Fonctions de pluie
dans Shtam
Bonjour,
Il ne s’agit pas ici de démonstration d’un résultat important ou difficile, mais de l’élaboration collective d’une étude de fonctions particulières, si le cœur vous en dit.
Définissons une fonction de pluie comme étant une application $f:\R_+ \rightarrow \mathcal{P}(\R^2) $. Le but est de classifier ces fonctions, qui permettraient de modéliser par exemple les taches formées sur le plan par la pluie qui tombe. On pourra généraliser ce phénomène aux surfaces quelquonques. On peut imaginer que ces fonctions représentent dans certain cas les contours de solides qui traversent le plan.
Première étape : construire une topologie sur $\mathcal{P}(\R^2)$ qui rend compte de la continuité d’une fonction définie par \[f(t) = \{(x,y)\in\R^2 \mid x^2+y^2 = t^2 \} \]
par exemple.
B&B
PS : si ce genre de chose existe dèjà, n’hésitez pas à me le signaler.
Il ne s’agit pas ici de démonstration d’un résultat important ou difficile, mais de l’élaboration collective d’une étude de fonctions particulières, si le cœur vous en dit.
Définissons une fonction de pluie comme étant une application $f:\R_+ \rightarrow \mathcal{P}(\R^2) $. Le but est de classifier ces fonctions, qui permettraient de modéliser par exemple les taches formées sur le plan par la pluie qui tombe. On pourra généraliser ce phénomène aux surfaces quelquonques. On peut imaginer que ces fonctions représentent dans certain cas les contours de solides qui traversent le plan.
Première étape : construire une topologie sur $\mathcal{P}(\R^2)$ qui rend compte de la continuité d’une fonction définie par \[f(t) = \{(x,y)\in\R^2 \mid x^2+y^2 = t^2 \} \]
par exemple.
B&B
PS : si ce genre de chose existe dèjà, n’hésitez pas à me le signaler.
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Réponses
C'est un exemple bébé d'un phénomène plus général qui relie les faisceaux sur un espace topologique $X$ aux espaces étalés sur le même espace. Où est-ce que je veux en venir ? Bah en fait quand on a, par exemple, un groupe abélien associé à chaque point $x$ d'un espace topologique $X$ et qu'on veut dire qu'ils varient continûment, on peut ou bien le faire par une sorte de condition de recollement, ce qui consiste essentiellement à essayer de mettre une topologie un peu comme tu le fais, mais parfois c'est un peu embêtant; et ici ton exemple est un cas parfait ou la deuxième manière de faire est bien plus efficace : on peut le décrire comme un espace étale (bon pas forcément étale en réalité, mais bon c'est l'idée)
Ici tu as une fonction $f:t\mapsto \{(x,y)\mid x^2+y^2=t^2\}$ qui est donnée sous forme de $x\mapsto p^{-1}(x)$ avec une projection $p$ très sympathique, et donc plutôt que de s'échiner à trouver une topologie sur $\mathcal{P}(\R^2)$ pour laquelle elle serait continue, on n'a qu'à la représenter par la projection $p: \{(x,y,t) \mid x^2+y^2=t^2\}\to \R, (x,y,t)\mapsto t$
En jouant un peu avec des exemples comme ça tu devrais te rendre compte qu'une "famille de courbes [en un sens vague] continûment paramétrée par $x\in M$ [$M$ une variété par exemple, ou un espace topologique]" c'est très très bien représenté par "une application lisse [en un sens vague ici aussi : à toi de voir ce que tu veux entendre par lisse] $p:N\to M$"
Ce principe marche aussi bien en topologie générale ou algébrique, qu'en géométrie différentielle et qu'en géométrie algébrique me semble-t-il. Je ne sais pas trop quoi te donner comme références mais pour l'aspect topologique que j'ai décrit au-dessus tu peux t'intéresser aux mots-clés "faisceau(x), espace étale (ou étalé ?)", en anglais "sheaf(ves), étale space"; pour l'aspect topologie algébrique il faut chercher du côté de "fibré, fibration" ou en anglais "bundle, fibre (ou fiber selon les gens) bundle, fibration"; et pour l'aspect géométrie (algébrique ou différentielle) j'avoue que je ne connais pas le terme... j'aurais dit "courbe paramétrée" mais ça renvoie à autre chose donc je ne sais pas trop..
Je vais juste dire que la géométrie de $ \{(x,y,t) \mid x^2+y^2=t^2\}$ est intéressante : tu peux t'amuser à le dessiner et ça donne exactement ce que tu imagines; j'avais eu un exercice dessus en partiel de géométrie différentielle si je me souviens bien :-D
L'exemple donné par Wikipedia est la façon dont pullulent les antennes-relais de téléphonie mobile.
https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_point_process#Spatial_Poisson_point_process
Tu peux chercher la notion de fonction multivoque. J’ai étudié ça en maîtrise jadis.
Il existe notamment des notions de semi-continuité inférieure et supérieure.
On peut aussi utiliser la distance de Hausdorff lorsque la fonction est à valeurs compactes non vides comme raoul.S l’a fait justement remarquer.
Une (la ?) référence : Set-Valued analysis de Aubin et Frankowska.