Le paradoxe de l'interro surprise

Sylviel
Sylviel
dans Shtam
Un prof de MP, qui donne cours tous les jours à sa classe annonce le lundi matin qu'il y aura une interro surprise d'ici la fin de la semaine.

Les élèves raisonnent par réccurrence :
- si l'interro n'a pas eu lieu d'ici jeudi on est sûr qu'elle aura lieu vendredi. Comme elle est surprise ce n'est pas possible, elle n'aura donc pas lieu vendredi.
- si l'interro n'a pas eu lieu d'ici mercredi, comme elle ne peut pas avoir lieu vendredi, on est sûr qu'elle aura lieu jeudi. Comme elle est surprise ce n'est pas possible, elle n'aura donc pas lieu jeudi.
...
donc par récurrence l'interro ne peut avoir lieu.
Rassuré ils retournent jouer aux cartes.

Mercredi matin a lieu l'interro, et les élèves furent surpris.

--> Où est l'erreur (formelle) de raisonnement ?

Réponses

  • Dom
    Dom
    Il y a eu un long fil à ce sujet (il y a an, ou deux ans ?).

    Traduire « la surprise » formellement est difficile.
    Par exemple, avec ce raisonnement, s’il n’y a pas d’interro jusqu’au jeudi inclus et que l’on en déduit qu’elle n’aura pas lieu vendredi...alors ce serait une surprise qu’elle ait lieu vendredi.
  • Fly7
    Fly7
    Bonjour.
    J'avais entendu parler de la version du condamné à mort.
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,29686
  • Sylvain
    Sylvain
    Le temps est renversé.
  • montesquiou
    montesquiou
    Une réponse de niveau terminale, niveau années 80, est-elle admise :

    Si l'on considère que "surprise d'ici la fin de la semaine" signifie "choisie au hasard par le professeur selon ses propres critères", les événements "L'interro tombe le jour n" forment une partition et sont disjoints (ce qui nous intéresse ici).

    Donc pas d'hérédité possible dans le raisonnement par récurrence car les tirages sont indépendants les uns des autres : le résultat d'un vendredi ne permet pas de déduire le résultat d'un jeudi.

    Pas non-plus d'initialisation, car il s'agit d'une variable aléatoire, donc qui a des chances de se produire un vendredi contrairement à l'énoncé.

    La solution est identique pour le condamné à mort.

    Un joueur au loto qui jouerait chaque jour de la semaine n'aurait pas plus de chances de gagner un jeudi parce qu'il a gangné ou perdu un vendredi. Quand le rouge est tombé dix fois de suite à la rouelle, il a autant de chances de tomber une onzième fois de suite que le noir. C'est le même principe.
  • montesquiou
    montesquiou
    Si le professue décide du jour, sans aucune intervention aléatoire, l'exercice est une tautologie. La jour est fixé par le professeur. Tout le reste est une grosse blague ... et je me suis fait avoir.
  • Dom
    Dom
    Je pense que dans l’énoncé, ce que l’on appelle « surprise » est « la classe n’a pas eu d’évaluations les jours passés et le jour même, il est possible mais sans en être certain qu’il y ait une évaluation ».

    C’est pourquoi le raisonnement commence par dire que le vendredi l’évaluation ne peut pas avoir lieu car ce ne serait plus une surprise.
  • montesquiou
    montesquiou
    Merci Dom des précisions.

    La proposiition "Un prof de MP, qui donne cours tous les jours à sa classe annonce le lundi matin qu'il y aura une interro surprise d'ici la fin de la semaine." contient une contradiction évidente. Dès lors que l'interrogation "surprise" est annoncée, elle n'est plus "surprise". La preuve en est que le vendredi matin, les élèves savent qu'ils n'auront pas d'interrogation. Ils raisonnent alors par récurrence en considérant une interrogation "surprise" qui ne l'est pas vraiment. La seule manière de donner une interrogation surprise, c'est de ne pas l'annoncer pour se réserver tous les jours de la semaine. Ce n'est cependant pas le résultat attendu, mais à tout hasard, je soulève l'incohérence.

    Ce préambule permet toutefois de recentrer la réflexion autour du terme "surprise". A quelle conditions une interrogation reste-t-elle surprise, un jour donné ? Déjà, on doit raisonner dans le sens chronologique :

    * Le jour supposé de l'interrogation, il doit subsister un doute concernant la date de l'interrogation. Aura-t-elle lieu le jour même ou un autre jour ?

