Découverte mathématique (suite)

Pablo_de_retour · May 2019

Bonjour à tous
Je me permets d'ouvrir un nouveau fil concernant mes affirmations sur l'autre fil sur la possibilité de résolution des équations algébriques de degré quelconque par radicaux, que je maintiens toujours, et qui vont à l'encontre des affirmations de la théorie de Galois, et qui fait suite à la discussion précédente dans la section Shtam http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1744152

L'administrateur @michael a fermé ce fil mis en lien ci-dessus (je comprends sa décision :-) ), mais m'a permis de pouvoir ouvrir un autre fil en cas où j'ai cette fois ci une méthode de résolution à présenter concrètement dans le forum pour en discuter et la corriger ensemble.

Dans le fil mis en lien ci-dessus, j'ai affirmé que la théorie de Galois s'est avérée être fausse et que d'après mes trouvailles, j'ai pu trouver une méthode de résolution des équations algébriques de degré $ \geq 5 $ rien qu'avec les $ 4 $ opérations de bases, les racines $n$ - ièmes de l'unité, les radicaux, et les coefficients de l'équation.

Cela a suscité un petit tollé sur le forum, et @Fin de Partie, pour se convaincre, m'a demandé de présenter sur le forum la résolution de l'équation $ x^5 -x-1 = 0 $ par ma méthode de résolution, qui par les prédictions de la théorie de Galois, cette équations n'est pas résoluble par radicaux.

Alors, je lève de défi et je lui présente une factorisation de l'équation $ P(x) = x^5 -x-1 $ par radicaux. La voici.

$ P $ se met sous la forme :
$ P(x) = x^5 -x- 1 = Q(x) R(x) $
avec : $ Q (x) = x^2 + a x + b $
$ a = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} - \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \Big( \sqrt[3]{ s + t } + \sqrt[3]{ s - t } \Big) $
$ b = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} + \Big( \sqrt[3]{ s + t } + \sqrt[3]{ s - t } \Big) $
et :
$ s = \dfrac{1}{4} ( 11 - 5 \sqrt{5} ) $
$ t = \dfrac{1}{6} \sqrt{ \dfrac{1}{6} ( 2521 - 1125 \sqrt{5} ) } $

J'espère que je n'ai pas commis d'erreurs parce que le calcul est fastidieux. Il y a eu plusieurs calculs à faire et j'ai répété le calcul plusieurs fois afin de corriger s'il y a des erreurs.
Cordialement.

Fin de partie · May 2019

Où est $R$?

Poirot · May 2019

Vérification numérique non concluante, étonnant...

Pablo_de_retour · May 2019

Fin de Partie :
$ R $, à toi de le trouver. Je ne vais pas tout te donner, non ?

Poirot :
Je n'ai pas compris ce que tu sous entend par : ''vérification non concluante''. ça veut dire que mon calcul est faux ?

Fin de partie · May 2019

Poirot:

Pablo n'a même pas pensé à vérifier numériquement sa "découverte". Je suis prêt à le parier.

Ce ne sera pas la première (et sans doute pas la dernière fois) qu'il viendra se confondre en excuses.

PS:
Je suis curieux de connaître le deuxième polynôme du produit. Le suspense est à son comble.

Fin de partie · May 2019

Pablo:

Tu ne vas rien me donner du tout, parce que ce polynôme n'existe pas.
Si tu avais pris la peine d'essayer de l'obtenir tu te serais rendu compte de ton erreur.

C'est une version rigolarde de Namagiri qui t'a communiqué le polynôme Q en rêve? B-)-

Pablo_de_retour · May 2019

Poirot, tu peux me répondre s'il te plaît ?

