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Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.

Envoyé par Pablo_de_retour 
Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Bonjour à tous,

Dans les cours d'algèbre commutative, on nous enseigne toujours que l'anneau des polynômes $ \mathbb{C} [X] $ est factoriel. Ceci dit, la décomposition d'un polynôme $ P \in \mathbb{C} [X] $ en éléments simples est unique. Pouvez vous me dire, s'il vous plaît, comment démontre -t-on que cette décomposition est effectivement unique.

Par exemple, aujourd'hui, je découvre que tout polynôme $ P(X) = a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_0 \in \mathbb{C} [X] $ admet au moins, trois décompositions distinctes, en élément simples. et ce sans aucune erreur commise dans la méthode. Donc, inutile de me dire que je me suis trompé quelques part, parce que la méthode de calcul est juste.

Quelles conséquences a-t-il le fait que tout polynôme dans $ \mathbb{C} [X] $ a plusieurs décompositions distinctes, en éléments simples ?

Merci d'avance.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Qu'est-ce que tu appelles "éléments simples" au juste ? En l'absence de précision, ce que tu dis peux être vrai, faux ou ne pas avoir de sens. Il faut aussi définir l'unicité.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Je sais que $ \mathbb{C} [X] $ est principal, donc noethérien, donc, tout polynôme a une décomposition unique en éléments simples. Comment démontrer que $ \mathbb{C} [X] $ est principal ? Désolé pour cette question bête, car ça fait longtemps que je ne pratique pas la théorie des anneaux. Merci d'avance.

Edit : Croisement avec le message de Poirot.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Bonjour.

C'est quoi, la décomposition en éléments simples d'un polynôme ?

Et s'il s'agit d'une décomposition en produit de termes de degré 1, il n'y en a qu'une seule, à l'ordre des facteurs et à des coefficients multiplicatifs près; autrement dit sous la forme $a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_0=a_5(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)$, à une permutation des facteurs près, il y en a une seule.

Je ne te dis pas que tu t'es trompé, je te dis seulement que tu racontes n'importe quoi; comme très souvent.

[ Edit : Je note que tu n'as pas répondu à Poirot sur ce que tu appelles "élément simple". Encore une fois, tu manipules des mots que tu ne comprends pas]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par gerard0.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
"et ce, sans aucune erreur" : c'est encore une affaire où tu nous démontres que 200 ans de mathématiques sont erronées ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Citation
Poirot
Qu'est-ce que tu appelles "éléments simples" au juste ? En l'absence de précision, ce que tu dis peux être vrai, faux ou ne pas avoir de sens. Il faut aussi définir l'unicité.

Pardon, je me suis mal exprimé Poirot.
Décomposition en éléments simples signifie pour moi, décomposition en éléments irréductibles $ P = a P_1 \dots P_n $ avec : $ a \in \mathbb{C} $ inversible ( i.e : différent de $0$ ). Puisque ici, on est dans $ \mathbb{C} $ algébriquement clos, alors : $ P_i = \alpha_i x + \beta_i $ avec : $ \alpha_i , \beta_i \in \mathbb{C} $ pour tout $ i = 1 , \dots , n $.

Edit : Croisement avec le message de gerard.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Merci pour la précision des termes. Dans ce cas tu t'es effectivement trompé, puisque Gauss (et énormément de gens depuis) a démontré il y a de nombreuses années que la décomposition en question est unique (aux facteurs inversibles, c'est-à-dire les constantes non nulles, près).



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Poirot.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Citation
Pablo
[www.les-mathematiques.net]

Ah oui, $ \mathbb{C} [X] $ est euclidien, donc, principal, donc, la décomposition est unique, et il est facile de montrer que $ \mathbb{C} [X] $ est euclidien.
Alors, je ne sais pas s'il m'est permis de dire sur ce forum qu'il y a erreur dans le fondement de la théorie des anneaux, parce que moi, je trouve, d'après ma méthode, que la décomposition en éléments simples de tout polynôme dans $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas unique.

