Les suites 137x+1 et 3x+1
Bizarre ..., vous avez dit bizarre ?, comme c'est bizarre.
Étudions les suites commençant par un nombre entier positif X(1)
Si X(i) est impair et premier X(i+1) = P*X(i) + 1, si X(i) est impair et composite X(i+1) = 3*X(i) + 1 et si X(i) est pair X(i+1) = X(i)/2 avec P un nombre premier impair.
Si P = 3 on a les suites de Collatz (ou Syracuse ou 3x+1) qui se terminent par 1 puis le cycle trivial 4, 2, 1 qui se répète.
Si P=5 on trouve 3 cycles possibles, le plus fréquent 29,146,73,366,183,550,275,......,51,154,77,232,116,58,29 et répétition des 51 valeurs du cycle, le cycle trivial 1 puis 4,2,1 qui se répète, et un troisième cycle possible 7,36,18,9,28,14,7 et répétition des 6 valeurs du cycle.
Pour P=7 on trouve 5 cycles différents plus le cycle trivial, pour P=11 deux cycles plus le cycle trivial, pour P=13 3 cycles plus le cycle trivial le cycle le plus fréquent commence par 113 et a 2304 valeurs différentes avant de retrouver 113.
Pour P<137 on trouve toujours au moins un cycle différent du cycle trivial, le plus souvent au moins 2.
Là ou ça devient bizarre c'est pour P=137, les suites se terminent toujours par 1 et le cycle trivial, pas d'autre cycle trouvé pour X(1)<10000.
Vérifiez si vous avez des doutes.
Étudions les suites commençant par un nombre entier positif X(1)
Si X(i) est impair et premier X(i+1) = P*X(i) + 1, si X(i) est impair et composite X(i+1) = 3*X(i) + 1 et si X(i) est pair X(i+1) = X(i)/2 avec P un nombre premier impair.
Si P = 3 on a les suites de Collatz (ou Syracuse ou 3x+1) qui se terminent par 1 puis le cycle trivial 4, 2, 1 qui se répète.
Si P=5 on trouve 3 cycles possibles, le plus fréquent 29,146,73,366,183,550,275,......,51,154,77,232,116,58,29 et répétition des 51 valeurs du cycle, le cycle trivial 1 puis 4,2,1 qui se répète, et un troisième cycle possible 7,36,18,9,28,14,7 et répétition des 6 valeurs du cycle.
Pour P=7 on trouve 5 cycles différents plus le cycle trivial, pour P=11 deux cycles plus le cycle trivial, pour P=13 3 cycles plus le cycle trivial le cycle le plus fréquent commence par 113 et a 2304 valeurs différentes avant de retrouver 113.
Pour P<137 on trouve toujours au moins un cycle différent du cycle trivial, le plus souvent au moins 2.
Là ou ça devient bizarre c'est pour P=137, les suites se terminent toujours par 1 et le cycle trivial, pas d'autre cycle trouvé pour X(1)<10000.
Vérifiez si vous avez des doutes.
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Réponses
D'après la suite, je pense que tu traites le nombre1 comme les nombres composés impairs.
Cela dit, où veux tu en venir Math-e avec ce constat ?
Je parle du constat que tu fais dans la description de l'énoncé, notamment le fait que pour 137 tu ne trouves qu'un cycle. En tires-tu une conclusion particulière ?
1- Pour 3 < P premier < 137 il y-a toujours 2 ou plus cycles différents du cycle trivial
2- Le résultat pour P=137 soit le même que pour P=3, pas d'autre cycle que le cycle trivial
mais apparemment ça n'intéresse personne !
ça n'intéresse personne. Simplement parce que tu n'as rien prouvé. C'est un forum de maths, on attend des preuves, ou au moins des éléments qui permettent de justifier une affirmation autres que j'ai regardé et chaque fois que j'ai essayé, ça a donné ça. Car tu n'as pas essayé pour tous les entiers.
Autrement dit, si tu n'as pas de vraies explications mathématiques, ça n'intéressera personne.
D'ailleurs, as-tu recherché si ce que tu dis est nouveau (il y a une immense littérature sur ce genre de sujet, des sites entiers sur Internet) ?
Cordialement.
Pour avoir démonté MATH-E sur un sujet connexe, on ne pourra pas me soupçonner de complaisance à son égard.
Mais là, je trouve qu’on lui fait un mauvais procès
1) la variante qu’il propose me paraît originale. Sa définition est tout à fait satisfaisante et si « composé » signifie « non premier » je ne comprends pas toutes ces chicaneries notamment celle autour du « 1 ».
2) il ne prétend pas avoir démontré quoi que ce soit : il dit juste avoir rencontré une curiosité. Collatz à son époque n’a pas fait autre chose.
Par contre, la suite est sujet à controverse.
Un petit programme sur MAPLE m’a permis de constater que mes résultats n’étaient pas en conformité avec ceux de MATH-E. Il serait bon que, toute polémique mise à part, un autre forumeur fasse ces petits calculs.
Pour p = 137 MATH-E prétend que toute les suites qu’il a testées convergent vers 1.