Math Coss · May 2019

Vérification numérique :

s, t = 1/4*(11-5*sqrt(5)), 1/6*sqrt(1/6*(2521-1125*sqrt(5)))
a = (1-sqrt(5))/2-(1+sqrt(2))/5*((s+t)^(1/3)+(s-t)^(1/3))
b = (1-sqrt(5))/2 + ((s+t)^(1/3)+(s-t)^(1/3))
D = solve(x^2+a*x+b,x,solution_dict=1)
(x^5-5*x-1).subs(D[0]).n(), (x^5-5*x-1).subs(D[1]).n()

Out:

(-1.06676927535317 - 2.58220031146802*I, -5.69396280474652 + 0.316839774070323*I)

Surprise, ça ne fait pas zéro. C'est certainement parce que Sage a mal levé l'indétermination sur les racines cubiques, pas du tout à cause d'une erreur de calcul de Pablo. Alors on joue sur les différentes racines cubiques.

j = exp(2*I*pi/3)
for k in range(3):
    for l in range(3):
        a = (1-sqrt(5))/2-(1+sqrt(2))/5*(j^k*(s+t)^(1/3)+j^l*(s-t)^(1/3))
        b = (1-sqrt(5))/2 + (j^k*(s+t)^(1/3)+j^l*(s-t)^(1/3))
        D = solve(x^2+a*x+b,x,solution_dict=1)
        print "Sol. 1 : %s ; sol. 2 : %s)" % ((x^5-5*x-1).subs(D[0]).n(), (x^5-5*x-1).subs(D[1]).n())

Out:

Sol. 1 : -1.06676927535317 - 2.58220031146802*I ; sol. 2 : -5.69396280474652 + 0.316839774070323*I)
Sol. 1 : 1.97487681604530 - 1.90049469381230e-16*I ; sol. 2 : -4.61285573653784 + 5.04201154896370e-17*I)
Sol. 1 : -1.06676927535317 + 2.58220031146802*I ; sol. 2 : -5.69396280474652 - 0.316839774070322*I)
Sol. 1 : 2.11765070440980 - 3.76821317305283*I ; sol. 2 : -5.19502040627590 - 1.15462446434450*I)
Sol. 1 : 3.79535292192451 + 0.434960208875148*I ; sol. 2 : -3.64424875439915 - 0.639995183079904*I)
Sol. 1 : 1.46301955848664 + 0.321563126784076*I ; sol. 2 : -4.78103657449891 + 0.0856317961577856*I)
Sol. 1 : 1.46301955848664 - 0.321563126784076*I ; sol. 2 : -4.78103657449891 - 0.0856317961577853*I)
Sol. 1 : 3.79535292192451 - 0.434960208875148*I ; sol. 2 : -3.64424875439915 + 0.639995183079904*I)
Sol. 1 : 2.11765070440980 + 3.76821317305283*I ; sol. 2 : -5.19502040627590 + 1.15462446434450*I)

Mince, toujours aucune solution.

Edit : correction du code et des résultats (j'avais mis $k\sqrt[3]{s+t}$, etc. au lieu de $j^k\sqrt[3]{s+t}$).

Chalk · May 2019

Tu déconnes Math Coss ??? T'es en train de dire que non seulement Pablo a "démonté" la théorie de Galois qu'il a prouvé fausse (et donc ZF incohérent au passage), mais qu'en plus il a réussi à prouver que Sage est buggé ?

Pablo_de_retour · May 2019

Pardon. Je corrige une coquille :
On a :
$ a = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} - \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \Big( \sqrt[3]{ s + t } + \sqrt[3]{ s - t } \Big) $
au lieu de :
$ a = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} - \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2} \Big( \sqrt[3]{ s + t } + \sqrt[3]{ s - t } \Big) $
Je n'ai pas vu ça. Pouvez vous reprendre le calcul avec Sage s'il vous plaît ?
Merci.

Fin de partie · May 2019

On ne sait pas d'où Pablo sort tous ces nombres. Il serait peut-être temps qu'il nous explique d'où il les sort pour qu'il lui soit expliqué ses erreurs.

