Amis shtameurs, un problème pour vous.

Bonjour,

Il y a une coquille dans l'énoncé, je crois:
Il faut rempacer $3$ par $2$ lorsqu'il est comparé à $n$.

Cordialement
Paul

Bonsoir

@Tonm: FdP n'a pas encore lu mon premier message, sinon il aurait corrigé sa coquille.
Par ailleurs, si $n=2$, je ne vois pas des tas de $k$ "qui font un entier". J'en vois seulement deux, à savoir $1$ et $3$ comme prévu dans la conjecture.
Cordialement
Paul

Il me semble que la coquille est plutôt dans la définition de $S_k$ :\[
S_k(n) = \sum_{j=1}^{n-1} j^k
\]
Dans ce cas, on a bien $n = 3$ est solution (pour $k = 1$ et $k = 3$).


Démontrer (ou réfuter) la conjecture équivaut à chercher les $(k,n) \in \mathbb{N}_{\geqslant 1} \times \mathbb{N}_{\geqslant 3}$ tels que $S_k(n)$ divise $n^k$.

En utilisant un peu d'arithmétique, on obtient les résultats suivants :

Si $k = 1$, alors $S_1(n) = \frac{(n-1)\,n}{2}$ divise $n$,
donc $n = 3$ est l'unique solution.

Si $k = 2$, alors $S_2(n) = \frac{(n-1)\,n\,(2n-1)}{6}$ divise $n^2$,
donc montre qu'il n'y a aucune solution.

Si $k=3$, alors $S_k(n) = \frac{(n-1)^2\,n^2}{4}$ divise $n^3$,
donc $n = 3$ est l'unique solution.


Pour $k > 3$, on peut améliorer l'observation de Tryss en donnant une condition nécessaire plus précise (dépendant de $k$) sur les valeurs de $n$ solutions.

On sait, grâce à la formule de Faulhaber, que $S_k(n)$ est égal à un multiple de $(n-1)/P(k)$ où $P(k)$ est un nombre qui dépend de la suite des nombres de Bernouilli, que l'on peut calculer en appliquant le théorème de von Staudt-Clausen. En particulier, $P(k)$ divise le produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $(k+1)$.
On en déduit :\[
\large S_k(n) \text{ divise } n^k \implies (n-1) \text{ divise } P(k)
\] et donc en particulier, $(n-1)$ divise les produit de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $(k+1)$.

Si la conjecture est vraie, il est alors facile de la vérifier pour tout $k \leq \kappa$ avec $\kappa$ suffisamment petit, on calcule la valeur exacte de $P(k)$ et on teste toutes les valeurs de $n$ telles que $(n-1)$ divise $P(k)$.


Par contre, démontrer qu'il n'y a pas de solution pour tout $k$ arbitrairement grand est une autre paire de manches…