Or pour x = 3 mon programme trouve que le 100 000e nombre impair de la suite est 11 031 656 607 574 879 301. Cela me laisse sceptique sur la convergence …
Quoi qu’il en soit, on est ici sur un sujet « normal » où il est possible de dire s'il y a une erreur ou pas.
S'il y a erreur, dommage exit la curiosité.
PS : La plupart des variantes de 3x+1 remplacent le 1 ou le 3 par des constantes. On comprend intuitivement que si on remplace le 3 par un nombre trop gros, les chances de convergence diminuent. Le fait de remplacer le 3 moins souvent atténue le phénomène de dilatation. C'est une idée qui me paraît intéressante et qui pourrait être étendue à d'autres sous-ensemble de IN que celui des nombres premiers.
En ce qui concerne la suite 137*x+1 si x est impair premier et 3*x+1 si x est impair non premier et x/2 si x est pair en partant de x=3 on rencontre 33966 nombres premiers (3 inclus), 416944 nombres impairs non premier et 901934 nombres pairs avant de tomber sur 1.
Le programme suivant en Script à utiliser avec pfgw64 pour vérification:
SCRIPT
DIM i,0
DIM j,0
DIM k,0
DIM x,3
DIMS t
LABEL a
SET i,i+1
SET x,137*x+1
LABEL b
SET k,k+1
SET x,x/2
IF x%2==0 THEN GOTO b
IF x==1 THEN GOTO ici
PRP x
IF ISPRP THEN GOTO a
SET j,j+1
SET x,3*x+1
GOTO b
LABEL ici
SETS t,%d,%d,%d\,;i;j;k
PRINT t
Resultat: 33966, 416944, 901934
ci dessous les 5 derniers nombres premiers de la suite commençant par x=3 :
5935249
6029981
4139873
26585747
15193169
« Or pour x = 3 mon programme trouve que le 100 000e nombre impair de la suite est 11 031 656 607 574 879 301. Cela me laisse sceptique sur la convergence … »
Car sur les valeurs indiquées par MATH-E j’ai poussé jusqu’à 500 000 et ô miracle ça converge ! (et j’ai retrouvé les valeurs qu’il m’avait indiquées)
Comme sur MAPLE ce calcul (juste pour x=3) me prend ente 1 et 2 minutes, il va falloir changer de braquet et passer au C++ pour vérifier (ou infirmer) les dires de MATH-E. Rendez-vous est pris donc … mais pas pour tout de suite.
Je le répète, nous sommes ici sur un vrai sujet. On fait des calculs jusqu’à un certain rang et on peut dire si ce que l’on pourrait appeler « la conjecture 137n+1 » est valide ou non jusqu’à ce rang. Rien de bien révolutionnaire, je vous l’accorde, mais rien de méprisable non plus.
@MATH-E : message personnel. C’est bien de reconnaître « un soutient cordial » mais il serait bon aussi de reconnaître « les critiques constructives ». Surtout quand elles viennent de la même personne, ce qui prouve que cette personne n’a pas d’ a priori. Quelque soit la fin qui sera réservé à ton travail, tu n’auras pas à en rougir.
C’est pour cela que tu devrais fermer tous tes fils sur ton «avancée» sur la conjecture de Syracuse qui ne font que te ridiculiser et te déconsidérer. Tu en a ici la preuve où les premiers intervenants ont critiqués ton travail sans même le lire en se disant « De toute façon, de la part de MATH-E ce ne peut être que des c.... » . Tu as un gros boulot à faire pour remonter ta réputation. Avec ce fil, peut-être … à condition d’éliminer tous les autres.
Je ne désespère pas de convaincre que ce que je vais écrire n'est pas faux.
Soit n un nombre entier positif.
En commençant par 0 n va prendre les valeurs: 0,1,2,3,4,5,6,...
Tout nombre entier positif impair non multiple de 3 est soit ègal à 3*n+1 si n est nul ou pair, soit égal à 3*n+2 si n est impair.
Tout nombre entier impair est ègal soit à ((3*n+1)*2^j-1)/3 pour n nul ou pair et j entier positif pair non nul, soit à ((3*n+2)*2^j-1)/3 pour n et j entiers positifs impairs.
J'attends de savoir si ce qui est écrit ci dessus est faux avant de continuer.
Soit n un entier impair, positif, non multiple de 3.
Il existe donc un entier k tel que n=6k+1 ou bien n=6k+5.
Voilà, j'ai traduit en français, et j'ai adapté un peu.
Et effectivement, cette affirmation est exacte.
La route va être longue et sinueuse !
La table ci dessous donne:
Colonne 1 les nombres entiers dans l'ordre naturel en commençant par 0.
Colonne 2 les nombres impairs non multiple de 3 dans l'ordre naturel.
