À propos de la conjecture de Syracuse
Salut la compagnie ! Je viens vous présenter une formule liée a la célèbre conjecture de Syracuse. Elle permet de calculer le x-ième nombre impair qui envoie sur un autre nombre impair en y itérations de Syracuse compressée.
Diable, à quoi ça sert ? Bonne question, ravi que vous la posiez. Sans doute à rien du tout, mais la formule existe alors autant la poster, elle sera peut-être utile à un autre shtameur.
Ladite formule :
[large]
% est ici l’opérateur signifiant le modulo (comme dans certains langages informatiques).
Bonne journée à tous.
Diable, à quoi ça sert ? Bonne question, ravi que vous la posiez. Sans doute à rien du tout, mais la formule existe alors autant la poster, elle sera peut-être utile à un autre shtameur.
Ladite formule :
[large]
((2[sup]y-(y%2)[/sup] * (1 + (y%2 * 10) - y%2)) - 1 / 3) + (2[sup]y+1[/sup] * (x - 1))[/large]
% est ici l’opérateur signifiant le modulo (comme dans certains langages informatiques).
Bonne journée à tous.
Réponses
-
10 * y%2 - y%2, ça ne fait pas 9 * y%2 ?
Le résultat est 0 ou 9. -
Parenthèsage à revoir.
Et un exemple serait le bienvenu, ce n'est pas très clair comme formulation. -
Pour avancer le shmilblik...
Il existe même une version continue.
$f(x)=\dfrac{-1}{2}(\cos(\pi x)-1)\dfrac{3x+1}{2}+\dfrac{1}{2}(\cos(\pi x)+1)\dfrac{x}{2}$ -
Bon, je me suis planté. La bonne version simplifiée c'est
$a=y \bmod 2$
$\displaystyle2^a (x-1)+2^{y-a}\,(9\,a+1)-\frac{1}{3}$
Le $1/3$ final suggère que le résultat ne sera pas entier, et donc que ta formule est fausse (en admettant toutefois que le peu de clarté des parenthèses peut conduire à une erreur d'interprétation). -
@Nodgim, @Wilfrid :
Edit : " Wilfrid j'ai compris d'où vient ton erreur dans la simplification effectivement c'est au niveau des parentheses, mais en reformulant un peu ta dernière reformulation (lol) elle est clairement plus élégante et comprehensible :
[size=large]Pour calculer le x-ième nombre impair qui envoie sur un autre nombre impair en y itérations dans une suite de Syracuse compressée : a = y mod 2 2[sup]y+1[/sup](x-1) + ((2[sup]y-a[/sup](9a + 1) - 1) / 3)
[/size]
Merci, Nodgim devrait être satisfait aussi ;p "
@zartisant :
J'ai pas tout compris (ok, rien compris) à ta formule, mais si tu veux bien m'expliquer c'est avec plaisir !?
Voilà un exemple pour clarifier les choses :
On cherche le septième nombre impair qui envoie sur un autre nombre impair en trois itérations de Syracuse compressée.
Donc x = 7
et y = 3
((2y-(y%2) * (1 + (y%2 * 10) - y%2)) - 1 / 3) + (2y+1 * (x - 1))
= ((23 - (3%2) * (1 + (3%2 * 10) - 3%2)) - 1 / 3) + (23+1 * (7 - 1))
= (((22 * (1 + 10 - 1)) - 1) / 3) + (24 * (7-1))
= (((4 * 10) - 1) / 3) + (16 * 6)
= 13 + 96
= 109
Maintenant si on teste 109 dans la conjecture de Syracuse compressée, on peut voir qu'il envoie bien sur un autre nombre impair en 3 itérations :
(109 * 3 + 1) / 2 = 164
164 / 2 = 82
82 / 2 = 41
Pour montrer que c'est bien le septième nombre de ce type, c'est assez coquin à montrer sans vérification informatique. Je vous laisse faire de votre côté un petit programme ou une liste exhaustive. Mais c'est bien le septième nombre de ce type. Les six précédents étant :
93, 77, 61, 45, 29, 13
Quelqu'un l'a peut-être remarqué, cette formule va merveilleusement bien avec l'argument heuristique de la conjecture de Syracuse (tu);-)
Arckz. -
OK, ça a le mérite d'exister. Reformulé en binaire, poids faible à gauche :
Si y pair.... : 1010101....100.......soit une suite de 10 suivie d'un 0 puis du nombre poids fort
Si y impair : 1010101....1011......soit une suite de 10 suivie d'un 11 puis du nombre poids fort.