Pablo_de_retour · May 2019

Math Coss :
Est ce que tu peux s'il te plaît refaire la vérification numérique à l'aide de Sage comme tout à l'heure, après que j'ai corrigé maintenant l'erreur ?
Merci infiniment.

nodgim · May 2019

@ Pablo :

Pardon, mais quel crédit peut-on accorder à cette affirmation de la part de quelqu'un qui ne sait pas trouver 3 entiers composés et premiers entre eux 2 à 2 ?

Tout cela est-il bien sérieux ?

Fin de partie · May 2019

Pablo:

Peux-tu s'il te plait expliquer d'où sortent tous ces nombres?

Math Coss · May 2019

Serviteur, Monsieur !

Sol. 1 : -1.06676927535317 - 2.58220031146802*I ; sol. 2 : -5.69396280474652 + 0.316839774070322*I)
Sol. 1 : 1.97487681604530 - 2.66812708294002e-16*I ; sol. 2 : -4.61285573653784 - 9.52592829297736e-17*I)
Sol. 1 : -1.06676927535317 + 2.58220031146802*I ; sol. 2 : -5.69396280474652 - 0.316839774070322*I)
Sol. 1 : 2.11765070440980 - 3.76821317305283*I ; sol. 2 : -5.19502040627590 - 1.15462446434450*I)
Sol. 1 : 3.79535292192451 + 0.434960208875148*I ; sol. 2 : -3.64424875439915 - 0.639995183079905*I)
Sol. 1 : 1.46301955848664 + 0.321563126784076*I ; sol. 2 : -4.78103657449891 + 0.0856317961577852*I)
Sol. 1 : 1.46301955848664 - 0.321563126784076*I ; sol. 2 : -4.78103657449891 - 0.0856317961577851*I)
Sol. 1 : 3.79535292192451 - 0.434960208875148*I ; sol. 2 : -3.64424875439915 + 0.639995183079905*I)
Sol. 1 : 2.11765070440980 + 3.76821317305283*I ; sol. 2 : -5.19502040627590 + 1.15462446434450*I)

Ça ne change rien, évidemment.

Pablo_de_retour · May 2019

Fin de Partie :
On corrige d'abord, après on verra.
J'ai corrigé l'erreur qui semble être responsable que Sage n'a pas fonctionné. Peux tu vérifier maintenant comme l'a fait Math Coss avec Sage ?
Merci d'avance.

edit : Merci Math Coss.

Pablo_de_retour · May 2019

Fin de Partie :
Je suis sûr que ma méthode est correcte, meme si ça n'a pas marché dans Sage pour le cas de ton équation numériquement, car l'erreur est dans le calcul numérique et non dans la méthode., parce que théoriquement, j'ai obtenu des formules formelles correctes qui fonctionnent, mais que je ne peux pas les dévoiler.

Chalk · May 2019

Bah c'est ce que j'ai dit, tu as démontré que Sage est buggé. Ceci dit c'est bien peu de chose par rapport à avoir démontré que ZF est incohérent.

Dom · May 2019

Voyons Pablo_de_retour, avec ce genre de nombres, une CASIO des années 90 proposerait au moins des valeurs approchées proches de 0 de l'ordre du millième. Si ça se trouve un téléphone NOKIA à clapet pourrait aussi y parvenir.

Je ne sais pas où en est Sage mais quand même, qu'est-ce que tu racontes ?
Pourquoi en es-tu encore là ?

Pablo_de_retour · May 2019

Ce qui est jolie dans ces formules, est que $ a $ et $ b $ se mettent sous la forme : $ x + ( \sqrt[3]{ s + t } + \sqrt[3]{ s - t } ) \ y \ \ $ , avec : $ x $ et $ y $ sont des nombres d'or. :-)

Fin de partie · May 2019

Pablo a écrit:

car l'erreur est dans le calcul numérique et non dans la méthode.

Le fait que cette équation du cinquième degré ne soit pas résoluble par radicaux ne signifie pas qu'on ne sache pas trouver des valeurs approchées très précises des solutions de cette équation.

