=7
Donc tout nombre impair multiplié par 3 auquel on ajoute 1 va donner un nombre pair (6*n-1)*2^(2*k) ou (6*n-5)*2^(2^k-1) qui après 2*k-1 ou 2*k divisions par 2 donne un nombre impair unique = 6*n-5 ou 6n-1.
Tout nombre impair 6*n-5 ou 6*n-1 a une infinité de racines impaires, toutes les racines sont différentes pour chaque nombre n positif non nul non multiple de trois.
Aucun nombre impair multiple de 3 ne peut avoir de "racine" impaire.
Aucun nombre impair non multiple de 3 n'a de racine égale à lui même sauf 1, n=1 on a 6*n-5 = ((6*n-5)*2^(2*k)-1)/3 pour k=1.
D'où le cycle trivial et seul cycle possible pour finir une suite de Collatz.
soit sous la forme Impair1 = ((6*n-5)*2^(2*k)-1)/3
soit sous la forme Impair2 = ((6*n-1)*(2^(2*k-1)-1)/3
pour n positif non nul de 1 à N et k positif non nul de 1 à N.
Pour chaque couple n et k deux nombres impairs positifs différents, chaque nombre impair a une représentation unique dans une des deux formes.
pour n=1 k=1 on trouve ((6*1-5)*2^(2*1)-1)/3=1 et ((6*1-1)*2^(2*1-1)-1)/3=3
pour n=1 k=2 (1*16-1)/3=5 et (5*2^3-1)/3=13
pour n=2 k=1 (7*4-1)/3=9 et (11*2-1)/3=7
Donc tout nombre impair multiplié par 3 auquel on ajoute 1 va donner un nombre pair (6*n-1)*2^(2*k) ou (6*n-5)*2^(2^k-1) qui après 2*k-1 ou 2*k divisions par 2 donne un nombre impair unique = 6*n-5 ou 6n-1.
Tout nombre impair 6*n-5 ou 6*n-1 a une infinité de racines impaires, toutes les racines sont différentes pour chaque nombre n positif non nul non multiple de trois.
Aucun nombre impair multiple de 3 ne peut avoir de "racine" impaire.
Aucun nombre impair non multiple de 3 n'a de racine égale à lui même sauf 1, n=1 on a 6*n-5 = ((6*n-5)*2^(2*k)-1)/3 pour k=1.
D'où le cycle trivial et seul cycle possible pour finir une suite de Collatz.
Réponses
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Bravo, ça sent la médaille Fields (tu)
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Bonsoir,
Que signifie "racine d'un nombre" ?
Cordialement,
Rescassol -
Donc tout nombre impair multiplié par 3 auquel on ajoute 1 va donner un nombre pair (6*n-1)*2^(2*k) ou (6*n-5)*2^(2^k-1) qui après 2*k-1 ou 2*k divisions par 2 donne un nombre impair unique = 6*n-5 ou 6n-1.
Tout nombre impair 6*n-5 ou 6*n-1 a une infinité de racines impaires, toutes les racines sont différentes pour chaque nombre n positif non nul non multiple de trois.
Cela dit que les "racines" de 6*n-5 ou de 6*n-1 sont ((6*n-5)*2^(2*k)-1)/3 ou ((6*n-1)*2^(2*n-1)-1)/3 pour une valeur donnée de n et k de 1 à N car ces "racines" multipliées par 3 et divisées par 2^(2*k-1) ou 2^(2*k) conduisent à 6*n-5 ou 6*n-1. -
Tu as pensé à soumettre un article à un journal de mathématiques ? Je pense qu'il faut absolument t'assurer la paternité de tes découvertes vu leur importance !
-
Bonjour,
Je n'ai toujours pas compris ce que tu appelles racine d'un nombre.
Le reste est donc forcément incompréhensible.
Par exemple, que sont les racines de 5 ?
Cordialement,
Rescassol -
Les racines de 5 sont (5*2^(2*k-1)-1)/3 pour k=1 to N
k=1 une racine = 3
k=2 une racine = 13
k=3 une racine = 53
.......
remarques que (racine k+1) = 4*('racine k) + 1 -
@Bruno
"La conjecture de Syracuse" par JRManda a en fait été phagocyté par MATH-E. Tu as fermé ce fil, suite aux délires de ce dernier.