Cette formule ne fait malheureusement pas avancer d'un pouce la conjecture. Mais c'est une tout de même une belle synthèse. -
@Arckz,
Je ne vois franchement pas comment tu as obtenu 109. Voici l'expression que tu utilises :
$\displaystyle\left((2^{y-(y\,\bmod\,2)} (10\,(y \bmod 2)-(y \bmod 2)+1))-\frac{1}{3}\right)+(2^{y+1}\,(x-1))$
On commence par éliminer la première parenthèse ouvrante et sa parenthèse fermante :
$\displaystyle\left(2^{y-(y\,\bmod\,2)} (10\,(y \bmod 2)-(y \bmod 2)+1)-\frac{1}{3}\right)+(2^{y+1}\,(x-1))$
Puis on élimine les parenthèses inutiles et on simplifie $10\:a-a$, où $a=y \bmod 2$ :
$\displaystyle2^{y-a} (9\,a+1)-\frac{1}{3}+2^{y+1}\,(x-1)$
Si maintenant on pose $x=7$ et $y=3$, dans les trois cas le résultat est $\displaystyle\frac{407}{3}$, ce qui est tout à fait normal puisque tu multiplies une puissance de 2 par un entier et que tu soustrais ensuite $1/3$.
On peut également noter cette expression comme suit :
$\displaystyle4^{\left\lfloor \frac{y}{2}\right\rfloor }\,(9\,(y\bmod 2)+1)+2^{y+1}\,(x-1)-\frac{1}{3}$
Si on supprime le $-1/3$ le résultat est toujours pair. Je veux bien avoir fait une erreur à cause des parenthèses, mais dans ce cas c'est à toi qu'il revient de les placer correctement. -
@ Wilfried : Arckz a corrigé son énoncé message 45.
-
Ah oui, c'est vrai que c'est le même numéro de message par auteur pour toutes les interventions sur une question donnée. Donc, tu dois regarder ici le 2ème message de Arckz.
[ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1833420,1834298#msg-1834298 ? AD] -
Avec $\displaystyle\frac{1}{3} \left(2^{y-(y\,\bmod\,2)} (9\,(y\,\bmod\,2)+1)-1\right)+2^{y+1}(x-1)$, $x=7$ et $y=3$, on obtient effectivement 109. Affaire réglée, donc (je m'étais focalisé sur l'expression que Arckz utilise dans son dernier message).
Il reste cependant une chose que je ne comprends pas : qu'est-ce qu'il entend par "le septième nombre de ce type" ? -
A partir de n=109, 3n+1 = 328 ; 328 est un multiple de 8, mais pas un multiple de 16. Donc, dans la succession des opérations faites pour Syracuse, à partir de 109, on fait une multiplication, puis exactement 3 divisions, puis à nouveau une multiplication.
109 est le 7 ème terme de ce type. Les précédents sont les 109-16*k avec k entre 1 et 6.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Ce genre de formules à déjà été abordé ici:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1571386,1574130#msg-1574130
Fusionner ces deux formules en une seul via un modulo 2 est facile (et à été fait ici pour la version algorithmique; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1518044,1614842#msg-1614842), mais n'a pas beaucoup d'intérêt.
Il existe aussi des formules pour les versions ascendantes des suites:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1801204,1801604#msg-1801604 -
@Collag3n,
De manière générale, il est facile de connaître le nombre d'étapes nécessaires pour passer d'un terme impair au suivant dans une suite compressée. Soit l'extrait d'une telle suite dans lequel $i$ est un terme impair et $p$ un terme pair :
$i_0, p_1, p_2, ..., p_{n-1}, i_n$
En combien d'étapes passe-t-on de $i_0$ à $i_n$ ? Sachant que $\displaystyle{i_n=\frac{3\,i_0+1}{2^n}}$, la réponse est $n$. C'est une particularité des suites compressées qu'on ne retrouve pas dans les suites standard. Exemple avec 109 :
$\displaystyle{\frac{3\times109+1}{2^3}=41}$. On passe donc de 109 à 41 en 3 étapes.
