Symétries de fonctions L
Bonjour,
Suite aux conseils de df, je joins un pdf (en anglais) créé la semaine dernière et m'adresse aux spécialistes du forum de bonne volonté et s'estimant capables de juger de la validité de ce travail. Merci d'éviter les critiques ad hominem et/ou non constructives et de s'en tenir aux seules maths.
Bonne fin de soirée,
Sylvain
Suite aux conseils de df, je joins un pdf (en anglais) créé la semaine dernière et m'adresse aux spécialistes du forum de bonne volonté et s'estimant capables de juger de la validité de ce travail. Merci d'éviter les critiques ad hominem et/ou non constructives et de s'en tenir aux seules maths.
Bonne fin de soirée,
Sylvain
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Réponses
1) La définition d'isométrie d'un multi-ensemble de zéros ne semble pas utiliser la structure de multi-ensemble. Ce serait préférable (je pense) de définir ça comme le groupe de symétrie de l'ensemble sous-jacent.
2) Pour plus de clarté, je pense qu'il serait aussi préférable que tu prouves les nombreuses affirmations sans preuve présentes dans le texte. Aussi, pourquoi ne pas écrive clairement "définition, proposition" comme dans un vrai article de math ? Si tu juges que c'est évident alors raison de plus pour écrire une preuve claire qui sera probablement très courte.
3) Tu ne définis pas ce qu'est une fonction L : ok mais il faut alors au moins mettre une référence qui contient les principaux points de la théorie. Par exemple, il me semble que les fonctions que tu considères sont associés à des représentations de groupes réductifs sur des corps globaux et ça n'apparaît jamais dans ton article.
Au passage, il est faux que deux groupes qui s'injectent l'un dans l'autre sont isomorphes. Par conséquent je pense que la fin de la section 3 est fausse.
Liste des objets à définir (ou donner une référence) :
1) "Bimonoide" est un terme déjà utilisé et n'a pas le même sens que toi, voir https://ncatlab.org/nlab/show/bimonoid.
2) Définition d'une fonction L ? Il est d'ailleurs étrange que la définition vienne après le paragraphe 2 qui utilise déjà des propriétés des fonctions L.
3) Fonction L auto-duale ?
4) Définition d'une fonction L automorphe ?
5) Degré d'une fonction L ? Fonction L primitive ?
6) Facteur local d'une fonction L ?
7) Pourquoi est-ce suffisant de définir la convolution sur les facteurs locaux ? Est-ce que ça converge, etc ... ?
8) Qu'est-ce qu'un produit tensoriel de permutations ? N'est-ce pas un mot compliqué pour un élément du produit de deux groupes symétriques ?
9) Que veut dire qu'une permutation est "complètement multiplicative" ?
10) Qu'est-ce qu'une application qui préserve F (noté $\psi$, milieu de la page 4) ?
11) Le "sous-groupe maximal de $M$ qui préserve $F$" s'appelle le stabilisateur de $F$ dans $M$, qui est terme couramment utilisé.
Ensuite, tu prends deux lignes pour expliquer que si $g$ stabilise $F$ alors $gF = F$ alors que c'est la définition du stabilisateur. Je trouve ça curieux que tu précises ça vu le style lapidaire du reste de l'article.
À présent voilà des questions de maths :
a) Comment exactement est construit $\phi_{\rho}$ ?
b) Il est évidemment faux que si $[A,B(t)] = 0$ alors $B$ ne dépend pas de $t$, ça veut juste dire que $B(t)$ est contenu dans le centralisateur de $A$. Donc ton $[L,S]$ dépend probablement de $S$ en général.
Avec les notations actuelles, le reste n'est malheureusement pas clair du tout. Mais je pense que b) et le fait que la preuve que $G_Q$ est isomorphe à $Aut(M)$ montrent qu'il y a des sérieux problèmes dans les preuves.
Je compte ajouter des références comme l'article de Selberg introduisant la classe qui porte son nom, Analytic number theory d'Iwaniec et Kowalski et le Goldfeld de 2006 ("Automorphic forms and L-functions for GL(n,R)" ou un titre approchant).
Pour f "complètement multiplicative" je pensais que c'était standard : pour tout a et b f(ab)=f(a)f(b).
Une application g qui préserve F équivaut à F est un point fixe de g.
Mon train arrive à Rouen, je continue plus tard.
Je répond à une question, facteur locaux de fonction $L$. Beh perso je n'y connais rien en machin Riemann et tout mais, disons que tu prends $\mathbb{P}^n$. et tu te donnes un nombre premier $p$.