Dans ce présent fil, il est reparti sur les mêmes bases. Je pense que tu pourrais le fermer car il n'y a aucune raison pour que cela ne se termine pas de la même manière.
PS : on me ferme mon fil ? Pas de problème, j'en ouvre un autre sur le même sujet !
On a un moyen de lutter contre cela ? -
Aprés toutes les critiques constructives que j'ai reçu et en particulier celles de serge17 au sujet 137x+1, je me suis rendu compte de mes erreurs et je donne ci dessous le texte tenant compte de toutes les remarques justifiées qui m'ont été faîtes.
La table ci dessous donne pour les lignes de 0 à 17:
Colonne 1 les nombres entiers dans l'ordre naturel en commençant par 0.
Colonne 2 les nombres impairs non multiple de 3 dans l'ordre naturel.
Colonne 3 les nombres impairs ((3*n+1)*2^2-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^1)/3 pour n impair
Colonne 4 les nombres impairs ((3*n+1)*2^4-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^3)/3 pour n impair
Colonne 5 les nombres impairs ((3*n+1)*2^6-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^5)/3 pour n impair
Colonne 6 les nombres impairs ((3*n+1)*2^8-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^7)/3 pour n impair
Colonne 7 les nombres impairs ((3*n+1)*2^10-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^9)/3 pour n impair
Colonne 8 les nombres impairs ((3*n+1)*2^12-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^11)/3 pour n impair
0, 1, 1, 5, 21, 85, 341, 1365
1, 5, 3, 13, 53, 213, 853, 3413
2, 7, 9, 37, 149, 597, 2389, 9557
3, 11, 7, 29, 117, 469, 1877, 7509
4, 13, 17, 69, 277, 1109, 4437, 17749
5, 17, 11, 45, 181, 725, 2901, 11605
6, 19, 25, 101, 405, 1621, 6485, 25941
7, 23, 15, 61, 245, 981, 3925, 15701
8, 25, 33, 133, 533, 2133, 8533, 34133
9, 29, 19, 77, 309, 1237, 4949, 19797
10, 31, 41, 165, 661, 2645, 10581, 42325
11, 35, 23, 93, 373, 1493, 5973, 23893
12, 37, 49, 197, 789, 3157, 12629, 50517
13, 41, 27, 109, 437, 1749, 6997, 27989
14, 43, 57, 229, 917, 3669, 14677, 58709
15, 47, 31, 125, 501, 2005, 8021, 32085
16, 49, 65, 261, 1045, 4181, 16725, 66901
17, 53, 35, 141, 565, 2261, 9045, 36181
La table ci dessus peut être agrandie aux lignes n et aux colonne j aussi grandes que souhaité.
1- Tout nombre entier positif impair est présent une fois et une fois seulement dans les colonnes de 3 à n, la preuve:
Tout nombre entier positif impair x=((3*x+1)-1)/3.
3*x+1 est pair et 1 modulo 3.
Tout nombre pair 1 modulo 3 est le produit soit d'un nombre impair 1 modulo 3 par une puissance de 2 paire qui est 1 modulo 3, soit le produit d'un nombre impair 2 modulo 3 par une puissance de 2 impaire qui est 2 modulo 3.
Les nombre impairs 1 modulo 3 sont ègaux à 3*n+1 pour n nul ou pair.
Les nombre impairs 2 modulo 3 sont égaux à 3*n+2 pour n impair.
Donc tout nombre positif non nul impair est soit = ((3*n+1)*2^(2*j)-1)/3, n nul ou pair et j de 1 à j soit = ((3*n+2)*2^(2*j-1)-1)/3 n impair et j de 1 à j.
La table par construction contient bien chaque nombre impair une fois et une fois seulement dans les colonnes de 3 à j.
2-Ttout nombre entier positif impair 1 modulo 3 ou 2 modulo 3 est présent une fois et une fois seulement dans la colonne 2 et est égal à 3*n+1 si n est nul ou pair ou égal à 3*n+2 si n est impair.
Il est impossinle d'avoir 3*n+2 = ((3*n+2)*2^(2*j-1)-1)/3, n et j impairs.