La méthode de calcul proposée par Arckz permet, en faisant varier $x$ de 1 à ce qu'on veut, d'obtenir autant d'entiers impairs caractérisés par le fait que leur successeur impair se trouve à $y$ étapes en aval de leur position. C'est donc l'équivalent de ce dont tu parles, mais en plus simple. -
Je n'ai pas l'impression que ce soit plus simple (ou plus clair).
Dans mon premier lien, on voit tout de suite que la suite donnée ci-dessus {13,29,45,61,77,93,109,...} correspond à la formule pour 3 étapes à savoir $16i+13$, ce que lourrran décrit plus haut.
Les deux formules générales que j'expose dans le lien correspondent à la formule de Arckz sauf qu'il combine les deux formules (pair/impair) en une seule en exploitant le modulo 2 (qui vaut 0 pour pair et 1 pour impair) ce qui annule certains termes (le restant des termes étant similaires/communs).
A noter au passage que seuls les nombres de la forme $4i+3$ sont ascendants (l'impair suivant est plus grand). Pour ce cas je donne une autre formule dans le dernier lien. -
Collag3n a écrit:Les deux formules générales que j'expose dans le lien correspondent à la formule de Arckz, sauf qu'il combine les deux formules (pair/impair) en une seule
C'est justement pourquoi la méthode de Arckz est plus simple. Prenons un exemple : on désire générer un entier impair aléatoire $n$ tel que $3\,n+1$ soit divisible par $2^{12}$ (le successeur impair de $n$ dans une suite compressée est à 12 étapes de lui). Avec la méthode de Arckz on pose $y=12$ et on attribue à $x$ une valeur entière aléatoire. Terminé. Avec ta méthode il faut d'abord prendre en compte la parité de l'exposant de 2, en déduire la forme des entiers impairs dont le diviseur sera $2^{12}$, et enfin attribuer une valeur aléatoire à $i$. Tu admettras que c'est légèrement plus compliqué.
Permets-moi de faire une remarque à propos du premier lien que tu as fourni ci-dessus :Collag3n a écrit:Avec la série connue 3, 13, 53, 213, ... ou $\dfrac{10\cdot4^{\ell}-1}{3}$
On obtient 3 avec $\ell=0$.Collag3n a écrit:Avec la série connue 1, 5, 21, 85, ... ou $\dfrac{4^{\ell}-1}{3}$
On obtient 1 avec $\ell=1$.
Pour éviter les problèmes il faudrait à mon avis que la valeur minimale de $\ell$ soit cohérente, et donc remplacer $\dfrac{10\cdot4^{\ell}-1}{3}$ par $\dfrac{5\cdot4^{\ell}-2}{6}$. -
[suite du précédent]
Voici les données fournies par Collag3n (premier lien dans son premier message ci-dessus) à propos de la forme de l'entier impair $n$ tel que $3\,n+1$ est divisible $k$ fois par 2, avec $i > 0$. La seule modification que j'apporte est de les placer dans l'ordre du nombre de divisions possibles par 2 :
$n=4\,i+3\to1$ fois (par exemple, avec $i=1$ on obtient $n=7$, ce qui donne $3\times7+1=22$, divisible 1 fois par 2)
$n=8\,i+1\to2$ fois
$n=16\,i+13\to3$ fois
$n=32\,i+5\to4$ fois
$n=64\,i+53\to5$ fois
$n=128\,i+21\to6$ fois
$n=256\,i+213\to7$ fois
$n=512\,i+85\to8$ fois
On obtient deux suites, dont on calcule facilement un terme de la première puisqu'il est égal à $2^{k+1}$. La deuxième suite est 3, 1, 13, 5, 53, 21, 213, 85. Il s'agit d'une suite récurrente linéaire d'ordre 3 dont la forme explicite est $\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}+2^k$.