PS:
Si tu calcules le polynôme R manquant*, par le même procédé, tu verras, par toi même, que ce que tu racontes est grotesque.
(tu verras que $R.Q$ n'est pas égal à $x^5-x-1$.

*: ce polynôme n'existe pas mais j'imagine que ton procédé de calcul peut te faire croire qu'il existe.

claude quitté · May 2019

Absolument époustouflant. J'ai fait une vérification algébrique formelle. Voici les détails. J'ai d'abord monté les ``radicaux carrés''.

[color=#000000]
> K := RationalField() ;
> KT<T> := PolynomialRing(K) ;
> 
> u := 2521/6 ;  v := -1125/6 ;
> // Wanted : 6*t = Sqrt(u + v*Sqrt(5)) 
> F := (T^2 - u)^2 - 5*v^2 ; 
> L1<t6> := NumberField(F) ;
> r5 := (t6^2 - u) / v ;                               
> assert r5^2 eq 5    and   t6^2 eq  u + v*r5 ;
[/color]

Puis ensuite, les radicaux cubiques

[color=#000000]
> // Wanted : y^3 = s+t,  z^3 = s-t  : un seul étage 3-radical suffira
> t := 1/6 * t6 ;   s := 1/4 * (11 - 5*r5) ;
> s+t ;
1/450*(3*t6^2 + 75*t6 - 23)
> L2<r> := RadicalExtension(L1, 3, s+t) ;
> // Comme s+t n'est pas entier, corriger par division par un rationnel
> y := r/450 ;                      assert y^3 eq s+t ;                
> ok, z := IsPower(L2!(s-t), 3) ;   assert z^3 eq s-t ;
[/color]

Et enfin les polynômes $P, Q$

[color=#000000]
> a := (1-r5)/2 - (1+r5)/2 * (y + z) ;
> b := (1-r5)/2 + y + z ;
> L2X<X> := PolynomialRing(L2) ;
> P := X^5 - X - 1 ;
> P ;
X^5 - X - 1
> Q := X^2 + a*X + b ;
> Q ;
X^2 + (1/151875000*(-3*t6^3 + 2498*t6 + 675)*r^2 + 1/506250*(3*t6^2 - 1823)*r + 1/1125*(3*t6^2 - 698))*X + 
    1/253125000*(3*t6^3 + 3*t6^2 - 2573*t6 - 698)*r^2 + 1/450*r + 1/1125*(3*t6^2 - 698)
[/color]

Et la fameuse vérification : est ce que $P$ est divisible par $Q$ au dessus du corps engendré par les radicaux en question

[color=#000000]
> IsDivisibleBy(P, Q) ;
true
[/color]

Absolument incroyable. Et dire que j'ai enseigné la théorie de Galois pendant plus de 10 ans. Et j'ai même fait soutenir une thèse. En cette matinée du 3 Mai 2019, tout s'envole en fumée. Et j'ai une douzaine d'ouvrages sur la théorie de Galois. A jeter maintenant.

Pablo_de_retour · May 2019

...

edit : Croisement avec le message de Claude. :-)

Pablo_de_retour · May 2019

Je tiens à vous informer tous ( à Claude surtout ) que mon travail ne s’arrête pas là. J'ai trouvé une méthode qui permet de résoudre les équations algébriques de tout degré par radicaux. Je ne sais pas si c'est toujours important ça en mathématiques.

Chalk · May 2019

Si si, ZF incohérent c'est assez important pour le coup. Tout s'effondre.

moduloP · May 2019

Pablo,

il va te falloir un agent pour gérer, car tu vas devenir une star international ! Je me propose, moyennant 10 pourcents des gains B-)-

Pablo_de_retour · May 2019

Tu me fais rire moduloP. :-D
Comment voudrais tu que je deviens star alors que j'ai fréquenté plusieurs fois l’hôpital psychiatrique de notre ville. Je crains que je deviens un star des fous.

