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Un sens formel à "avoir un sens formel"

Envoyé par zartisant 
Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Peut-on donner un sens formel à "avoir un sens formel" ?

La question ainsi posée peut sembler vague, mais je vais l'illustrer par un exemple.

Dans l'arithmétique de Peano, + abrège quelque chose (il a un sens formel), par contre ++ (ou ddeh) ne renvoie à aucune abréviation dans AP (il n'a pas de sens formel).

Je pourrais préciser ce que je veux dire avec plus d'exemples, mais je ne pourrais donner un sens formel à cela. Et vous ?

En espérant ne pas être hors sujet.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par zartisant.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
On peut définir l'arithmétique de Peano formellement, avec ses règles de constructions de termes et de formules (en l'occurrence dans les présentations usuelles $+$ n'est pas une abréviation mais un symbole primitif, mais peu importe). Je ne sais pas si ça répond à ta question mais dans cette définition $+$ est un symbole, et $++$ n'en est pas un (ce n'est pas non plus un terme, ni une formule)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Le problème, si on adopte ce point de vue (on fige AP une fois pour toute), alors les nombres premiers n'ont pas de sens formel.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Comment ça ? "être un nombre premier" est une formule dans l'arithmétique de Peano

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Je vais prendre un exemple pour être plus explicite.

Définition : un entier est un nombre de fofo s'il est premier impair.

un nombre de fofo a un sens formel, mais pas dans AP figée.

Ok ?
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Bah non pas ok tu annonces quelque chose sans expliquer pourquoi; à nouveau il y a une formule de l'arithmétique qui décrit précisément les nombres de fofo

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
C'est ce que je suis entrain de faire : m'expliquer.

Reprenons l'exemple des nombres fofo, vendredi 28 juin cela n'avait pas de sens formel.

La difficulté de si on ne fige pas la théorie (on ne peut plus ajouter de nouveau symbole) , on est tributaire du temps, et cela on ne sait pas encore le formaliser.

Ok ?
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
avatar
Ça me rappelle vaguement mes idées sur la fonction Lex il y a des années de cela : l'idée était d'associer une "valeur logique" à une entité de façon analogue à une valeur de vérité (Lex se voulant l'abréviation de "Logical EXistence" ou le mot latin pour "loi", la cohérence étant en quelque sorte la seule loi des maths), en posant $\mathcal{Lex}_{T}(X)=1$ si $X$ n'induit pas de contradiction dans la théorie $T$, $0$ sinon et une valeur dans $]0,1[$ si ni la contradiction ni la non-contradiction ne peuvent être établies. J'ambitionnais de définir ainsi un "calcul logique" mais on est vite naïf à 18-20 ans...Je ne sais pas si ça correspond à ce que tu cherches.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
En fait, la plus grosse difficulté est dans le fait de formaliser le temps.

Comment parler formellement du passé et du présent.

Je viens de penser à un moyen, en datant les définitions et en prenant un temps courant (heure de Paris par exemple), alors il n'y a plus de problème. Non ?

Ainsi par exemple :

Définition à 14 h 45 le Dimanche 30 juin : un nombre fofo est un nombre premier impair.

Ainsi on peut dire que les nombres fofo on un sens dans AP depuis le Dimanche 30 juin à 14 h 45 (heure de Paris)

Si ce formalisme est correct, alors j'ai la réponse à ma question, si non pourquoi n'est-ce pas correct ?
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
La plus grosse difficulté est dans le fait de formaliser le temps.

Comment parler formellement du passé et du présent.

Je viens de penser à un moyen, en datant les définitions et en prenant un temps courant, alors il n'y a plus de problème. Non ?

Ainsi par exemple :

Définition à T : un nombre fofo est un nombre premier impair.

Ainsi on peut dire que les nombres fofo ont un sens dans AP depuis T

Si ce formalisme est correct, alors j'ai la réponse à ma question, si non pourquoi n'est-ce pas correct ?


T=14h45 le 30/06/2019 heure de Paris



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par zartisant.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Bonjour.

Le temps n'intervient pas en mathématiques, ni le fait que quelqu'un ait déjà parlé de ceci ou cela dans la formalisation. Il n'y a donc pas de différence entre "formel" et "formalisable".
Ne pas confondre avec "démontré" qui parle de l'activité des mathématiciens (l'activité connue de celui qui parle); "formalisé" correspond aussi à cette activité.

Cordialement.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Gérard a dit : "Le temps n'intervient pas en mathématiques..."

