Nombres premiers formule

Bonjour je suis heureux de conter parmi vous dans ce forum je suis venu vers vous pour que vous me lisiez cette feuille et vous me donner vos avis sur elle , certes pas très académique, mais repose sur des constatations et observations numériques seulement en attendant de trouver une démonstration, je sais ce n’est pas raisonnable de faire confiance à une formulation arithmétique sous le seul argument numérique, mais faut-il ignorer ces résultats parce que on ne sais pas l’expliquer ?


Tous a commencé par un documentaire, que j’ai vu sur YouTube, présenté par un grand passionné des mathématiques et un spécialiste des nombres premier Marcus du Sautoy. J’étais complètement fasciné par son récit, qui a susciter en moi l’envie, et la curiosité des nombres premiers, depuis c’est devenue une obsession, si ce n’est pas une maladie, la même nuit je fais la redécouvert que p = 6n ±1 alors je pensais bêtement que c’est une première.
Malgré les déceptions consécutives je considérais toujours le comportement des nombres premiers comme non anarchique, et il fallait trouver ce lien, à qui obéissent les nombres premiers, A fur et à mesure, de mes recherches, Je me suis rendu compte de la difficulté, et l’extrême complexité du problème, mon objectif est alors devenu plus modeste : Comprendre au mieux les nombres premiers, cependant pour un profane que je suis, est ce qu’un raisonnement aussi élémentaire arrivera t-il à un résultat extraordinaire c’est le pari que je me suis engager à faire.
On analysant la représentation géométrique de certains nombres premiers, j’en ai fait la remarque suivante :

INTRODUCTION :

Soit P l’ensemble des nombres premiers, et N est le nombre de chiffres de p.
Voici une formule probabiliste qui est en mesure de produire des nombres premiers, avec autant de chiffres qu’on veut. Elle s’exprime en fonction de trois variables dont deux on peut les choisir arbitrairement selon ce qu’on veut comme nombres de chiffres de p, la troisième que j’ai nommée $q_i$ est indéterminé sa valeur minimum est comprise entre zéro et N, puis un autre inconnu: $\pm1$. Par contre les valeur de $q_i$supérieur à N, sont d’un nombre infini.

LA FORMULE :
Quels que soient n et k entiers naturels non nuls, il existe au moins un entier naturel $q_i$ compris entre zéro et N et une infinité de $q_i$supérieur à N, tel que $p=k\times n\times (1+n)\pm1\pm 2\times k\times q_i$soit premier.

DÉMONSTRATION :

À élaboré avec vous (En cours)

Pour k= 1,2,3 c’est évident, Quelque soit le nombre impaire produit par la formule, chaque fois on diminuant ou en augmentant par 2,4,6,... où bien par 4,8,12... où bien encore par 6,12,18,.. on tombera sûrement sur un nombre premier.
Car les nombres premiers s’écrivent sous la forme de
$6n \pm1$ et $4n \pm1$
C’est les seuls cas triviaux qui existe, qu’il faut bien sûr les éviter, soit on changera l’énoncé de la formule où on les laisse puisqu’ils sont vrai, seulement dans ces cas là $q_i$ pour être plus grand que N.


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Soit P l’ensemble des nombres premiers
Soit les nombres premiers suivants :
7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, ........ Ils s’écrivent tous de la manière suivante :
7=1+6
19=1+6(1+2)
37=1+6(1+2+3)
61=1+6(1+2+3+4)
127=1+6(1+2+3+4+5+6)
...
p =1+6(1+2+3+...+n)
$P =6\times\frac{n(n+1)}{2}+1$
p = 3.n.(n+1) +1
En généralisant sur l’ensemble des nombres premiers on a:
p = $K\times(1+2+4+...+n) \pm1 - Kq$ tel que K=2k.
...
La suite de la démonstration avec vous.
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NOTATIONS :
Voici la notation suivante un nombre premier est déterminé par ces trois variables :
$n,k,q,\pm1$on peut le noter si vous permettez. par un souci de simplification on note :
p = p[n,k,q,+/-1]
exemples : 19=3*2*3+1=p[2,3,0,+1]
$431=6\times8\times9-1= p[8,6,0,-1]$
On peut noter aussi p par : $p_k(n)$ et
Dans ce cas on précise le $\pm1$à côté du nombre premier trouver.