La forme générale est donc
$n=2^{k+1}\,i+\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}+2^k$
Après simplification on obtient
$n=2^k\,(2\,i+1)+\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}$
On recherche donc un entier impair $n$ tel que $3\,n+1$ est divisible par $2^k$. Je reprends l'exemple de Arckz, qui consistait à rechercher le 7ème entier impair divisible par $2^3$ :
$2^3\,(2\times7+1)+\dfrac{(-2)^{3+1}-1}{3}=125$
On s'attendait à trouver 109 mais on obtient 125, le 8ème entier impair de ce type ! Pour obtenir 109 il faut remplacer $i=7$ par $i=6$. Par conséquent :
$n=2^k\,(2\,i+1)+\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}\:,\:i\geq0$ -
Oui, il commence à 1 et pas à 0, c'est pour ça qu'il utilise $(x-1)$ dans sa formule.
-
@Collag3n,
Je présume que tu répondais à la dernière phrase de mon post, dans laquelle je m'étonnais que $i$ commence à 0 et non à 1 (influence de la formule de Arckz). J'ai supprimé cette phrase quelques minutes après, partant du principe que la formule avait par définition raison. Mon étonnement était en fait le résultat de ma première phrase, terminée par "..., avec $i > 0$". Dans le tableau que tu as dressé des formes de $n$ en fonction du nombre de divisions par 2, la valeur de $i$ a en réalité toujours commencé à 0 (comme quoi il est bon de le préciser dans la foulée).
Toujours à propos de $i$, comme on se contrefiche de savoir, par exemple, que 109 est le 7ème entier de son type, et sachant que $2\,i+1$ est toujours impair, on peut simplifier la formule comme suit :
$n=2^k\,i+\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}\:,\:i$ impair
Par ailleurs, il y a un parallèle intéressant à faire entre
$m=\dfrac{3\,n+1}{2^a}\to n=\dfrac{2^a\,m-1}{3}$ (où $n$ est donc le prédécesseur de $m$)
et $\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}$
Lorsque $k$ est impair, $(-2)^{k+1}=2^{k+1}$. Puisque $m$ est absent on suppose qu'il est égal à 1, alors en toute logique, $\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}$, avec $k=1,3,5,...$, devrait renvoyer les prédécesseurs impairs de 1. C'est le cas puisqu'on obtient 1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, 21845, 87381, ...
EDIT : il me semble que ceci établit un début de lien entre une suite de Collatz et 1. -
En remplaçant $n$ dans $(3\,n+1)/2^k$ par son expression ci-dessus (avec $i$ impair), on obtient son successeur impair dans une suite de Collatz : $3\,i-2\,(-1)^k$.
On note deux choses :- La valeur de $k$ n'a aucune importance puisqu'il est l'exposant de $-1$, et que par conséquent seule sa parité compte. Le successeur de $n$ ne peut donc prendre que l'une des deux valeurs $3\,i\pm 2$ : plus si $k$ impair, moins si pair.
- Si on connaît la valeur de $i$ et la parité de $k$ qui ont permis d'obtenir $n$, il n'est pas nécessaire de calculer $(3\,n+1)/2^k$. Mais il y a un autre aspect de la chose : prenons au hasard $i=17$ et $k$ impair. Ces données seules permettent de savoir que $3\,n+1$ sera divisible par $3\times 17+2=53$, avant même d'avoir la moindre idée de ce que vaut $n$, qu'on ne connaîtra qu'une fois la valeur de $k$ fixée. Le résultat de cette division sera bien sûr $2^k$.
$k=4,i=13\to n=197$. Suite compressée : 197, 296, 148, 74, 37, ...
$k=6,i=13\to n=789$. Suite compressée : 789, 1184, 592, 296, 148, 74, 37, ...
Le successeur impair de 197 et de 789 est $3\times 13-2\,(-1)^2=37$ (puissance 2 parce que $k$ est pair. On utiliserait puissance 1 s'il était impair), ou tout simplement $3\times 13-2$ (signe $-$ lorsque $k$ est pair). Toute valeur de $n$ obtenue avec $i=13$ et $k$ pair aura pour résultat que $3\,n+1$ sera divisible par 37 et pas autre chose (à part $2^k$ évidemment). Ce type d'information est indisponible lorsqu'on construit une suite de Collatz dans le sens descendant (vers 1), car $3\,n+1$ seul ne permet de connaître ni la valeur de $k$ ni celle du successeur de $n$.