    Exemple : Lundi, l'élève s'interroge pour savoir si l'interrogation tombe le jour même ou un autre jour, par exemple mardi. Comme plusieurs jours sont possibles, il y a incertitude.

    * Par ailleurs, il doit également avoir plusieurs dates d'interrogation "surprise".

    * Enfin, cette date ne peut être le vendredi. Le vendredi matin, les élèves savent qu'il ne reste plus qu'une seule date.

    L'interrogation "surprise" devra donc avoir lieu lundi, mardi, mercredi ou jeudi. Après cette date l'interrogation devient "prévisible".

    Vérification :
    * Lundi : l'interro surprise pourra avoir lieu lundi,mardi, mercredi ou jeudi.
    * Mardi : l'interro surprise pourra avoir lieu mardi,mercredi ou jeudi.
    * Mercredi : l'interro surprise pourra avoir lieu mercredi ou jeudi.
    * Jeudi : l'interro surprise pourra avoir lieu. C'est la dernière date possible. Mais on doit considérer qu'elle pourrait très bien ne pas avoir lieu.
    * vendredi : l'interrogation surprise ne peut pas avoir lieu.

    A mon avis, l'énoncé doit donc préciser que l'interrogation surprise pourrait très bien ne pas avoir lieu. On en vient d'ailleurs à la notion d'interrogation surprise citée au départ. Dès lors que le secret de l'interrogation surprise a été révélé, il faut se donner toute lattitude pour annuler l'interrogation, sans quoi tout devient prévisible.

    Merci de ne pas me bizuter si j'écris n'importe quoi.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Et si l'interro avait lieu vendredi ? Ne serait-ce pas une surprise totale pour les élèves, puisqu'ils ont la démonstration que ça ne peut pas être le vendredi ? En effet, si on arrive au vendredi matin sans que l'interro ait été faite, celle-ci ne peut être que le vendredi, ce qui prouve qu'elle ne peut pas être le vendredi.
  • montesquiou
    montesquiou
    Exact, merci.

    Tout dépend en fait du sens qu'on donne au terme "surprise". Avoir une interrogation "surprise" le dernier jour n'est pas une surprise, si l'on s'en tient à l'énoncé. Donc les élèves ne devraient théoriquement pas avoir d'interrogation surprise le dernier jour. Mais si le professeur décide de prendre ses élèves par surprise ... il peut leur donner l'interrogation surprise.

    C'est la même situation que lorsque l'on affirme : "je ne mens pas". Cela ne veut rien dire de particulier.

    La solution la plus simple serait d'ajouter la condition à l'énoncé que l'interrogation surprise pourrait très bien ne pas avoir lieu. C'est ce qui implicite dans la formumle : « la classe n’a pas eu d’évaluations les jours passés et le jour même, il est possible mais sans en être certain qu’il y ait une évaluation ». De cette manière, chaque jour devient possible et l'interrogation "surprise" le reste.Le vendredi, l'interrogation "surprise" pourra avoir lieu ou être annulée.

    Alternativement, on conserve le secret et on peut alors donner l'interrogation "surprise" n'importe quel jour.
  • montesquiou
    montesquiou
    En réponse à la question posée, les élèves appliquent une relation récurrente, alors que la décision de l'interrogation "surprise" dépend du professeur, à sa seule discression. Les élèves n'ont pas pris en compte que l'interrogation "surprise" pourrait ne pas avoir lieu ou que leur professeur pourrait au dernier moment, le vendredi, les prendre par "surprise". Même si l'information de l'interrogation "surprise" a fuité, le secret reste entier, on ne peut conjecturer aucun jour particulier et encore moins faire une récurrence.

    C'est d'ailleurs ce que j'avais écrit plus haut : l'exercice est un tautologie, je me suis fait avoir.

    Merci à tous.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    À en juger par le nombre d'édition de tes messages, tu as du mal à te faire une idée définitive ... (:D
  • montesquiou
    montesquiou
    Oui, j'ai d'abord compris que c'était le professeur qui choisissait, puis j'ai douté et étudié la question, sans piger immédiatement que l'interro surprise pourrait ne pas avoir lieu.

    Merci de votre aide.
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