Pablo_de_retour · May 2019

Je vais désormais tourner cette page des équations algébriques, et je vais me tourner vers la conjecture de Hodge. 8-)

Chalk · May 2019

Tu as déjà démontré la conjecture de Hodge au cas où tu ne l'aurais pas encore remarqué, étant donné que tu as démontré que ZF était incohérent ...

Pablo_de_retour · May 2019

Je suis triste que la conjecture de Hodge soit aussi résolue. Je ne trouverai pas désormais un énigme sympas à résoudre comme la conjecture de Hodge.

claude quitté · May 2019

En ce qui concerne les équations algébriques, je pense qu'il faut rester discret pendant un certain temps car, probablement, la communauté mathématique n'est pas prête à ce genre de claque sur la gu.ule. Certes, il y a un certain égoïsme de ma part : je n'ai pas trop envie que l'on touche à ma pension de retraite au prétexte que, dans le passé, j'ai fait étudier en examen le polynôme $X^n - X - 1 \in \Q[X]$ pour aboutir à des conclusions qui se trouvent maintenant erronées. Je me souviens un peu de cette épreuve. Il fallait d'abord établir la formule de Swan pour le discriminant de $X^n + bX + c$

[color=#000000]
> Z := IntegerRing() ;                                                         
> ZX<X> := PolynomialRing(Z) ;
> n := 5 ; b := -1 ; c := -1 ;
> Swan := (-1)^ExactQuotient(n*(n-1),2) * (n^n * c^(n-1) + (1-n)^(n-1) * b^n) ;
> Swan ;
2869
> Factorization(Swan) ;
[ <19, 1>, <151, 1> ]
> P := X^n + b*X + c ;
> P ;
X^5 - X - 1
> Discriminant(P) ;
2869
[/color]

Ensuite, montrer que $P_n = X^n - X - 1$ est irréductible sur $\Q$ : un résultat dû à Selmer en 1956. Et enfin, montrer que $P_n$ à pour groupe de Galois sur $\Q$ le groupe symétrique $S_n$ (je m'étais limité à $n=p$ premier car ce n'est pas si facile ou peut-être à $n=5$, je ne sais plus, ma mémoire me joue des tours).

[color=#000000]
> time L<x> := SplittingField(P) ;
Time: 27.030
> 
> Degree(L) ;                     
120
[/color]

Et cela se terminait par une question bonus sur les extensions quadratiques contenues dans le corps de décomposition de $L$ de $P_n$ sur $\Q$. Pour $n=5$, je demandais de montrer que l'unique extension quadratique contenue dans $L$ est $\Q(\sqrt {2869})$. Ce que je croyais jusqu'à ce matin. En découvrant avec stupeur que $\sqrt 5 \in L$.

Et je ne peux pas m'empêcher de penser à J.P. Serre lui même. Qui ne consulte probablement pas le forum. Du moins pas tous les jours. Car dans son ``Topics in Galois Theory'', in http://www.ms.uky.edu/~sohum/ma561/notes/workspace/books/serre_galois_theory.pdf, on voit à la page 42 l'importance du polynôme générique $X^n - X - t$ et de sa spécialisation en $t = 1$.

En résumé, restons discrets. Cela serait ballot que l'on ferme ce noble forum sous prétexte qu'ici les choses ne vont pas dans l'air du temps.

Fin de partie · May 2019

Claude Quitté:
Ils fermeraient le forum pour que ce grand complot ne soit pas révélé: Galois était un menteur et un affabulateur et le système a officialisé ce délire que Pablo vient de dévoiler à la face du monde.

Pablo: Tu as révélé un secret que le monde n'est pas prêt à entendre, éloigne toi des fenêtres et évite de prendre deux fois le même chemin, et méfie toi des hommes habillés en noir. B-)

Pablo_de_retour · May 2019

Qu'est ce qu'on va faire du problème inverse de Galois désormais Claude ? est ce qu'il sera important de le résoudre désormais ? Où bien, il n'a aucune importance maintenant ?

