Omniprésence de zêta

L2M
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dans Shtam
Bonjour,

A partir de n'importe quelle fonction réelle ou complexe $f$ développable en série entière de rayon non nul au voisinage de $0$, on peut construire une fonction complexe méromorphe $\zeta_f$ définie par une série et cette fonction admet un prolongement analytique à tout le plan complexe, sauf $1$. Toutes ces fonctions possèdent un pôle simple en $1$ et des zéros triviaux aux entiers pairs strictement négatifs.

La fonction zêta de Riemann en est un exemple. Elle est générée par la fonction $\displaystyle f_z(x)=\frac1{(1-x)^z}$ telle que $\zeta=\zeta_{f_z}$.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Tu es sûr que c'est vrai pour $f=\exp$ ?

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Vu que tu ne détailles pas le procédé de construction, ni le lien entre $f$ et ton $\zeta_f$, ni même de quel type de série tu parles, ce que tu énonces est trivialement vrai. Mais j'imagine que tu as une idée (pas forcément précise, et sûrement fausse) derrière la tête.
  • L2M
    L2M
    @gerard0: La série de $\zeta_{\exp}$ construite par la fonction $\exp$ est $$\displaystyle \zeta_{\exp}=\frac{\sqrt e-1}{\Gamma(z)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{2^{nz}} \frac1{e^{\frac1{2^n}}-1}\ ,\quad \Re(z)>1.$$
  • reuns
    reuns
    On ne voit pas le rapport entre ta série et $\exp$. Tu sais très bien ce qu'il faut pour "faire une question de maths" et qu'ici il n'y a aucune question.

    La généralisation de $\Gamma(s+1) \zeta(s+1)= \mathcal{M}[\frac{x}{e^x-1}]$ c'est le Ramanujan master theorem
  • L2M
    L2M
    La question est comment prolonger la fonction $\displaystyle \zeta_{\exp}=\frac{\sqrt e-1}{\Gamma(z)} \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{2^{nz}} \frac1{e^{\frac1{2^n}}-1}$ sur tout le plan complexe affin de vérifier qu'elle admette des zéros triviaux aux entiers pairs strictement négatifs? Ceci pourra donner un peu de crédibilité à ce que j'ai annoncé.

    Voici le prolongement de $\zeta_{\exp}$ sur le demi plan $\Re(z)>0$ :
    $\displaystyle \Gamma(z) \zeta_{\exp}=\frac{\sqrt e-1}{1-2^{1-z}} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac1{2^{nz}} \frac1{e^{\frac1{2^n}}+1}+\frac 2{e^2-1}\right) - \frac 1 {\sqrt e+1}$

    Si on arrive à montrer que cette fonction admette aussi des zéros non triviaux sur ce demi plan ou sur une bande critique ou une droite critique, ceci ouvrira une nouvelle porte vers une généralisation de zêta de Riemann sur une large famille de séries.
  • reuns
    reuns
    .... T'as du mal à t'exprimer. Ta fonction elle sort de nul part ? Si c'est le cas pourquoi tu penses qu'elle a un prolongement analytique et pourquoi ça t'intéresse de le savoir ? .......

    $\frac{x}{e^x-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k}{k!} x^k$ donne $$\sum_{n=1}^\infty s^n \frac{1}{e^{1/2n}-1} = \sum_{n=1}^\infty s^n \sum_{k=0}^\infty \frac{B_k}{k!} (2n)^{1-k} = \frac{as+b}{(s-1)^2}+ \sum_{k=2}^\infty \frac{B_k}{k!} \sum_{n=1}^\infty s^n (2n)^{1-k}$$ $$ = \frac{as+b}{(s-1)^2}+\sum_{k=2}^\infty \frac{B_k}{k!} 2^{1-k} \frac{1}{\Gamma(k-1)} \int_0^\infty \frac{t^{k-2}}{e^t/s-1}dt=\frac{as+b}{(s-1)^2}+ s\int_0^\infty \frac{ f(t)}{e^t-s}dt $$

    où $$f(t)=\sum_{k=2}^\infty \frac{B_k}{k! (k-2)!}2^{1-k} t^{k-2} =O( e^{t/(4 \pi-\epsilon)})$$ parce que le rayon de convergence de $\frac{x}{e^x-1}$ est $2\pi$

    Cela donne donc le prolongement analytique à $\Bbb{C}- [0,\infty)$, je te laisse voir ce qu'il arrive au voisinage d'un $s$ réel.

