Syracuse again
Bonjour.
Agacé par tous ces "chercheurs de vérité" qui pensent trouver élémentairement la solution, je leur propose cet élément de réflexion :
Rappelons qu'en dehors du modèle standard de l'arithmétique, il existe une infinité de modèles non standards ; si l'on démontre que pour tout entier $n$, la suite associée arrive nécessairement au cycle $\{1,2,4\}$, il doit en être de même pour tout modèle de l'arithmétique et, notamment, pour tout modèle non standard de celle-ci. Prenons donc un tel modèle, et soit $s_0 = a$ un entier non standard, ce qui signifie qu'il majore tous les entiers standards. si $a = 2\,b$, alors $s_1 = b$ qui est également non standard et si $s_0$ est impair, alors $s_1 = 3\,a + 1$ qui est toujours non standard ! Donc la suite ainsi construite ne peut se terminer par le fameux cycle puisqu'elle est contenue dans la partie non standard du modèle et le résultat cherché n'est pas démontrable (ce qui ne prouve pas qu'il soit faux :-D).
Comme tout sthameur qui se respecte, j'ajoute : "Si vous ne me croyez pas, trouvez par où le raisonnement pèche".
Bruno
Agacé par tous ces "chercheurs de vérité" qui pensent trouver élémentairement la solution, je leur propose cet élément de réflexion :
Rappelons qu'en dehors du modèle standard de l'arithmétique, il existe une infinité de modèles non standards ; si l'on démontre que pour tout entier $n$, la suite associée arrive nécessairement au cycle $\{1,2,4\}$, il doit en être de même pour tout modèle de l'arithmétique et, notamment, pour tout modèle non standard de celle-ci. Prenons donc un tel modèle, et soit $s_0 = a$ un entier non standard, ce qui signifie qu'il majore tous les entiers standards. si $a = 2\,b$, alors $s_1 = b$ qui est également non standard et si $s_0$ est impair, alors $s_1 = 3\,a + 1$ qui est toujours non standard ! Donc la suite ainsi construite ne peut se terminer par le fameux cycle puisqu'elle est contenue dans la partie non standard du modèle et le résultat cherché n'est pas démontrable (ce qui ne prouve pas qu'il soit faux :-D).
Comme tout sthameur qui se respecte, j'ajoute : "Si vous ne me croyez pas, trouvez par où le raisonnement pèche".
Bruno
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Réponses
Tu viens de perdre 100% des shtameurs, donc tu n'es pas près de les convaincre d'arrêter de shtamer :-D
Rien n'interdit à un shtameur de faire une démonstration dans ZFC au lieu de PA, on peut toujours rêver :-P
Je ne sais pas où est l'erreur mais il me semblait qu'il n'avait jamais été démontré que Syracuse est indécidable dans PA (contrairement à l'exemple classique des suites de Goodstein par exemple).
Il me semble avoir lu quelque part que certaines variantes de la conjecture de Syracuse ont été démontrées indémontrables dans ZFC, mais je n'ai plus les références.
Cordialement,
Rescassol
Faut bien leur faire voir un peu de pays à ces jeunots.
Bruno
Mais pour l’indécidabilité dans PA je n'ai jamais rien entendu de tel.
PS:
Un message que les moins de 50 ans ne peuvent sans doute pas comprendre. B-)
Exemple : Soit $n$ un entier. J'appelle Syracusepourbébés(n) la suite qui commence à $u_0= n$ et $u_{n+1} = u_n - 1$ si $u_n >0$, $0$ sinon. Bon, bah il est clair que dès lors qu'on arrive à exprimer le fait que Syracusepourbébés(n) s'arrête pour tout $n$ dans Peano, on pourra le prouver. Pourtant on peut toujours faire le raisonnement de Bruno ;-)
Bruno