EXEMPLES:
Par soucis de simplification on va travailler avec tous ce qui suit avec la formule réduit à cette expression :
$p=k\times n\times (1+n)\pm1-2\times k\times q_i$
q=0 .
$p_{12}(200)= 12x200x201+1 = 482401$ premier
$p_{12}(200)= 12x200x201-1 = 482399$ premier
$p_{12}(300)= 12x300x301+1= 1083601$ premier
$p_{12}(350)=12x350x351-1= 1474199$ premier
$p_{12}(360)= 12x360x361+1= 1559521$ premier
$p_{12}(400)= 12x400x401-1= 1924799$ premier
$p(500)= 12x500x501-1 = 3005999$ premier
q = 0.
$p_{48}(40)[/tex] = 48x40x41+1= 78721$ premier
$p_{48}(80)=48x80x81+1= 311041$premier
$p_{48}(120)= 48x120x121+1 = 696961$ premier
$p_{48}(140)= 48x140x141+1= 947521$ premier
$p_{48}(160)= 48x160x161+1 = 1236481$ premier
$p_{48}(160)= 48x160x161-1 = 1236479$ premier
$p_{48}(200)= 48x200x201+1 = 1929601$ premier
$p_{48}(300)= 48x300x301+1 = 4334401$ premier
$p_{48}(300)= 48x300x301-1= 43343399$ premier
$p_{48}(600)= 48x600x601+1= 17308801$ premier
$p_{48}(900)= 48x900x901+1= 38923201$ premier
$p_{48}(1400)= 48x1400x1401+1= 94147201$ premier
$p_{48}(1400)= 48x1400x1401-1= 94147199$ premier
$p_{48}(60000)= 48x60000x60001+1 = 172802880001$ premier

$p_5(564987951236598745879765163588)$
= $564987951236598745879765163588 *564987951236598745879765163589*5-1
p=1596056925212646411717676954129852686502521679644500830986659(61chiffre)$
.
n =$123457677422578974347423670$
k=5
q=n
p(n) = 123457677422578974347423670*123457677422578974347423671 *5+1 – 2*5*n
Pn=76208990572887831112620119515460273609766960644226151 est premier
.
Voici des nombres premiers jusqu’à 2000 chiffres :
p[2^3257,19,69,-1]; p[2^3271,23,44,+1]
p[2^3271,29,487,-1]; p[2^789,11,41,-21]
p[2^1234,5,34,-1]; p[2^2999,5,3,-1]
p[2^3004,5,101,+1]; p[2^3314,5,28,+1]
p[2^3315,5,42,+1] ..

CAS PARTICULIERS DE LA FORMULE :

$p=k\times n\times (1+n)\pm1-2\times k\times q$
Si k est très supérieur à n de tel sort qu’il existe un qi compris 0<qi < N ( N étant le nombre de chiffres de p ) tel que :
$k\times n(n+1) \leq 2kq\pm1$
On négligeant le $\pm1$on a :
$0 \leq \frac{n(n+1)}2 \leq q_i \leq N$
Dans ce cas nous sommes obligés d’utiliser la deuxième partie de la formule avec +2qk.
$p=k\times n\times (1+n)\pm1 + 2\times k\times q$
Le mieux c’est éviter ces cas là.

Les nombres premiers s’écrivent tous sous la forme :
p= m(m+1).p1.p2...pi +/-1
p=[m(m+1)/2] * 2•p1.p2...pi +/-1
p=kn(n+1)+/-1-2kq.
Si k=m.(m+1)/2


Des observations numériques montre que si k prend cette forme , m entier naturel. la formule produit des nombres premiers, avec une chance que q soit moins grande et donc moins d’opération à faire dans la recherche de p.
D’où cette nouvelle expression de la formule :

Quels que soient n et m entiers naturels non nuls, il existe au moins un entier naturel $q_i$ compris entre zéro et le nombre du nombre de chiffres de p, noter N et une infinité de $q_i$ supérieur à N, tel que
$p=\frac{m(m+1)}{2}\times n(n+1) \pm1 \pm m(m+1)\times q$ soit premier.
...................................................................................................,..

La même expression on peut l’écrire sous forme de suites:
Soit les deux suites suivantes:
U ={1,3,6,10,15,21,28,36,....ui/ui=m(m+1)/2} m entier naturel.
V={2,6,12,20,30,42,56,72....vi/vi=n(n+1)} n entier naturel.
Quelques soit u et v appartenant respectivement à U et V, il existe une infinité d’entiers naturels [tex]q_i[/tex] dont au moins un compris entre zéro et N tel que
$p = uv \pm1\pm2uq$ soit premier ————————————————————————————