Tu peux calculer $\# \mathbb{P}^n(\mathbb{F}_{p^r}$,c'est égal à $P(p^r)$ avec $P(q) = 1+q+q^2+ \dots + q^n$. Le facteur local en $p$ est :
$$
\exp \left( \sum_{r \geq 1} \# \mathbb{P}^n(\mathbb{F}_{p^r}) \frac{T^{r}}{r} \right)
$$
Maintenant, je note $\mathbb{1} := \frac{1}{1-T}$, et $\mathbb{L} = \frac{1}{1-pT}$ et $f \boxplus g = f \times g$ et $f \boxtimes g = f \otimes g$ (avec la définition de Sylvain). Il se trouve que :
$$
\exp \left( \sum_{r \geq 1} \# \mathbb{P}^n(\mathbb{F}_{p^r}) \frac{T^{r}}{r} \right) = \mathbb{1} \boxplus \mathbb{L} \boxplus \mathbb{L} \boxtimes \mathbb{L} \boxplus \dots \boxplus \mathbb{L}^{\boxtimes n}
$$
Ensuite lorsque tu fait le bourrin et que tu fais le produit sur tout les premiers (en remplaçant $T$ par $p^{-s}$) : tu trouves :
$$
\prod_{i=0}^n \zeta(s-i)
$$
En gros le $q$-polynôme te donne la fonction $\zeta$.
Hum hum, en gros $\zeta$ est un morphisme d'anneau entre truc et bidule :-D bah quoi on est dans stham
Pour $F(s)=L(s,\chi)$ quel est $Isom(Zer(F))$ et $Isom(Zer(F))/R$ ? Quel rapport avec RH ?
Sylvain : Pour le 1) : il y a des axiomes en plus dans semi-anneau et je ne sais pas si ils sont vérifiés dans ton cas. Je pense que dans tous les cas que j'ai souligné il y a quand même au moins des choses à réécrire plus clairement (ok avec 11) je voulais dire Aut(M)).
Mon avis global est que le texte est peu formalisé, que beaucoup d'affirmations nécessitent des preuves, et j'ai souligné au moins deux arguments éronnées . Si tu es sûr de tes arguments alors je te propose de retravailler la forme de l'article et de le reposter ici dans quelques jours.
en oubliant les quelques premiers ramifiés, envoie $p$ vers $\sigma_p \in Gal(F/\Q)$ tel qu'il existe un premier $P$ de $O_F, p \in P ,\forall a \in O_F, \sigma_p(a) \equiv a^p \bmod P$ (le Frobenius de $O_F/P$), prends une représentation $Gal(F/\Q) \to GL_n(\Bbb{C})$ et pose $L(s,\rho) = \exp(\sum_{p^k} \frac{tr(\rho(\sigma_p^k))}{k} p^{-sk}) = \sum_{n=1}^\infty a_n(\rho) n^{-s}$. On sait prouver que $L(s,\rho)$ est le quotient de deux séries de Dirichlet qui ont les mêmes propriétés que $\zeta(s)$ et une hypothèse de Riemann (ils conjecturent que le dénominateur est $1$ donc $L(s,\rho)$ a elle-même une hypothèse de Riemann)
Si on prend un corps plus gros $K/\Q$ alors $Gal(F/\Q)=Gal(K/\Q)/Gal(K/F)$ donc $\rho$ est naturellement une représentation $\rho_K$ de $Gal(K/\Q)$ et $L(s,\rho) = L(s,\rho_K)$.
Donc étant donné une autre fonction $L(s,\phi)$ d'Artin on peut supposer que $\rho,\phi$ sont des représentations $Gal(K/\Q) \to GL_n(\Bbb{C}), Gal(K/\Q) \to GL_m(\Bbb{C})$
Les opérations naturelles c'est $L(s,\phi)L(s,\rho) = L(s,\phi \oplus \rho)$, somme directe des représentations, qui additionne les traces, et $\phi \oplus \rho : Gal(K/\Q) \to GL_{m+n}(\Bbb{C})$
et $L(s,\phi \otimes \rho)$ le produit tensoriel des representations, qui multiplie les traces, et $\phi \otimes \rho : Gal(K/\Q) \to GL_{mn}(\Bbb{C})$.
et enfin des choses comme $L(s,Sym^k \rho)$ qui envoient $\rho$ vers une représentation des polynômes homogènes de degré $k$ en $n$ variables.
Sylvain veut nous parler de cette opération $\phi \otimes \rho$, dont un des intérêts est que envoyer $a_n(\rho)$ vers $a_n(\rho) \chi(n)$ (un caractère de Dirichlet) c'est faire $\otimes$ avec une représentation cyclotomique de $Gal(\Q(\zeta_q)/\Q)$. Cette opération $L(s,\rho) \mapsto L(s,\rho \otimes \chi)$ est un automorphisme du groupe des quotients de fonctions L. Malheureusement il ne se comporte bien que tu côté algébrique, cet automorphisme a un comportement erratique vis à vis des zéros, de RH, et des autres propriétés analytiques.
La théorie des formes automorphes permet d'étendre ces notions aux autres fonctions L, quand $Gal(K/\Q)$ est remplacé par des objets géométriques plus compliqués (genre le Tate module d'une courbe elliptique ou les groupes de cohomologie d'une variété algébrique, les fonctions de comptage des points s'exprimant à partir de celles-ci) et même aux fonctions L de formes automorphes pour lesquelles il n'y a pas d'objet algébrique associé (l'objectif de Langlands étant d'en construire un)
Voir ici (et les autres post autour, certainement pas lisible ?)
reuns merci je vais lire ça aussi
Je suis loin d'être bourbakiste. Les mathématiques demandent naturellement une grande rigueur, sinon les énoncés sont faux ou parfois n'ont même aucun sens. Pour ma part j'attends la deuxième version et je veux bien à nouveau jeter un oeil.