Qu'est-ce qui empêche de parler, mathématiquement, du temps, à partir du moment où l'on définit un temps courant et que l'on date toute apport mathématique ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par zartisant.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Bonjour Zartisant.

On mathématise le temps physique par des outils mathématiques, ce qui ne veut pas dire que le temps intervient en mathématiques, de même que l'attraction universelle n'intervient pas en mathématiques, ou le champ électromagnétique, ou le "ça" et l'égo.
Parler mathématiquement de quelque chose n'en fait pas un outil mathématique, seulement une théorie mathématisée.

Pour être plus concret, le théorème de Pythagore était vrai bien avant sa naissance (même avant l'existence de l'Homo Sapiens), et restera vrai après la disparition de l'humanité (*).

Cordialement.

(*) position platonicienne, mais sur d'autres conceptions des maths, on retrouvera la même absence de présence du temps.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
(Aparté inspiré par le commentaire de Gérard, en moins sérieux.) Il y a un tic de rédaction relativement présent, consistant à mettre des futurs dans les démonstrations. Par exemple : « Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que [...]. Alors la série de terme général $(u_n)$ va converger. » D'où une question immédiate : « ah oui ? et quand ? »
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Bonjour,

@Zartisant

A ta question "peut-on donner un sens formel à << avoir un sens formel >>" (avec tes exemples concernant + et ++ de PA) :
la réponse est oui ; on t'a répondu il me semble :
il s'agit de reconnaître si ce qu'on écrit est un terme ou une formule du langage que tu as choisi.

Tu peux d'ailleurs rajouter des connecteurs logiques ou des symboles de constantes sans modifier essentiellement les théorèmes de PA.
Par exemple, tu peux rajouter le symbole $p$ représentant un nombre entier constant (mais inconnu).
Tu peux aussi lui donner une définition en rajoutant par exemple $p=2$ aux axiomes,
ou au contraire en restant vague en rajoutant seulement "$p$ est premier", ou encore "$p$ est bleu", bleu étant un nouveau connecteur logique unaire.
Cela va rester cohérent (interprète bleu en "être premier").
Si tu veux changer les définitions au cours du temps, tu rajoutes un paramètre t, et tu modifies p en opération binaire (un peu comme +)
de telle sorte qu'on puisse interpréter par exemple $p(7.3,2)$ en "à l'instant t=7.3, çà vaut $2$".

Cordialement
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Gérard a dit : Pour être plus concret, le théorème de Pythagore était vrai bien avant sa naissance (même avant l'existence de l'Homo Sapiens), et restera vrai après la disparition de l'humanité

@Gérard : Penses-tu que le jeu de dame existait avant son invention, et existera quand personne n'y jouera ?

Pour ce qui est du temps, je ne parle pas de mathématiser le temps, mais de faire rentrer le temps dans les mathématiques* sous les réserves que j'ai déjà exposé**.


* : même si c'est déjà le cas de manière implicite, mais là le faire de manière officielle et assumé.

** : avoir un temps courant (heure de Paris par exemple) et daté les apports en mathématique.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par zartisant.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Zartisan,

tu sembles pencher pour la version "conventionnaliste" des maths (les règles mathématiques sont issues de décisions humaines). Dans ce cas, il y a une date de création, mais ensuite, le temps n'intervient plus (contrairement au jeu de dames, où les règles ont pu évoluer, se diversifier, et sont en grande partie arbitraires). En maths, une fois les règles de base fixées, leurs conséquences sont invariables, que l'on fasse la démonstration en 1900, aujourd'hui ou en 2100, on a les mêmes contraintes, les mêmes conséquences.

"Pour ce qui est du temps, je ne parle pas de mathématiser le temps, mais de faire rentrer le temps dans les mathématiques ..." Cette phrase n'a pas de sens pour moi. Définis ce dont tu parles, dire "je veux" n'a aucun sens si la volonté n'est pas traduite (sinon, c'est "je rêve" et ça n'a d'intérêt que pour toi).

Cordialement.

NB : La plupart des apports en mathématiques depuis 4 siècles sont assez bien datés, sans que ça serve à grand chose, sauf pour le gloire des découvreurs (ou inventeurs). Et ça n'apporte rien au mathématicien de savoir que son théorème est connu depuis 100 ans ou 1000 ans : C'est le même théorème.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Citation de Gérard : La plupart des apports en mathématiques depuis 4 siècles sont assez bien datés, sans que ça serve à grand chose, sauf pour le gloire des découvreurs (ou inventeurs).