TRAVAIL À FAIRE :
Étude de q:
C’est le vrai travail à faire il consiste à étudier le comportement de q. On prenant k fixe et faire des listes des nombres produits par la formule pour différents q; q=0, q=1, q=2, ... afin de faire des tracés (on prenant n variable de 1 jusqu’à 1000 ou 10000 ) à l’aide des petits programmes
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Créer un algorithme de calcule automatique de la formule on prenant k fixe, et n quelconque, telque n produira un nombre premier d’un nombre de chiffres que vous décidiez reste la seule variable q et le $\pm1$
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Étude de k :
Faire des listes avec k de la forme$frac{m(m+1)}{2}et k différent , n variable de 1 à 1000 où 10000 pour mesurer la productivité de chacun des formules et voir celle qui donneront des « q » moins grandes, et donc moins d’opérations à effectuer dans la recherche de p.
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REMARQUES
Les nombre premier de la forme
p=p[kp,2,0,+/-1] tel que kp premier.
Si k=1 où 2 q peut dans certains cas seulement prendre des valeurs plus grandes du nombre de chiffres de p.
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VÉRIFICATION :
Pour vérifier la formule il faut commencer par prendre k inférieur à n et de la forme m(m+1)/2 et « n » de 3 à 4 chiffres pour se rendre compte que la valeur de «q » ne dépasse pas 4, pour un p à 12, 14 chiffres. Après on choisir des n ,k de plus en plus grand.

EXEMPLE :
Une programmation n°1;
n varie de 0 à 1000 seulement
k = 21
q= 0 fixe
D’où la formule devient :
p = 21*n*(n+1) -1 où
p = 21*n(n+1) +1

Une programmation n°2
n varie de 0 à 1000 seulement
k = 21
q= 1 fixe
D’où la formule devient :
p = 21*n*(n+1) -1 -42 où
p = 21*n(n+1) +1 -42

Une programmation n°3
n varie de 0 à 1000 seulement
k = 21
q= 2 fixe
D’où la formule devient :
p = 21*n*(n+1) -1 - 84 où
p = 21*n(n+1) +1 - 84 tjr il n’y pas +)

Une programmation n°4
n varie de 0 à 1000 seulement
k = 21
q= 3 fixe
D’où la formule devient :
p = 21*n*(n+1) -1 -126 où
p = 21*n(n+1) +1 -126

Une programmation n°5
n varie de 0 à 1000 seulement
k = 21
q= 4 fixe
D’où la formule devient :
p = 21*n*(n+1) -1 -168 où
p = 21*n(n+1) +1 -168


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INTERPRETATION GÉOMÉTRIQUE :

(En cours)
Soit le nombre 19.
Quel est la meilleure représentation géométrique de ce nombre ?
19 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 1+6+12 L’Hexagone est la meilleure forme possible
De même les nombres 7, 37, 61, 127, ....

k=3, q = 0, n = 2 ? p(3,2,+1,0) = 19


K= 2k = nombre de côtés ou arêtes.
n = R : rayon du polygone où nombre de niveaux égale aussi à la longueurs de chaque côté, Longueurs ici, n’est pas la longueur mesurable mais le nombre d’unité dans un côté. L’unité ici est un.
C le périmètre = 2kn.
Quelque soit le nombre de côté on a toujours l’égalité suivante n=R, ceux-ci ne peut être vrais dans une géométrie plane que dans le cas ou k=3 c'est-à-dire dans un hexagone ce qui pose un problème de la représentation géométrique des nombres premiers avec k différent de trois.
On admet alors cette égalité ou on peut imagine un espace non euclidien de tel sorte qu’on a toujours cette égalité.
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EN RÉSUMÉ :
Pour un k donner celui qui détermine p c’est bien q , pour des n très grands par rapport à k ,q est inférieur aux nombres de chiffres de p, c'est-à-dire à Log10(p) . quoique q semblerait avoir un comportement aléatoire, qui est difficile à prédire, par contre, il se trouve que son champ de présence est bien définie, et on peut l’appréhender avec un calcul probabiliste, il suffit de pousser les calcules sur de très grand nombres, à l’aide d’un logiciel approprié et tracer ensuite les statistiques

LA FORMULE :
Quels que soient $n$ et $k$ entiers naturels non nuls, il existe au moins un entier naturel $q_i $ compris entre zéro et le nombre du nombre de chiffres de $p$, noté $N$ et une infinité de $q_i$ supérieur à



Voici un exemple de résultats d’une programmation avec 1586 résultats positifs pour un $q$ ne dépassant pas 9, qui correspond à peu près à 1,5 de réponse positive pour un $n$ compris $18006$ et $181007$. $k = 180300$.

LE DÉFI :
Prenez $k=21,\ n= 2^{39511777}$, trouver $q$ et vous avez le record du plus grand nombre premier $$

p= 21\times 2^{39511777}(1+2^{39511777})\pm1-42q