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Oui, il t’est permis de le dire et de le penser Pablo. Il t’est même permis de dire et de penser que les mathématiques ne servent à rien.
Aucun problème Pablo.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Pablo : il t'est permis de le dire, mais le principe des maths c'est que pour affirmer quelque chose il faut le prouver.

Un modérateur ou une modératrice pour déplacer cette discussion en shtam ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Citation
Maxtimax
"et ce, sans aucune erreur" : c'est encore une affaire où tu nous démontres que 200 ans de mathématiques sont erronées ?
Peut-être. smiling smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Tu cherches à te faire critiquer exprès non ? Pas la moindre tentative de preuve que tu es de bonne foi. Direction shtam immédiatement, et si tu n'apportes pas plus d'informations sur ta prétendue preuve, ce sera une fermeture.
b.b
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Elle donne quoi ta « méthode » pour $X^2-1$ ? Ne vois-tu pas que $X^2-1=(X-1)(X+1)$ est l'unique décomposition possible dans $\C[X]$ ?
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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S'il vous plaît, ne fermez pas le fil. Je suis de bonne foi. Vous pressez trop sur moi. Je ne sais pas si ce sera une bonne idée de vous dévoiler la preuve ici. La preuve est une conséquence de ma méthode de résolution des équations algébriques de tout degré par radicaux.
Quelle conséquence a-t-il le fait que la décomposition en éléments simples dans $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas unique ?
Merci infiniment.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
La conséquence que ça aurait est l'incohérence de ZF et donc tous les résultats du monde seraient prouvables (avec les axiomes usuels).
Comme le dit Poirot, si tu ne fournis pas de preuves, ce ne sont pas des maths, donc rien à faire sur ce forum

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
b.b
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
avatar
On attend toujours les multiples (au moins 3 !) décompositions de $X^2-1$ dans $\C[X]$.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
avatar
@b.b. :
Ma méthode marche uniquement pour les équations de degré $ \geq 4 $.
Par exemple, les équations degré $ 4 $ se réduisent aux équations de degré $ 2 $.
les équations degré $ 5 $ se réduisent aux équations de degré $ 3 $.
...
les équations degré $ n $ se réduisent aux équations de degré $ n-2 $.

Pour les équations de degré $ 3 $, je ne peux pas ou bien à vrai, je peux, mais je descends à une équation de degré $ 1 $ qui ne peux pas se mettre comme produit de deux polynômes de degré inférieur. Voilà pourquoi ça ne marche pas pour $ X^2 - 1 = 0 $.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Bonjour,

Eh bien, fais nous le avec $X^4-1$.

Cordialement,

Rescassol
b.b
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Ben oui, mais tu ne l'avais pas précisé au départ. Le polynôme dans ton premier post était quelconque de degré $\le 5$.

Ok, alors, que donne ta méthode pour $X^4-1$ dans $\C[X]$ ? Tu prétends qu'il existe au moins trois factorisations. Moi, je te dis que la seule qui existe est celle-ci : $X^4-1=(X-1)(X+1)(X+i)(X-i)$. Tu en vois vraiment d'autres ?

Edit : grillé
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Citation
Maxtimax
La conséquence que ça aurait est l'incohérence de ZF et donc tous les résultats du monde seraient prouvables (avec les axiomes usuels).

Non. Tu ne m'as pas compris Maxtimax. Quelle conséquence aura-t-il en théorie des anneaux plus précisément. Quelles anomalies trouvera-t-on en théorie des anneaux qui bloquera son développement ? Quels théorèmes et propriétés précisément ?
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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$(1+x)^2(2+x)=(1+x)(2+x)(1+x)$ je viens de montrer qu'il n'y a pas unicité de la décomposition en <<éléments simples>> On nous a toujours enseigné des mensonges hot smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Bonsoir,
trois décompositions de $X^2-1$ dans $\R[X]$ :