Il est impossible d'avoir 3*n+1 = ((3*n+1)*2^(2*j)-1)/3 sauf pour n=0 et j=1, on retrouve l'existence unique du cycle trivial. -
Impressionnant ! J'espère que ce travail sera reconnu à sa juste valeur par les experts du domaine qui patinent lamentablement depuis maintenant plusieurs décennies sur ce problème, malgré leur utilisation d'outils imbitables davantage dans le but d'éloigner les amateurs que de réellement avancer sur cette conjecture.
-
Tout ça est bien beau, mais malheureusement, à partir de n'importe quel nombre d'entrée, si tu aboutis bien toujours colonne 2, ce nombre colonne 2, qu'on retrouve bien dans l'une des colonnes à partir de colonne 3, pour continuer le cheminement, n'est pas forcément sur une ligne située au dessus. Par exemple 35 ligne 11 est retrouvé ligne 17 colonne 3. Et c'est bien dommage, si la suite remontait systématiquement, ç'aurait été correct. Mais là, rien ne te permet d'affirmer qu'il n'y a pas de boucle !
-
Personne pour relayer ma demande précédente auprès de bruno (ou auprèsd'un autre modérateur) ?
[size=x-large]FERMER CE FIL ![/size]
@ MATH-E personnel) : je vois que hélas, non seulement tu ne suis pas mon dernier conseil : fermer ton site sur Syracuse (si tu n'en as pas la possibilité, il suffit de ne plus jamais écrire dedans cela revient vite au même) avant que d'autres ne s'en chargent ! Mais en plus tu pollues ton seul fil valable "137x+1" avec tes élucubrations sur Syracuse (on se demande ce que cela vient foutre là alors que tu as déjà justement un fil dédié sur le sujet !). Bien sûr, tout le monde te tombe dessus, sans même lire ce qui pourrait être intéressant au sujet de "137x+1"
Ma grand-mère disait : INDECROTTABLE ! -
Effectivement, à petites doses, c'est amusant. Mais à ce niveau là, c'est grave.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
-
Ecrit par nodgim: "Tout ça est bien beau, mais malheureusement, à partir de n'importe quel nombre d'entrée, si tu aboutis bien toujours colonne 2, ce nombre colonne 2, qu'on retrouve bien dans l'une des colonnes à partir de colonne 3, pour continuer le cheminement, n'est pas forcément sur une ligne située au dessus."
C'est nodgim qui parle et affirme qu'un nombre impair colonne 2 est bien présent dans une colonne de rang supérieur à 2, preuve qu'il est maintenant d'accord avec ce qu'il affirmait "non prouvé" précédemment, mais comme ça le dérange il affirme "il n'est pas forcément sur une ligne située au dessus", je n'ai jamais parlé de dessus ou de dessous !
Ecrit par nodgim: "Par exemple 35 ligne 11 est retrouvé ligne 17 colonne 3"
ça c'est vrai mais ça n'apporte rien.
Ecrit par nodgim: "Et c'est bien dommage, si la suite remontait systématiquement, ç'aurait été correct"
qu'est-ce-qui est dommage?
quelle suite "remontait" ?
qu'est-ce-qui aurai été correct ? -
J'essayais de trouver une utilité à ton tableau. J'ai cru comprendre qu'il était question de la suite de Syracuse, aussi c'est de cette suite là que je parlais. Maintenant, si tu n'as même pas compris ce que je disais, à quoi bon continuer ?
Sinon, j'ai reconnu dans tes nombres des colonnes 3 à n, les nombres qui, écrits en binaire, ont cette allure là :
1011
1011 01
1011 0101
1011 010101
1011 01010101
etc.....
A part ça, pour donner mon avis sur ton dernier développement, il n'y a rien de plus. Tu restes figé dans des affirmations péremptoires sans le moindre début de preuve, ce qu'on t'a dit et redit. -
nodgim : "Tu restes figé dans des affirmations péremptoires sans le moindre début de preuve, ce qu'on t'a dit et redit."
Monsieur (ou Madame peut être) vous demandez des preuves, on vous les donne, et vous avez le culot de continuer à dire que celui qui fourni les preuves demandées fait des "affirmations pèremptoires sans le moindre début de preuve", c'est votre problème mais pas le mien! -
MATH-E écrivait:
> nodgim : "Tu restes figé dans des affirmations péremptoires sans le moindre début de preuve, ce
> qu'on t'a dit et redit."