Si les entiers impairs composant une suite de Collatz sont considérés comme des successeurs (hormis le terme initial), alors on ne peut s'intéresser qu'à leurs prédécesseurs. On commence par produire un successeur en choisissant une valeur de $i$ impaire et une parité de $k$ (j'indique plus bas comment les calculer pour $n$ donné) :
$i=29, k$ impair $\to 3\times 29+2=89$. Puis on pose
$n=2^k\times 29+\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}$, et on attribue successivement à $k$ les valeurs 1, 3, 5, ..., ce qui donne $n=$ 59, 237, 949, 3797, 15189, 60757, ..., entiers qui ont en commun d'avoir 89 pour successeur. Il est important de comprendre que la parité choisie de $k$ dans la production d'un successeur s'applique à l'exposant du diviseur de tous ses prédécesseurs, mais qu'elle ne concerne pas le successeur lui-même (sinon tous les exposants au sein d'une suite de Collatz seraient de même parité). Dans cet exemple, $3\times 89+1=268$ est divisible par $2^2$, donc $k$ est pair.
On détermine facilement la valeur de $i$ et la parité de $k$ associées à $n$ en tant que successeur :
$i=\dfrac{n\pm 2}{3}$. Plus $\to k$ pair , moins $\to k$ impair.
Ça ne fonctionne bien sûr pas avec un multiple de 3. De la même manière, $3\,i\pm 2$ (avec $i$ impair) ne peut produire aucun multiple de 3, ce qui confirme qu'aucun successeur ne peut en être un.
Enfin, $k$ est pair lorsque $n=1$, ce qui explique pourquoi $\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}$, avec $k$ impair, renvoie les prédécesseurs impairs de 1 (voir mon précédent message). -
@Collag3n,
Ce que je voulais dire dans mon précédent post est que si $m$ est le successeur impair de $n$, alors la relation entre les deux ne se résume pas à $m=(3\,n+1)/2^k$, elle va bien au-delà. Il suffit de choisir une valeur de $i$ (impaire) et une parité de $k$ pour que $n$ ET $m$ soient complètement déterminés, ce qui signifie que la valeur de $m$ est calculable indépendamment de celle de $n$, qui pourtant lui restera étroitement lié quelle que soit la valeur qu'on lui donne ensuite. Quand tu poses $n=(2^k\,m-1)/3$, au contraire, tu opères une dichotomie entre les deux variables, la première n'étant plus que le résultat d'une opération effectuée sur la seconde.
Pourquoi toujours ramener à une méthodologie ancestrale ce qui peut sembler ouvrir d'autres horizons, comme tu l'avais déjà fait avec la formule de Arckz plus haut ? "Ça existe déjà !", certes, mais sous une forme et avec une approche différentes ! -
Ben oui ça existe déjà, je n'ai jamais dit que ça devait t'empêcher de l'explorer à ta sauce, juste que l'habiller autrement, c'est bien mais pas suffisant.
Sinon, dans mon lien je dis que pour un $i$ donné, les nombres $8i+1$, $32i+5$, .... ont tous comme successeur $6i+1$ (avec exactement la même valeur de $i$), donc indépendant de $k$ comme tu dis. Rien de bien différent en somme.
Sinon, pas la peine de ronchonner, pointer vers quelque chose qui existe permet d'avancer plus vite il me semble. Sauf si à chaque formule que tu trouves tu penses avoir été plus loin que le reste du monde....auquel cas je comprends ta déception. -
Collag3n a écrit:Sauf si à chaque formule que tu trouves tu penses avoir été plus loin que le reste du monde....auquel cas je comprends ta déception.
Merci de ne pas m'attribuer des pensées qui ne sont pas les miennes.:-)
EDIT : pardon, j'ai oublié une chose. Tu donnes un exemple avec $8\,i, 32\,i,...$ mais comment généralises-tu la forme du successeur en fonction de celle du prédécesseur ? -
Je n'avais pas donné la forme générale de $8i+1, 32i+5,....$? (premier lien du premier post)
Les successeurs:
$4\cdot 4^l i + \frac{10\cdot 4^l -1}{3} \to 6i+5$
$2\cdot 4^l i + \frac{4^l -1}{3} \to 6i+1$
Libre à toi du fusinonner les deux formules avec ta méthode, la méthode de Arckz, ou la méthode de mon deuxième lien. -
Il est possible que je sois bouché, mais tu fournis des données particulières et ce n'est pas la question que je posais. Je te demandais comment, par la même méthode ou une autre, tu obtiens la forme du successeur pour tout prédécesseur donné. Et pendant que tu y es, merci de préciser ce que sont $i$ et $\ell$.