    Ce que tu as écrit sur les zéros triviaux/non-triviaux me laisse penser que tu n'as rien compris à la théorie de $\zeta(s)$, des nombres premiers, des séries de Dirichlet avec équation fonctionnelle.
  • L2M
    L2M
    Je ne comprend pas bien ton exemple. D'après ton raisonnement, la série que tu as proposée n'est pas prolongeable sur $\mathbb C $ sauf $1$, mais elle est différente de la mienne.
    Si c'est le cas pourquoi tu penses qu'elle a un prolongement analytique et pourquoi ça t'intéresse de le savoir ? ...
    Imagine qu'on arrive à prolonger sur tout le plan complexe, une infinité d'exemples de séries autres que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^z}$, toutes définies sur le demi-plan complexe $\Re(z)>1$, et que toutes ces fonctions admettent des zéros triviaux comme zêta de Riemann. Même si je n'ai pas encore de preuve que $\zeta_{exp}$ admette des zéros non triviaux ou une équation fonctionnelle.
    Ce que tu as écrit sur les zéros triviaux/non-triviaux me laisse penser que tu n'as rien compris à la théorie de $\zeta(s)$, des nombres premiers, des séries de Dirichlet avec équation fonctionnelle.
    J'avoue que c'est non. La preuve, c'est que tu ne pourras jamais contredire ma proposition par une preuve ou un contre-exemple. Tu vois bien que c'est @gerard0 qui a choisi $f=\exp$ comme-exemple et pas moi.

    $\zeta_{\exp}$ admet bien un prolongement analytique et des zéros triviaux.
  • reuns
    reuns
    Pour $F(s) = \sum_{n=1}^\infty s^n \frac{1}{e^{1/2^n}-1} = \sum_{n=1}^\infty s^n (\sum_{k=0}^K \frac{B_k}{k!} 2^{(1-k)n} + O(2^{-nK})$ c'est évident qu'elle est méromorphe avec des pôles simples en chaque $2^{k-1}, k \ge 0$.

    Donc $F(2^z)$ ....

    Tu n'as posé aucune question de maths ici, juste des affirmations sorties de nulle part. Quand quelqu'un te dit ça ça veut dire que tu dois prendre le temps qu'il faut pour rédiger clairement ta question, en 5-6 lignes...

    Construire des fonctions entières ou méromorphes avec des pôles et des zéros ici et là c'est facile. Ce n'est pas du tout ce dont il est question pour la théorie de $\zeta(s)$ et des séries de Dirichlet.
  • L2M
    L2M
    Bonjour,

    Pour $F(s) = \sum_{n=1}^\infty s^n \frac{1}{e^{1/2^n}-1} = \sum_{n=1}^\infty s^n (\sum_{k=0}^K \frac{B_k}{k!} 2^{(1-k)n} + O(2^{-nK})$ c'est évident qu'elle est méromorphe avec des pôles simples en chaque $2^{k-1}, k \ge 0$.

    Ta fonction $\displaystyle F(s) = \sum_{n=1}^\infty s^n \frac{1}{e^{1/2^n}-1}$ diverge pour tout $s$ avec $|s|>1$. Si c'est une erreur de frappe et que tu voulais écrire $F(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {s^n} \frac{1}{e^{1/2^n}-1}$, cette dernière série converge pour $|s|>1$.

    L'exemple que j'ai donné est : $\displaystyle \zeta_{\exp}(s)=\frac{\sqrt e-1}{\Gamma(s)} F(2^s)=\frac{\sqrt e-1}{\Gamma(s)} \sum_{n=1}^\infty \frac 1 {2^{ns}} \frac{1}{e^{1/2^n}-1}$, et c'est une fonction méromorphe avec un seule pôle en $1$ et des zéros triviaux (après prolongement sur tout le plan complexe).
  • Poirot
    Poirot
    Tu sembles confondre partie réelle et module.
  • L2M
    L2M
    Merci @Poirot.
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