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Conjecture de Collatz éventuellement résolue?

Envoyé par H.S. Bastoini 
Conjecture de Collatz éventuellement résolue?
le mois dernier
Bonjour
je suis arrivé au résultat ci-joint concernant la démonstration de la conjecture de Syracuse ou Collatz.

Vos observations sont les bienvenues.
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - collatz-en.pdf (26.3 KB)
Re: Conjecture de Collatz éventuellement rés
le mois dernier
Et les autres "infinites loops": repassage par un même nombre ou bien façon "buzz l'éclair"?

Note: le parcours de $2^n$ indiqué en bas de page ne suit pas ton schéma. Dans ton schéma, on passe deux fois par 1.

sinon, en quoi ce genre de schéma prouve quelque chose? example avec la version simplifiée:

$\fbox{2n} \rightleftarrows \fbox{2n+1} \rightarrow \fbox{1}$

Edit: Ok, j'imagine que ton point est que k->k'->k'' diminue. Sauf que ça ne diminue pas toujours:
2n+1=11
6k+4=34
6k'+5=17
6(3k'+2)+4=52
Le nouveau k est plus grand qu'à l'étape "34"



Edité 3 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Collag3n.
Re: Conjecture de Collatz éventuellement rés
le mois dernier
Bonjour,

Navré ... je devais répondre à d'autres observations par mail.


Veuillez trouver ci-jointes les réponses aux observations de Collag3n.


Merci
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - collatz-en21avril2019.pdf (35.8 KB)
Re: Conjecture de Collatz éventuellement résolue?
le mois dernier
Moi je trouve ce document génial. Un nombre est de la forme 6k+1 ? Stop Process, infinite Loop ... et voilà, la conjecture est démontrée.

A ce niveau là, ce n'est plus des mathématiques, c'est de l'art surréaliste, tendance Dali. En plus, les couleurs sont sympa, il y a des flèches dans tous les sens ; il y a un vrai côté artistique dans ce document.
Aucun intérêt sur le plan mathématique, mais génial.

Pour plus marquer le côté surréaliste de l'oeuvre, il faudrait peut-être ajouter quelques lettres grecques, et une sinusoïde. Ainsi, on aurait le lien entre la conjecture de Collatz, et le nombre Pi.
Re: Conjecture de Collatz éventuellement résolue?
le mois dernier
avatar
Le nombre $\varphi$ est plus tendance ! hot smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Fin de partie.
Dom
Re: Conjecture de Collatz éventuellement résolue?
le mois dernier
En effet, en regardant de près, c'est bien fait mais à aucun moment on a une preuve que tous les chemins mènent à 1 et "l'infinite loop".

Par exemple, si on enchaîne des "ronds" (nombre pair et division par 2) alors on comprend que la décroissance enferme vers "une convergence". Mais dès que l'on prend un "carré" (3n+1), on ne sait rien sur "l'avenir".
Toutes ces boucles qui remontent permettent de comprendre le problème mais pas de le solutionner.

Éventuellement, sur un tel diagramme, si on n'a que des boucles "qui descendent", on aura une esquisse d'un raisonnement conduisant à une preuve.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Dom.
Re: Conjecture de Collatz éventuellement rés
le mois dernier
Mon exemple avec 11 était juste un exemple. Essaye avec 15 et tu auras plus qu'une montée. Ton schéma ne prouve pas que tu ne peux pas avoir une infinité de montées (k suivant plus grand que k précédent), et bien qu'il soit connu que tout nombre $a\cdot 2^n-1$ monte jusqu'à $a\cdot 3^n-1$ en exactement $n$ étapes (ni plus ni moins), il n'est par contre pas connu si après ces $n$ étapes, et une division par 2 supplémentaire, on ne retombe pas sur un autre $a\cdot 2^n-1$ qui remontera de plus belle.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Collag3n.
Re: Conjecture de Collatz éventuellement résolue?
le mois dernier
Bonjour

Lorrran,
Fin de partie,

Je répondais méticuleusement aux observations de Collag3n.

J'ai usé de tout ( couleur, flèches .....etc) pour être claire et net

ai-je tort ?