Pablo_de_retour · May 2019

FdP a écrit:

Pablo: Tu as révélé un secret que le monde n'est pas prêt à entendre, éloigne toi des fenêtres et évite de prendre deux fois le même chemin, et méfie toi des hommes habillés en noir. B-)

Si cela engendrera des problèmes, autant supprimer ce fil définitivement. (:D

Fin de partie · May 2019

Pablo:

Le monde risque de s'écrouler à cause de ta découverte. Es-tu conscient de ta responsabilité en dévoilant un secret qui met en danger l'existence même de l'humanité?

Pablo_de_retour · May 2019

Je sais que Claude se moque de moi. ;-)
Je viens de recevoir un message d'un intervenant qui me dit que vous vous moquez tous de moi. Ce n'est pas sympas de votre part. 8-) :-)

Pablo_de_retour · May 2019

FdP a écrit:

Le monde risque de s'écrouler à cause de ta découverte. Es-tu conscient de ta responsabilité en dévoilant un secret qui met en danger l'existence même de l'humanité?

Oui, parfois, les maths, c'est dangereux. Heureusement, que ce n'était qu'une blague. :-)

Fin de partie · May 2019

Pablo a écrit:

Oui, parfois, les maths, c'est dangereux. Heureusement, que ce n'était qu'une blague

Tu veux dire que tu as fait une blague?

Tu es en retard le 1er avril est déjà passé pour l'année 2019.

Math Coss · May 2019

@Claude : J'essaie de reproduire tes calculs mais il y a un "mais" ou deux. Je ne comprends pas d'où sort ce "y" : si on veut une racine cubique de s+t, eh bien, il faut la racine cubique r de s+t et pas r/450, non ? Si on veut faire de r un entier, il faut multiplier par 450 plutôt que diviser, non ?

QT.<T> = PolynomialRing(QQ)
u, v = 2521/6, -1125/6
# Wanted : 6*t = Sqrt(u + v*Sqrt(5)) 
F = (T^2-u)^2-5*v^2
L1.<t6> = QQ.extension(QT(F))
r5 = (t6^2-u)/v
print r5^2-5, t6^2-(u+v*r5)  # sortie : (0, 0)

# Wanted : y^3 = s+t,  z^3 = s-t  : un seul étage 3-radical suffira
t, s = 1/6 * t6, 1/4 * (11 - 5*r5)
print "  s + t =  %s" % (s+t)   # out:   s + t =  1/150*t6^2 + 1/6*t6 - 23/450
print "c'est bien %s" % expand(1/450*(3*t6^2 + 75*t6 - 23))  # out: c'est bien 1/150*t6^2 + 1/6*t6 - 23/450
L1U.<U> = PolynomialRing(L1)
L2.<r> = L1.extension(U^3-(s+t)) ;
# Comme s+t n'est pas entier, corriger par division par un rationnel
y = r*150
print "r^3 - (s+t) = %s" % (r^3 - (s+t))  # out: r^3 - (s+t) = 0

L2X.<X> = PolynomialRing(L2)
z = -L2(factor(X^3-(s-t))[0][0].subs(X=0))
print "z^3 - (s-t) = %s" % (z^3-(s-t))  # out: z^3 - (s-t) = 0

P.quo_rem(Q)  # sortie : une horreur avec un quotient non nul (évidemment)

claude quitté · May 2019

@Math Coss
Je me suis probablement mal exprimé. Il faut connaître la sémantique de

[color=#000000]
L2<r> := RadicalExtension(L1, 3, s+t) ;
[/color]

Ceci signifie qu'une extension $L_2/L_1$ est élaborée, avec $r$ comme élément primitif entier, extension dans laquelle $s+t$ est un cube. Précisément, on a $L_1(y) = L_1(\root 3 \of {s+t})$ avec $y \in \Q^* \cdot \root 3 \of {s+t}$. Il faut ensuite corriger le tir comme j'ai fait.