>
> Monsieur (ou Madame peut être)
Puisqu'on en est à se présenter, tu peux te présenter ?
Tu es collégien ? Lycéen ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
81 ans
Bac Mathématiques élémentaires année 1956 (38% de réussites au bac Mathélem cette année là)
et Ingénieur Bac +5 comme on dit maintenant !
Dix brevets à mon nom.
Et comme disais Salvador j'aimerais tant voir Syracuse, l’île de Pâque et ... pourvu que l'ciel m'tombe pas sur la tête !
Bonne nuit les petits. -
Il s'agit maintenant de publier au plus vite ! Tu ne rencontreras sur ce forum que des esprits bornés, incapables de voir le génie là où il est, sous prétexte que tu ne serais pas professionnel. C'est absurde, la justesse de ta preuve ne dépend pas de ton CV ! Malheureusement ton âge ne te permet plus d'espérer une médaille Fields comme je l'annonçais initialement, mais pourquoi pas le prix Abel ?
-
@ Math E :
Si je te demandais à quoi sert l'ensemble des colonnes > 2 du dernier tableau que tu as produit ( ton msg 39) ? Pour moi, dans le cadre de la conjecture, il n'a aucune utilité.
Maintenant, je veux bien admettre que tu aies donné une preuve, mais où est elle ? Dans le msg 39 ? -
1- Tout nombre entier positif impair est présent une fois et une fois seulement dans les colonnes de 3 à n, la preuve:
Tout nombre entier positif impair x=((3*x+1)-1)/3.
3*x+1 est pair et 1 modulo 3.
Tout nombre pair 1 modulo 3 est le produit soit d'un nombre impair 1 modulo 3 par une puissance de 2 paire qui est 1 modulo 3, soit le produit d'un nombre impair 2 modulo 3 par une puissance de 2 impaire qui est 2 modulo 3.
Les nombre impairs 1 modulo 3 sont ègaux à 3*n+1 pour n nul ou pair.
Les nombre impairs 2 modulo 3 sont égaux à 3*n+2 pour n impair.
Donc tout nombre positif non nul impair est soit = ((3*n+1)*2^(2*j)-1)/3, n nul ou pair et j de 1 à j soit = ((3*n+2)*2^(2*j-1)-1)/3 n impair et j de 1 à j.
La table par construction contient bien chaque nombre impair une fois et une fois seulement dans les colonnes de 3 à j.
2-Tout nombre entier positif impair 1 modulo 3 ou 2 modulo 3 est présent une fois et une fois seulement dans la colonne 2 et est égal à 3*n+1 si n est nul ou pair ou égal à 3*n+2 si n est impair.
Il est impossinle d'avoir 3*n+2 = ((3*n+2)*2^(2*j-1)-1)/3, n et j impairs.
Il est impossible d'avoir 3*n+1 = ((3*n+1)*2^(2*j)-1)/3 sauf pour n=0 et j=1, on retrouve l'existence unique du cycle trivial.
3-Une suite de Syracuse ne peut donc que diverger ou se terminer par 1 qui est le seul nombre impair possible.
4-T Oliveirae Silva à prouvé la convergence pour tout nombre entier positif < 1,25*2^62.
5- Par récurrence on fait la preuve de la divergence de toute suite se Syracuse prise dans le sens inverse et donc de la convergence de toute suite dans l'ordre de son déroulement.
C'est mes derniers mots sur ce sujet, je vais aller m'intérésser à 137x+1 et 3x+1. -
Inutile de continuer, LEG t'a devancé !
-
@ Math E :
Tu n'expliques pas pourquoi ton 2) implique le 3) dans ton msg 40.
C'est sans doute évident pour toi, mais je ne vois pas. Et tu n'as pas répondu à ma question : à quoi te servent les colonnes > 2 ? -
Tout nombre entier positif impair x=((3*x+1)-1)/3.
3*x+1 est pair et 1 modulo 3.