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Je vais préciser ma question pour qu'elle soit en relation avec la méthode de calcul exposée plus haut. Comment crées-tu un prédécesseur, c'est-à-dire un entier impair, de sorte que la relation avec son successeur impair soit établie et permette de connaître la forme – donc la valeur – de celui-ci ? Je veux bien admettre que tout terme impair d'une suite de Collatz soit de la forme $6\,i+1$ ou $6\,i+5$, qu'il soit prédécesseur ou successeur, mais ce qui m'échappe c'est la manière dont tu crées le prédécesseur pour en déduire l'une des deux formes possibles du successeur. Aurais-tu un exemple concret de la manière dont tu procèdes (difficile sans savoir ce qu'est $\ell$) ?
-
Je t'ai donné les deux formules générales qui couvrent tous les entiers, je ne vois aucune donnée particulière ici.
Tu parles de successeurs $3i\pm2$ avec un $i$ impair (??), ce qui revient à utiliser plus logiquement $6i\pm1$. Dans mes formules, $37$ c'est simplement $6\cdot6+1$. Mon $i$ est un entier naturel quelconque, j'utilise le même que dans les formules de mes liens.
Prends n'importe quelle des deux formules que je t'ai données pour $n$, applique $3n+1$, et tu verras que le résultat est divisible par le successeur $6i+1$ (ou $+5$ en fonction de la formule/parité). Mon exposant $l$ est un entier naturel quelconque, donc la parité sera plutôt déterminée par le successeur (Ou alors tu regardes dans le premier lien, "le nombre de fois que 3n+1 est divisible par deux" pour chaque formules: 1,3,5,7... ou 2,4,6,... au choix).
Edit: Ok, je vois, c'est le $l$ qui te perturbe. Au final, pas d'importance, il ne détermine pas le successeur. -
(les données particulières c'était $8\,i+1$ et $32\,i+5$, mais il fallait relire le post dans lequel tu en parlais, ce que je n'ai pas fait).
Donc ton $l$ est l'équivalent de mon $k$.
Méthode Collag3n. Exemple avec $i=4$ et $l=3$ :
$4\cdot 4^l\,i+\dfrac{10\cdot 4^l-1}{3}=1237$, dont le successeur est $6\cdot4+5=29$. L'exposant du diviseur des prédécesseurs de 29 est impair.
$2\cdot 4^l\,i+\dfrac{4^l-1}{3}=533$, dont le successeur est $6\cdot4+1=25$. L'exposant du diviseur des prédécesseurs de 25 est pair.
$+5\to$ exposant impair , $+1\to$ exposant pair.
Méthode Wilfrid. Je choisis $k$ impair (puisque $l=3$) et $i=9$ (toujours impair je le rappelle) :
$3\,i+2=29$ ($+2$ parce que $k$ est impair. $-2$ s'il avait été pair). La formule que j'ai utilisée indique que je voulais obtenir un successeur. Je sais que l'exposant du diviseur de ses prédécesseurs est impair puisque je l'ai choisi ainsi. Les prédécesseurs de $29$ sont (en utilisant la formule destinée aux prédécesseurs) :
$n=2^k\cdot 9+\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}$ avec $k=1,3,5,...,$ ce qui donne $n=19,77,309,1237,4949,19797,...$
Je dirai pour résumer : "non, ça n'existe PAS déjà !". -
Ok. Donc pour toi, substituer une variable suffit à décréter que tu as trouvé quelque chose qui n'existe pas?
Dans le premier exemple: mes variables $i$ et $l$ sont des entiers, chez toi, ce sont des entiers impairs !
Donc mon $i=4$ donne $6*4+5=29$. Ton $i$ est impair donc en réalité équivalent à $2i+1$ avec mon $i$, soit 2*4+1=9. Et tu le vois tout de suite avec ta formule: $3*(2i+1)+2=6i+5$ soit $29$.