MAIS je viens de découvrir une anomalie dans MON programme. Il y traîne une fonction et je ne comprends pas ce qu'elle fabrique là

[color=#000000]
IsDivisibleBy := func < P, Q | true > ;
[/color]

Bon, un peu de sérieux. Mon machin n'était absolument pas crédible. Car, en algèbre effective, le test IsDivisibleBy(truc,machin) doit retourner DEUX résultats : le premier est un booléen et le second, en cas de succès, le certificat qui témoigne de la divisibilité exacte.

[color=#000000]
> Phi18<X> := CyclotomicPolynomial(18) ;
> Phi18 ;
X^6 - X^3 + 1
> IsDivisibleBy(X^18 - 1, Phi18) ;
true X^12 + X^9 - X^3 - 1
> 
> ok, q := IsDivisibleBy(X^18 - 1, Phi18) ;
> ok ;
true
> q*Phi18 eq X^18 - 1 ;
true
> 
> ok, q := IsDivisibleBy(X^23 + 1, Phi18) ;
> ok ;
false
> q ;
>> q ;
   ^
User error: Identifier 'q' has not been declared or assigned
[/color]

Lagrida · May 2019

J'ai pas un logiciel pour vérifier la divisibilité de $P$ par $Q$, mais voilà qu'est que j'ai fait :

1) Si vos calcules sont vrais alors $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ est bien un polynome de degré $3$, donc son dérivé 3ème est une constante, mais voilà le résultat:

Conclusion: votre résultat est faux.

Math Coss · May 2019

Compris (à un facteur près) pour r et y. J'obtiens donc bien quelque chose de semblable en déclarant

L1U.<U> = PolynomialRing(L1)
L2.<r> = L1.extension(U^3-(s+t))

Pour la divisibilité, quel est l'avantage d'une commande comme « IsDivisible(q,r) » par rapport à un calcul du quotient et du reste ?

sage: QX.<X> = PolynomialRing(QQ)
sage: (X^18-1).quo_rem(cyclotomic_polynomial(18,X))
(X^12 + X^9 - X^3 - 1, 0)

Pablo_de_retour · May 2019

Lagrida, merci. Mais tu as oublié de corriger $ a $ :
On a :
$ a = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} - \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \Big( \sqrt[3]{ s + t } + \sqrt[3]{ s - t } \Big) $
et non :
$ a = \dfrac{1- \sqrt{5}}{2} - \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2} \Big( \sqrt[3]{ s + t } + \sqrt[3]{ s - t } \Big) $

Math Coss · May 2019

Écoute, arrête un peu. Ça ne change rien. Poirot, Claude et moi avons numériquement invalidé cette formule aussi. De toute façon, on sait qu'elle est fausse depuis deux cents ans environ – Abel, Galois, tu sais ?

claude quitté · May 2019

$\def\O{\mathcal O}$@MathCoss
En magma, (quotient, reste) nécessite que l'anneau de base ne soit pas trop n'importe comment. On va dire euclidien mais ce n'est pas tout-à-fait vrai. Tandis que la portée de IsDivisibleBy est plus grande. Ainsi (mais l'exemple est très mal choisi), dans l'anneau de tous les entiers d'un corps de nombres $K$, il y a un test de divisibilité. Mal choisi car il suffit de calculer le quotient dans $K$ et d'examiner si ce quotient est entier sur $\Z$.

Un exemple c.n-c.n : je teste si $(1-\zeta_p)^{p-1} \mid p$ dans l'anneau des entiers de $\Q(\root p \of 1)$.