Tout nombre pair 1 modulo 3 est:
- soit le produit d'un nombre impair 1 modulo 3 par une puissance de 2 paire qui est 1 modulo 3
- soit le produit d'un nombre impair 2 modulo 3 par une puissance de 2 impaire qui est 2 modulo 3
Les nombres impairs 1 modulo 3 sont égaux à 3*n+1 pour n nul ou pair.
Les nombres impairs 2 modulo 3 sont égaux à 3*n+2 pour n impair.
Donc tout nombre entier positif impair a une représentation unique pour un couple n et j:
- soit = ((3*n+1)*2^(2*j)-1)/3, pour tout n nul ou entier positif pair de 0 à n et tout j entier positif de 1 à j
- soit = ((3*n+2)*2^(2*j-1)-1)/3, pour tout n entier positif impair de 1 à n et tout j entier positif de 1 à j
Si on multiplie un nombre entier positif impair par 3 et que on ajoute 1 au résultat on obtient un nombre pair:
- soit = (3*n+1)*2^(2*j) pour tout n nul ou entier positif pair de 0 à n et tout j entier positif de 1 à j
- soit = (3*n+2)*2^(2*j-1) pour tout n entier positif impair de 1 à n et tout j entier positif de 1 à j
Si on divise le nombre pair obtenu par 2^(2*j) si n est nul ou pair ou par 2^(2*j-1) si n est impair on obtient une représentation unique pour chaque n:
- soit 3*n+1 pour n nul ou pair
- soit 3*n+2 pour n est impair
Les opérations ci dessus sont celles pratiquées pour définir les termes successifs d'une suite de Syracuse, si le premier terme de la suite est pair on le divise par 2 jusqu'à obtenir un nombre impair, puis le nombre impair est multiplié par 3 et on ajoute 1 pour obtenir un nombre pair et ainsi de suite.
La conjecture est que la suite se termine toujours par 1 puis répétition du cycle "trivial" 4, 2, 1.
A partir du deuxième terme impair de la suite il est évident que tous les termes impairs suivants dans la suite seront 3*n+1 pour n nul ou pair ou 3*n+2 pour n impair et seront donc obligatoirement différents à chaque fois sauf si n=0 donc 3*n+1=1.
En effet il est impossible d'avoir 3*n+2 = ((3*n+2)*2^(2*j-1)-1)/3, n impair et j positif non nul.
Il est aussi impossible d'avoir 3*n+1 = ((3*n+1)*2^(2*j)-1)/3 sauf pour n=0 et j=1, on retrouve l'existence unique du cycle "trivial".
Aucun autre cycle que le cycle trivial ne peut exister.
Donc une suite de Syracuse se terminer par 1 puis le cycle "trivial", sinon elle doit diverger n'en déplaise à nodgim! -
Je n'en crois pas mes yeux. Je ne pensais pas que je connaîtrais de mon vivant la résolution de la conjecture de Syracuse, mais alors en plus avec une preuve qui est accessible à tout un chacun, cela relève du miracle ! Merci infiniment à MATH-E de nous avoir éclairé en résolvant ce très important problème, tandis que les matheux professionnels continuent de quémander des subventions publiques pour financer des théories que personne ne comprend et qui n'aboutissent à rien, incapables qu'ils ont été de démontrer Syracuse jusqu'à présent alors que MATH-E l'a fait !
Il faut impérativement publier ce travail de tout premier ordre, qui ouvre des perspectives incommensurables pour d'autres problèmes ouverts de la théorie des nombres.
Avec la résolution de la conjecture de Goldbach donnée ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1797414,1797432#msg-1797432, je crois qu'on peut dire que 2019 sera connue comme l'année miraculeuse des mathématiques du 21ème siècle. -
@ Math E :
".....En effet il est impossible d'avoir 3*n+2 = ((3*n+2)*2^(2*j-1)-1)/3, n impair et j positif non nul.
Il est aussi impossible d'avoir 3*n+1 = ((3*n+1)*2^(2*j)-1)/3...."
Je suis d'accord, mais là tu ne fais apparaitre qu'une seule itération ! Or, la question d'une boucle éventuelle se discute sur un nombre inconnu ( on sait que c'est un grand nombre s'il existe ) d'itérations. -
Le soucis est que tout l'énoncé repose sur une hypothèse
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