Colonne 3 les nombres impairs ((3*n+1)*2^2-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^1)/3 pour n impair
Colonne 4 les nombres impairs ((3*n+1)*2^4-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^3)/3 pour n impair
Colonne 5 les nombres impairs ((3*n+1)*2^6-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^5)/3 pour n impair
Colonne 6 les nombres impairs ((3*n+1)*2^8-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^7)/3 pour n impair
Colonne 7 les nombres impairs ((3*n+1)*2^10-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^9)/3 pour n impair
Colonne 8 les nombres impairs ((3*n+1)*2^12-1)/3 pour n nul ou pair ou ((3*n+2)*2^11)/3 pour n impair
0, 1, 1, 5, 21, 85, 341, 1365
1, 5, 3, 13, 53, 213, 853, 3413
2, 7, 9, 37, 149, 597, 2389, 9557
3, 11, 7, 29, 117, 469, 1877, 7509
4, 13, 17, 69, 277, 1109, 4437, 17749
5, 17, 11, 45, 181, 725, 2901, 11605
6, 19, 25, 101, 405, 1621, 6485, 25941
7, 23, 15, 61, 245, 981, 3925, 15701
8, 25, 33, 133, 533, 2133, 8533, 34133
9, 29, 19, 77, 309, 1237, 4949, 19797
10, 31, 41, 165, 661, 2645, 10581, 42325
11, 35, 23, 93, 373, 1493, 5973, 23893
12, 37, 49, 197, 789, 3157, 12629, 50517
13, 41, 27, 109, 437, 1749, 6997, 27989
14, 43, 57, 229, 917, 3669, 14677, 58709
15, 47, 31, 125, 501, 2005, 8021, 32085
16, 49, 65, 261, 1045, 4181, 16725, 66901
17, 53, 35, 141, 565, 2261, 9045, 36181
La table met en évidence (sauf nier l'évidence) que aucun nombre impair présent dans une ligne n et colonne >2 ne peut être égal au nombre impair de la même ligne n présent colonne 2.
Tout nombre impair présent dans une ligne n et colonne >2 a pour successeur unique dans une suite de Syracuse le nombre impair de la même ligne présent colonne 2.
> La table met en évidence (sauf nier l'évidence) que aucun nombre impair présent dans une ligne n
> et colonne >2 ne peut être égal au nombre impair de la même ligne n présent colonne 2.
Faux. Dès la première ligne, on a le même nombre impair en colonne 2 et en colonne 3.
l'exception est parfois utile!
Donc je continue mon travail de traduction, parce que là encore, il y a des choses à reformuler.
Oublions donc la première ligne.
La table met en évidence (sauf nier l'évidence) que sur les 16 lignes qui sont affichées et les colonnes n°3 à 8, on ne retombe jamais sur le chiffre de la même ligne, colonne 2.
Cette table ne prouve rien pour les lignes qui ne sont pas affichées, ni pour les colonnes qui ne sont pas affichées.
Par contre, il suffirait de dire que pour n non nul, 4n+1 n'est jamais égal à 6n+1 et 2 ou 3 choses du même genre, et on pourrait effectivement généraliser ce tableau à un cas général.
Donc, ok, on vient de découvrir que 4n+1 n'est jamais égal à 6n+1, sauf pour n=0. Grande avancée.
À quel moment on essaye de proposer des preuves ?
J'ai déja expliqué comment les colonnes 1,2 et 3 sont produites.
Tout nombre impair non multiple de 3 est présent une fois et une fois seulement dans les colonnes de 3 à n et à l'exeption de 1 aucun nombre impair non multiple de 3 ne peut être présent sur la même ligne.
As-tu une preuve de :
1) Tout nombre impair non multiple de 3 est présent une fois et une fois seulement dans les colonnes de 3 à n
et
2) A l’exception de 1 aucun nombre impair non multiple de 3 ne peut être présent sur la même ligne ?
Au plaisir...
Je vous jure ils y sont tous
Tout nombre entier positif impair x=((3*x+1)-1)/3.
3*x+1 est pair et 1 modulo 3.
Tout nombre pair 1 modulo 3 est le produit soit d'un nombre impair 1 modulo 3 par une puissance de 2 paire qui est 1 modulo 3, soit le produit d'un nombre impair 2 modulo 3 par une puissance de 2 impaire qui est 2 modulo 3.
Les nombre impairs 1 modulo 3 sont ègaux à 3*n+1 pour n nul ou pair.
Les nombre impairs 2 modulo 3 sont égaux à 3*n+2 pour n impair.
Donc tout nombre positif non nul impair est soit = ((3*n+1)*2^(2*j)-1)/3, n nul ou pair et j de 1 à j soit = ((3*n+2)*2^(2*j-1)-1)/3 n impair et j de 1 à j.
La table par construction contient bien chaque nombre impair une fois et une fois seulement dans les colonnes de 3 à j.
2-Ttout nombre entier positif impair 1 modulo 3 ou 2 modulo 3 est présent une fois et une fois seulement dans la colonne 2 et est égal à 3*n+1 si n est nul ou pair ou égal à 3*n+2 si n est impair.
Il est impossinle d'avoir 3*n+2 = ((3*n+2)*2^(2*j-1)-1)/3, n et j impairs.
Il est impossible d'avoir 3*n+1 = ((3*n+1)*2^(2*j)-1)/3 sauf pour n=0 et j=1, on retrouve l'existence unique du cycle trivial.