-------------------------------
Dom

1 et "infinite loop" n'est une branche de diagramme; c'est pour indiquer que à la position 6k''+1 =1 cela ne sert pas à rien de continuer car on tombe dans un boucle infinie qui est 4-2-1-4-2-1-4-2-1-4-2-1.......à l'infini.

d'ou l'idée de stopper le processus quand 6k''+1=1 ou "ailleurs"

La suite de vos observations est très intéressante:

L'ensemble de nombre impaire 2k+1={6k+1; 6k+3, 6k+5}

Appliquons hypothèses de Collatz pour les nombre impaires

6k+1 --> (6k+1)*3+1= 18k + 4 = 6(3k)+4
6k+3 --> (6k+3)*3+1= 18k + 10 = 6(3k+1) +4
6k+5 --> (6k+5)*3+1= 18k + 16 = 6(3k+2) +4

Fort est de constaté tout nombre impaire (2k+1)*3+1 =4 (modulo 6)

intéressant !!!!
-----------------------------------
Collag3n

je ensemble mes arguments.

..A bientôt
Re: Conjecture de Collatz éventuellement résolue?
le mois dernier
Sinon, le diagramme est super tendance, en Anglais,c'est plus facile à publier.

Il y a en ce moment, sur ce site et pour cette énigme un concours de la preuve la plus courte.....
Re: Conjecture de Collatz éventuellement résolue?
le mois dernier
Citation
Collag3n
et bien qu'il soit connu que tout nombre $a\cdot 2^n-1$ monte jusqu'à $a\cdot 3^n-1$ en exactement n étapes (ni plus ni moins)

Je crains que ce ne soit pas le cas. On en a déjà discuté il y a pas mal de temps : $a\:2^n-1$ croît en fait jusqu'à $2\:a\:3^{n-1}-1$ (voir ce post).

Je vais être hors-sujet, mais pendant que j'y suis je tiens à faire remarquer que ce sont le premier et le dernier terme de ce que pour ma part je nomme une séquence croissante, lesquels sont de la forme

Premier terme : $12\:x_1-5$
Dernier terme : $12\:x_2-7$

où $x$ est un entier positif non nul et $x_1\neq x_2$. On peut calculer facilement le nombre de termes d'une séquence en fonction de la valeur de $x$ :

$12\:x-5=a\:2^n-1$
$12\:x-4=a\:2^n$
$a=2^{2-n}\:(3\:x-1)$

Prenons $x=6$. Premier terme : $12\times6-5=67$. Comme $3\times6-1=17$, impair, $n$ est nécessairement égal à 2, puisque 17 est divisible par $2^{2-2}=1$. Et de fait, la suite de 67 est 67, 101, 19, ..., soit deux termes croissants. Avec $x=7$ on a $12\times7-5=79$ ; comme $3\times7-1=20$, divisible par 4, l'exposant de 2 doit être égal à $-2$, soit $n=4$. Suite de 79 : 79, 119, 179, 269, 101, ... Il y a bien 4 termes croissants. On notera que ni 67 ni 79 n'ont de prédécesseur plus petit qu'eux, condition pour qu'ils soient le premier terme de leur séquence croissante respective.

On opère de la même façon pour le dernier terme de la séquence :

$12\:x-7=2\:a\:3^{n-1}-1$
$12\:x-6=2\:a\:3^{n-1}$
$a=3^{2-n}\:(2\:x-1)$
$x=\displaystyle\frac{1}{18} \left(a\:3^n+9\right)$

$a$ étant un entier impair on peut lui attribuer n'importe quelle valeur pour obtenir celle de $x$, qu'on remplacera dans $12\:x-7$. Supposons qu'on désire obtenir le dernier terme d'une séquence croissante de 5 termes. Avec $a=1$ et $n=5$ on obtient $x=14$ puis $161$, dernier terme de la séquence croissante 31, 47, 71, 107, 161, ... Avec $a=3$ et $n=11$ on obtiendra $354293$ et la séquence de 11 termes croissants 6143, 9215, 13823, 20735, 31103, 46655, 69983, 104975, 157463, 236195, 354293, ...

Citation
Collag3n
il n'est par contre pas connu si après ces n étapes, et une division par 2 supplémentaire, on ne retombe pas sur un autre $a\cdot 2^n-1$ qui remontera de plus belle.

Une suite de Collatz est constituée de séquences croissantes liées entre elles, ce qui lui donne cet aspect caractéristique de montagnes russes. Le vrai problème n'est pas de savoir si lorsque l'une d'elles se termine on ne vas pas retomber sur une autre, mais de comprendre pourquoi l'une d'elles est la dernière.
Re: Conjecture de Collatz éventuellement
le mois dernier
@Wilfrid,
Oui, en général on ne regarde que les nombres impairs (ce qui n'est pas le cas ici), et donc on passe de ($a\cdot 2^n-1$) à ($2\cdot a \cdot 3^{n-1}-1$) en $n-1$ étapes, mais comme dis dans ton lien, je préfère les formules simples et faciles à retenir, et passer de ($a\cdot2^n -1$) à ($a\cdot 3^n-1$) en $n$ étapes est tout à fait correcte même si ce chiffre pair n'apparaît pas réellement dans l'abre des impairs.

