Symétries de fonctions L

@moduloP : merci je regarde ça plus tard !!

Sylvain : Pour le 1) : il y a des axiomes en plus dans semi-anneau et je ne sais pas si ils sont vérifiés dans ton cas. Je pense que dans tous les cas que j'ai souligné il y a quand même au moins des choses à réécrire plus clairement (ok avec 11) je voulais dire Aut(M)).

Mon avis global est que le texte est peu formalisé, que beaucoup d'affirmations nécessitent des preuves, et j'ai souligné au moins deux arguments éronnées . Si tu es sûr de tes arguments alors je te propose de retravailler la forme de l'article et de le reposter ici dans quelques jours.

@Lupulus Il faut que tu regardes les fonctions L de Artin (d'un corps de nombre) : $F/\Q$ Galois,
en oubliant les quelques premiers ramifiés, envoie $p$ vers $\sigma_p \in Gal(F/\Q)$ tel qu'il existe un premier $P$ de $O_F, p \in P ,\forall a \in O_F, \sigma_p(a) \equiv a^p \bmod P$ (le Frobenius de $O_F/P$), prends une représentation $Gal(F/\Q) \to GL_n(\Bbb{C})$ et pose $L(s,\rho) = \exp(\sum_{p^k} \frac{tr(\rho(\sigma_p^k))}{k} p^{-sk}) = \sum_{n=1}^\infty a_n(\rho) n^{-s}$. On sait prouver que $L(s,\rho)$ est le quotient de deux séries de Dirichlet qui ont les mêmes propriétés que $\zeta(s)$ et une hypothèse de Riemann (ils conjecturent que le dénominateur est $1$ donc $L(s,\rho)$ a elle-même une hypothèse de Riemann)

Si on prend un corps plus gros $K/\Q$ alors $Gal(F/\Q)=Gal(K/\Q)/Gal(K/F)$ donc $\rho$ est naturellement une représentation $\rho_K$ de $Gal(K/\Q)$ et $L(s,\rho) = L(s,\rho_K)$.

Donc étant donné une autre fonction $L(s,\phi)$ d'Artin on peut supposer que $\rho,\phi$ sont des représentations $Gal(K/\Q) \to GL_n(\Bbb{C}), Gal(K/\Q) \to GL_m(\Bbb{C})$

Les opérations naturelles c'est $L(s,\phi)L(s,\rho) = L(s,\phi \oplus \rho)$, somme directe des représentations, qui additionne les traces, et $\phi \oplus \rho : Gal(K/\Q) \to GL_{m+n}(\Bbb{C})$

et $L(s,\phi \otimes \rho)$ le produit tensoriel des representations, qui multiplie les traces, et $\phi \otimes \rho : Gal(K/\Q) \to GL_{mn}(\Bbb{C})$.

et enfin des choses comme $L(s,Sym^k \rho)$ qui envoient $\rho$ vers une représentation des polynômes homogènes de degré $k$ en $n$ variables.

Sylvain veut nous parler de cette opération $\phi \otimes \rho$, dont un des intérêts est que envoyer $a_n(\rho)$ vers $a_n(\rho) \chi(n)$ (un caractère de Dirichlet) c'est faire $\otimes$ avec une représentation cyclotomique de $Gal(\Q(\zeta_q)/\Q)$. Cette opération $L(s,\rho) \mapsto L(s,\rho \otimes \chi)$ est un automorphisme du groupe des quotients de fonctions L. Malheureusement il ne se comporte bien que tu côté algébrique, cet automorphisme a un comportement erratique vis à vis des zéros, de RH, et des autres propriétés analytiques.

La théorie des formes automorphes permet d'étendre ces notions aux autres fonctions L, quand $Gal(K/\Q)$ est remplacé par des objets géométriques plus compliqués (genre le Tate module d'une courbe elliptique ou les groupes de cohomologie d'une variété algébrique, les fonctions de comptage des points s'exprimant à partir de celles-ci) et même aux fonctions L de formes automorphes pour lesquelles il n'y a pas d'objet algébrique associé (l'objectif de Langlands étant d'en construire un)

Oui et ? Si t'es capable de voir ça alors t'es capable de voir pourquoi ton pdf ne contient rien d'intéressant, non ? Prends des fonctions L concrètes et montre nous ce que tu sais en faire au lieu de nous parler "d'automorphismes de M et de quotient des isométries de l'ensemble des zéros"

Sylvain, avant même de continuer à discuter je pense qu'il faut reprendre le texte d'urgence, en le rendant "standard" (définition, proposition, lemme, etc ...), en définissant tout ce que tu fais, en ajoutant des preuves même triviales, et surtout en réparant les erreurs mathématiques soulignées. Peut-être peux tu poster une deuxième version et on peut discuter de ça ensuite ?

reuns merci je vais lire ça aussi

C'est simplement parce que le texte n'est pas lisible. "D'urgence" veut dire que pour le moment discuter semble inutile vu qu'il y a des corrections importantes à effectuer.

Je suis loin d'être bourbakiste. Les mathématiques demandent naturellement une grande rigueur, sinon les énoncés sont faux ou parfois n'ont même aucun sens. Pour ma part j'attends la deuxième version et je veux bien à nouveau jeter un oeil.