Idem pour ton $k$ impair qui n'est autre que $k=2*l+1$, soit mon $l=3$ donne $k=7$ qui, tient donc, fait référence au prédécesseur $1237$ chez toi aussi. -
Collag3n a écrit:... qui, tient donc, fait référence au prédécesseur 1237 chez toi aussi.
C'est uniquement pour la raison que j'ai choisi $k$ impair. Si j'avais pris $k$ pair le successeur aurait été $3\,i-2=25$. Pour obtenir ses prédécesseurs j'aurais tout simplement remplacé $k=1,3,5,...$ par $k=2,4,6,...$, ce qui aurait donné $n=$ 33, 133, 533, 2133, 8533, 34133,....
Ce que j'obtiens en changeant un signe tu l'obtiens en utilisant deux formules différentes ! -
Wilfrid a écrit:Ce que j'obtiens en changeant un signe tu l'obtiens en utilisant deux formules différentes
L'idée c'est de tourner en rond? Oui j'ai deux formules, ce que je trouve plus clair, et comme je l'ai déjà répété PLUSIEURS fois, cela n'a aucune importance, et tu peux fusionner ces deux formules en une seule avec ta méthode, celle de Arckz ou la mienne. Cela ne change absolument rien.
$k$ pair, c'est juste $k=2l$ donc mon $l=3$ donne 533 comme ton $k=2*3=6$ donne 533. Rien d'autre qu'une substitution de variable. Et choisir une des formule est équivalent à choisir la parité de k. Tout ça t'a l'air si compliqué? -
Quel intérêt de parler de Syracuse et de successeur quand on parle seulement de $A_k = \{ n \ge 0, 2^k | 3n+1, 2^{k+1} \nmid 3n+1\}$ ?
Donc $n \in A_k$ ssi $3n+1 = (2m+1) 2^k$.
En énumérant les $m$ tels que $3 | (2m+1) 2^k-1$ on a la solution au problème du post de départ :
si $k$ est pair alors $2^k \equiv 1 \bmod 3$ donc $(2m+1) 2^k -1\equiv 2m \bmod 3$ qui est $\equiv 0 \bmod 3$ ssi $m = 3l$ et $$A_k = \{ \frac{(2(3l)+1)2^k-1}{3}, l \ge 0\}=\{ 2^{k+1}l +\frac{2^k-1}{3}, l \ge 0\}$$
Si $k$ est impair alors $2^k \equiv 2 \bmod 3$ donc $(2m+1) 2^k-1 \equiv 4m+1 \equiv m+1\bmod 3$ qui est $\equiv 0 \bmod 3$ ssi $m = 3l+2$ et donc $$A_k = \{ \frac{(2(3l+2)+1)2^k-1}{3}, l \ge 0\}= \{ 2^{k+1}l + \frac{5.2^k-1}{3}, l \ge 0\}$$
Aucun intérêt de chercher à unifier les deux formules. -
Collag3n a écrit:choisir une des formules est équivalent à choisir la parité de $k$. Tout ça t'a l'air si compliqué ?
Oui, extrêmement, car tes formules ne font pas apparaître cette parité, si bien que rien ne permet de savoir quelle formule utiliser pour obtenir telle parité. Mais on peut remédier à cet inconvénient :
(1)$\:\:n=4\cdot 4^li+\dfrac{10\,4^l-1}{3}$, qu'on simplifie en $\dfrac{2^{2\,l+1}\,(6\,i+5)-1}{3}\to n$ est le prédécesseur de $6\,i+5$ et l'exposant de 2 est impair.
(2)$\:\:n=2\cdot 4^li+\dfrac{4^l-1}{3}$, qu'on simplifie en $\dfrac{2^{2\,l}\,(6\,i+1)-1}{3}\to n$ est le prédécesseur de $6\,i+1$ et l'exposant de 2 est pair.