A noter aussi que plus globalement, tous les termes de la suite ascendante (hormis le dernier) sont de la forme $4x+3$. Cette forme est la seule (mais c'est quand-même la moitié des impairs) qui donne un $k$ (ou un $x$) supérieur à l'étape suivante.



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Collag3n.
LEG
Re: Conjecture de Collatz éventuellement résolue?
il y a sept semaines
citation @wilfrid:
Citation

Le vrai problème n'est pas de savoir si lorsque l'une d'elles se termine on ne vas pas retomber sur une autre, mais de comprendre pourquoi l'une d'elles est la dernière.
Par ce que la conjecture est vraie pour l'instant...hot smiley

si on prend un vol i impair: et bien 1 - i = - 2n , spinning smiley sticking its tongue out une suite arithmétique de raison - 2
faites le bilan des différences montantes avec les différences descendantes il faut bien que le total de ce bilan soit $- 2n$

Si ce n'est pas le cas et bien la conjecture est fausse , si l'une d'elle n'est pas la dernière et bien cela continue à monter...thumbs up ou à osciller : conjecture fausse ....drinking smiley

@Jules Rennucci a montrer sur ce site: que Syracuse est un structure Arithmétique très simple avec l'AS2 (Algorithme de Syracuse 2) smoking smiley
il n'utilise que les nombres pair. en partant de 2i.
Bon amusement....

il a même expliquer : si un vol X infirme la conjecture et bien aucune des itérations paires de X, appartiennent à un vol 2i ayant vérifiè Syracuse ...Depuis le temps, ce sont surement les nombres pairs du père noël....smiling bouncing smiley
Re: Conjecture de Collatz éventuellement résolue?
il y a sept semaines
Bonjour,

Veuillez trouver ci-joint un aperçu général de la conjecture de Collatz.

ça pourrait intéresser quelqu'un.

Bonne réception
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - la genese collatz-22 avril 2019.pdf (39.2 KB)
Re: Conjecture de Collatz éventuellement résolue?
il y a sept semaines
@LEG,

Je ne voulais pas trop interférer avec le sujet initial, mais comme il semble éteint je me permets de poursuivre.

Citation
Wilfrid
Le vrai problème n'est pas de savoir si lorsque l'une d'elles se termine on ne vas pas retomber sur une autre, mais de comprendre pourquoi l'une d'elles est la dernière.
Citation
LEG
Parce que la conjecture est vraie pour l'instant...

C'est en effet d'une logique implacable, mais ne constitue pas une explication. Voici un schéma illustrant ce dont je parlais :


S'il existe des séquences croissantes aussi longues qu'on veut et dont les premier et dernier terme sont calculables, il n'existe par contre aucune séquence décroissante, mais plutôt des "portions décroissantes de la suite" dépourvues de premier terme (au sens qu'il serait uniquement précédé d'un terme plus petit que lui, ce qui permettrait de l'identifier formellement, tout comme le premier terme d'une séquence croissante est uniquement précédé d'un terme plus grand que lui – ou n'a aucun prédécesseur s'il est un multiple de 3). On sait seulement qu'une telle portion débute par le dernier terme d'une séquence croissante et vient se greffer sur l'un des termes de la séquence croissante suivante, ou, si celle-ci n'existe pas, s'achève sur 1.

Le terme $t$, appartenant à la dernière séquence croissante, est à mon sens le terme le plus important d'une suite. Une infinité de chemins mènent à lui, si bien que tout ce qui le précède peut être considéré comme superflu.

La question est donc : le terme $t$ est-il particulier ? La difficulté réside dans le fait que chaque terme de la dernière portion décroissante peut être considéré comme un terme $t$ à condition qu'il soit également le dernier terme potentiel d'une séquence croissante, donc de la forme $12\:x-7$. Si aucun terme d'aucune dernière portion décroissante n'est de cette forme (hormis bien sûr le premier), alors $t$ est particulier.

NB : parmi les prédécesseurs impairs immédiats de 1 certains sont de cette forme : 5, 341, 21845, ...
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