De faire intervenir le temps peut permettre de lever certain paradoxe, comme celui du menteur* par exemple.

Citation de Gérard : En maths, une fois les règles de base fixées, leurs conséquences sont invariables, que l'on fasse la démonstration en 1900, aujourd'hui ou en 2100, on a les mêmes contraintes, les mêmes conséquences.

Et non justement, comme toutes conventions inter humaine, en maths certaines règles sont changés, je pense par exemple au fait que 1 était premier en France jusque dans les années 1900 date à laquelle la France se rangera sous l'avis Allemand (1 n'est pas premier).

Ensuite il y a certaine démonstration faîtes par Euclide dans son traité (la première ou deuxième proposition) qui était valide à l'époque d'Euclide et qui de nos jours** ne le sont plus.

Citation Gérard : Définis ce dont tu parles, dire "je veux" n'a aucun sens si la volonté n'est pas traduite (sinon, c'est "je rêve" et ça n'a d'intérêt que pour toi).

Je n'ai jamais parlé de volonté, et les passages ou j'y fais implicitement référence, ne sont là que pour préciser mes intentions, que je ne souhaite pas spécialement formaliser.


* : la fameuse phrase "je mens"

** : avec les nouveaux standards de la démo.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par zartisant.
Dom
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Pour moi tout existe.
La question est de savoir si un homme a découvert une chose ou si un autre la découvrira.

L’ensemble des choses déjà découvertes n’existe pas en mathématiques, mais fais-je un hors sujet ?
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Citation Dom : L’ensemble des choses déjà découvertes n’existe pas en mathématiques...

Mais il me semble que l'on peut donner un sens formel à l'ensemble des découvertes maths faîtes depuis maintenant (en prenant l'heure de Paris par exemple).
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
avatar
Et quid de la relativité de la simultanéité ?
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
"l'heure de Paris" n'est pas bien définie et n'est pas un concept formel, donc s'il y a quelque chose d'aussi peu raisonnable qui te semble être correct, tu dois avoir un sacré bon argument : où est-il ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Citations :
-Et quid de la relativité de la simultanéité ?

-tu dois avoir un sacré bon argument : où est-il ?


-Il suffit de travailler au jour prés,en effet sur Terre on n'a pas de phénomène qui diverge temporellement autant.

-Cela permet de donner une explication formelle au paradoxe du menteur (et par là même à des tas de paradoxes bâties sur ce même paradoxe)
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Bon,

comme Zartisant ne veut pas faire ce qu'il dit, inutile de perdre du temps à chercher à comprendre, ça relève de shtam. Et on est très loin du premier message (avait-il vraiment un sens, au delà du jeu avec les mots ?).
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Citation Gérard : comme Zartisant ne veut pas faire ce qu'il dit

C'est à dire ?

Après, j'aimerais que vous m'expliquiez en quoi est-ce déraisonnable de faire intervenir le temps en maths, comme je le propose.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Ce n'est pas déraisonnable, ça n'a pas de sens. Pas plus que de faire intervenir la pluie.
Si tu penses que ça a un sens, c'est à toi de faire le travail, de trouver ce sens. Mais tu t'es contenté d'en parler, de dire "pourquoi pas ?", donc tu baratines inutilement.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Non, je le répète cela permet de lever le paradoxe du menteur et par la même les innombrables paradoxes bâtis dessus.

Par défaut je suppose que vous voyez comment avec le temps le paradoxe du menteur est levé, sans cela il suffit de le dire, et je vous l'expliquerai.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Dom
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
L’ensemble des choses connues contient-II le paradoxe du menteur ?

(Je ne suis pas très sérieux, je vais me coucher)
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Citation
zartisant
Non, je le répète cela permet de lever le paradoxe du menteur et par la même les innombrables paradoxes bâtis dessus.

Je ne pense pas qu'il y ait un problème avec le "paradoxe" du menteur en mathématiques. Ma connaissance de la logique mathématique est assez limitée mais Wikipedia dit, je cite :

La logique mathématique, par exemple le calcul des prédicats du premier ordre classique, échappe au paradoxe du menteur du fait de sa formalisation : les énoncés doivent être bien formés, soit des formules du langage considéré, et il n'est pas possible d'écrire dans celui-ci l'énoncé paradoxal qui est un énoncé du métalangage.

Tous ces problèmes de "paradoxes" apparents ont déjà été résolus depuis longtemps.
Re: Un sens formel à "avoir un sens formel"
il y a sept semaines
Oui, peut-être.
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