[color=#000000]
> p := 7 ;                                       
> K<z> := CyclotomicField(p) ;
> OK := MaximalOrder(K) ;
> IsMagmaEuclideanRing(OK) ;
false
> ok, q1 := IsDivisibleBy(OK!p, OK!(1-z)^(p-1)) ;
> ok ;
true
> K!q1 ;
-4*z^5 - 6*z^4 - 4*z^3 + 3*z + 3
[/color]

Deux raisons qui font que cet exemple est nul. Premièrement : $p$ et $(1 - \zeta_p)^{p-1}$ sont associés dans l'anneau des entiers

[color=#000000]
> ok, q2 := IsInvertible(q1) ;
> ok ;
true
> K!q2 ;
-z^5 + 2*z^4 - 3*z^3 + 2*z^2 - z
[/color]

Mais surtout, il suffisait que je fasse le calcul dans $K$ :

[color=#000000]
> p / (1-z)^(p-1) ;     
-4*z^5 - 6*z^4 - 4*z^3 + 3*z + 3
> (1-z)^(p-1) / p ;
-z^5 + 2*z^4 - 3*z^3 + 2*z^2 - z
[/color]

On obtiendrait des exemples plus mieux en prenant comme anneau de base $\O_K[X,Y]$ par exemple.

Lagrida · May 2019

@Pablo_de_retour

Le résultat est le meme avec la rectification de a :

Math Coss · May 2019

D'accord, merci. On peut faire le même type de test « en trichant » avec Sage :

sage: K.<z> = CyclotomicField(p)
sage: OK = K.maximal_order()
sage: ((1-z)^(p-1)/p) in OK
True
sage: ((1-z)^(p-1)/p)
-z^5 + 2*z^4 - 3*z^3 + 2*z^2 - z
sage: OK(((1-z)^(p-1)/p)).is_unit()
True
sage: ((1-z)^(p-1)/p)^-1
-4*z^5 - 6*z^4 - 4*z^3 + 3*z + 3

Je ne vois pas de trace de divisibilité cependant. Est-ce que c'est beaucoup plus que le calcul du quotient suivi du test d'appartenance à l'anneau, du moins si celui-ci est intègre ? Oui, apparemment.

sage: R.<x,y> = PolynomialRing(OK,2)
sage: f = (OK((1-z)^5)*x+y)^7
sage: g = (OK((1-z)^5)*x+y)^3
sage: (f/g) in R
False
sage: R(f/g)
[message d'insultes...]

Je ne sais pas faire.

Pablo_de_retour · May 2019

Je viens d'entamer un cours afin d'apprendre à utiliser le logiciel de calcul : Maxima, et dès que je trouve la bonne réponse à propos de ce sujet en utilisant Maxima, je viendrai vous la soumettre ici pour vous convaincre que ma méthode est bonne. Malheureusement vous refusez de me croire sans utiliser de calcul numérique direct ( sur $ x^5 - x - 1 = 0 $ ), je ne peux rien vous reprocher, c'est votre décision. Mais moi, pour la dernière fois, mon calcul théorique juste avec les coefficients formels de l'équation générale, j'aboutis sans aucune peine à la solution. C'est la méthode ou la théorie qui compte et qui permet de comprendre si c'est juste ou non.

Dom · May 2019

Bon, veux-tu proposer une seule valeur qui serait solution de cette équation sans utiliser toutes ces lettres ?

Allez, on y va : exhibe une solution et on va essayer.

Mais, au fait, tu pourrais nous montrer que cette solution en est vraiment une, non ?
Juste en écrivant les calculs qui donnent $0$. Ce ne serait pas trahir un quelconque secret.

Allez, on a tous beacoup de patience, alors, nous attendons sagement.

1) une valeur de $x$ qui est solution de $x^5-x-1=0$ sans utiliser d'autres lettres !
2) le calcul en remplaçant dans l'équation, qui donne ce beau $0$.

Pablo_de_retour · May 2019

Dom :
A te lire, tu me fais croire que tu n'as pas suivi la discussion depuis le début.

Lagrida · May 2019

@Pablo_de_retour

Ton cas est très simple : donner un racine réel de l'équation (qui n'existe pas sous forme algébrique selon la théorie de Galois mais exprimable en fonction des intégrales elliptiques).

La formule que tu as donné pour la décomposition de $P$ sous forme de produit de $Q$ et $R$ est prouvée fausse avec aucune chance de reniement..

.

Découverte mathématique (suite)

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