Par contre, on ne peut pas remédier au fait que, dans mes propres formules, la parité n'apparaît pas dans le calcul de $n$ considéré comme un successeur :
$n=3\,i\pm 2$, $+\to k$ impair , $-\to k$ pair (il faut mémoriser cette relation)
pas plus que dans le calcul de $i$ pour $n$ donné :
$i=\dfrac{n\pm 2}{3}$, $+\to k$ pair , $-\to k$ impair (même remarque)
Pour ce qui est du calcul de $n$ considéré comme un prédécesseur,
(3)$\:\:n=2^k\,i+\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3} , i$ impair (mais on peut le remplacer par $2\,i+1 , i\ge 0$ si on aime compliquer les choses)
la question ne se pose pas puisque la parité de $k$ est celle qu'on lui attribue implicitement en choisissant sa valeur numérique. On obtient une valeur de $n$ telle que $3\,n+1$ sera divisible par $2^k$, point barre, la parité de $k$ n'ayant aucune importance. Dans le choix qu'on fait d'une des formules (1) et (2) pour obtenir une valeur de $n$, la parité occupe au contraire la place centrale. Mais qu'est-ce qui justifie un tel honneur ? La seule réponse me semble-t-il est qu'on ne sait pas comment s'en débarrasser, alors on élabore un système à deux formules, ou on fait intervenir modulo 2. C'est également le rôle de $(-2)^{k+1}$ dans la formule (3), sauf qu'il le remplit avec suffisamment de discrétion pour reléguer le problème au second plan.
Je ne vois qu'un seul cas dans lequel la connaissance de la parité de l'exposant serait importante (et même essentielle) : le calcul des prédécesseurs d'une valeur de $n$ prise au hasard, c'est-à-dire non générée par l'une des formules (1), (2) ou (3). S'il est impossible d'effectuer ce calcul à l'aide des outils qui précèdent, alors la parité de l'exposant représente un vrai problème, sur lequel il est important de se pencher. Si c'est possible, elle n'est pas un problème. Voyons ce qu'il en est en prenant un entier impair au hasard, disons 137. Quelle parité doit-on attribuer à $k$ dans $(2^k\cdot 137-1)/3$ afin d'obtenir un ou plusieurs prédécesseurs de 137 ?
$i=\dfrac{137\pm 2}{3}=\dfrac{137-2}{3}=45$. Puisqu'on a dû utiliser le signe $-,\:k$ est impair. Les prédécesseurs de 137 sont donc
$\:\:n=2^k\cdot 45+\dfrac{(-2)^{k+1}-1}{3}$ avec $k=1,3,5,...$, soit $n$ = 91, 365, 1461, 5845, 23381, 93525, ...
Il reste un cas, celui de $(3\,n+1)/2^k$, mais connaître la parité de $k$ ne permettrait pas d'en déduire la valeur du diviseur, donc il est inutile de s'en préoccuper.
Au final, se focaliser sur la parité de $k$ est une perte de temps. En conséquence, le système à deux formules ne sert strictement à rien.
[message édité le 20/07 pour simplifier et apporter des éclaircissements] -
Bonjour.
J'avoue que je n'avais connaissance des posts vers lesquels tu renvoies Collag3n, et si c'était le cas j'aurais gagné pas mal de temps ! Rien de nouveau sous le soleil de Syracuse.
Utiliser une formule plutôt que deux me semble plus utile pour plusieurs raisons.
Spécifiquement, le fait d'avoir une seule équation polynomiale à deux inconnus permet de représenter les résultats sous la forme d'un tableau unique, où x et y se figurent être l'abscisse et l'ordonnée.
Mis à part que ce tableau constitue une représentation visuelle utile rendant bien compte de la configuration connue des suites de Syracuse, il y a peut-etre de nouvelles perspectives de recherche. Si le fait de pouvoir attribuer à chaque entier naturel trois autres entiers naturel (x, y et le successeur) permet une (ou des) sous-classification utile des nombres selon d'autres données telles que leur altitude, leur temps de vol en altitude, leur temps de vol, leur comportement au sein du tableau...
De plus, l'équation fait écho à l'argument heuristique qui dit que : "statistiquement, l'effet de deux opérations consécutives de la suite revient à multiplier le nombre de départ par (3/4), ou encore que l'opération de Syracuse est contractante, en moyenne, dans un rapport approximativement égal à la racine carrée de (3/4) = 0,866…" (Wikipedia)
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Bonjour!
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