$X^2-1=(X-1)(X+1)$

$X^2-1=(2X-2)\left(\frac12X+\frac12\right)$

$X^2-1=5(X+1)\left(\frac15X-\frac15\right)$

cool smiley
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Pourquoi lui demander un exemple ? Vous savez bien que les méthodes mirifiques de pablo ne sont jamais effectives. On attend toujours la décomposition d'un certain polynôme de degré 5 (il y a eu deux propositions fausses de pablo, puis plus rien)
En fin de compte, c'est simplement un mythomane !!
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Résoudre par radicaux toutes les équations polynomiales c'est pas pire que de résoudre l'hypothèse de Riemann en traitant séparément la partie réelle et imaginaire de $\zeta(s)$ (et en supposant que les séries convergent pour tout $a+ib$)

Les racines simples d'un polynôme complexe s'expriment comme une série dont les termes sont des fonctions rationnelles des coefficients. [en.wikipedia.org]

Cette série c'est la série de Taylor de $f^{-1}$ donc elle ne converge que sur un disque image d'un ouvert où $f$ est bijective (d'où la restriction $f'$ ne s'annule pas donc la racine qu'on va trouver est simple).

Donc il faut d'abord translater le polynôme pas trop loin d'une de ses racines. Les racines doubles se trouvent en regardant $\gcd(f,f')$.

Sinon Pablo étant donné que $f\in \C[x]$ non-constant a toujours une racine $a_1 \in \C$ peux-tu montrer l'unicité de sa factorisation $f(x)=c\prod_j (x-a_j)$ ? Et étant donné que dans $k[x]$ le pgcd donne que tout idéal est principal, peux-tu montrer l'unicité de la factorisation en polynômes irréductibles (et premiers dans $k[x]$) ?

Ensuite la vraie question intéressante c'est de montrer que $k[x,y,z]$ est un UFD.



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
avatar
@b.b. :

Je ne ferai pas le calcul aujourd'hui pour $ X^4 - 1 = 0 $, parce que le calcul est très long. tongue sticking out smiley Je m'excuse. smiling smiley
Voilà le principe :
Par exemple, pour une équation de degré $ n $, je transforme son système de Viète à $ n+1 $ équations, en un système de Viète à $ n-2 $ équations correspondant à une équation de degré $ n-2 $ plus $ 2 $ autres équations linéaires faciles à résoudre quant on sait résoudre l'équation à $ n-2 $ degré. Je peux évaluer que cette équation à $ n-2 $ degré me fournira $ n-2 $ décompositions à éléments simples de l'équation initiale de degré $ n $.
J'essaye d'améliorer ma méthode pour le moment pour pouvoir réduire mon équation à $n$ degré à une autre de degré $ n-3 $ ou $ n-p $ ( Je ne sais pas pour le moment ). Pour le moment, j'ai réduit au début de $ n $ à $ n-1 $, mais ça, n'a pas marché parce qu'il y a moins de variables que d'équations quant je développe. mais j'ai réussi à passer de $ n $ à $ n-2 $, et là ça marche. J'essayerai d'améliorer ma méthode à fin de voir si je peux passer de $ n $ vers $ n-3 $ ou $ n - p $ de manière générale. smiling smiley



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Bonsoir,

C'est très long de factoriser $X^4-1$ ? Tu plaisantes ! Il faut une fraction de seconde de tête ! Tu dis toujours n'importe quoi !!!..........

Cordialement,

Rescassol
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Citation
reuns
Sinon Pablo étant donné que $f\in \C[x]$ non-constant a toujours une racine $a_1 \in \C$ peux-tu montrer l'unicité de sa factorisation $f(x)=c\prod_j (x-a_j)$ ?

Peux tu me montrer comment s'il te plaît ? Moi je ne sais pas le faire. hot smiley smiling smiley
b.b
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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@ Pablo

Ok, une dernière tentative : même $X^4$, c'est trop dur à factoriser ? (C'est le plus gentil polynôme de degré 4)
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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@b.b. :

Non, ma méthode fonctionne uniquement pour les équations de la forme : $ a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0 $ avec : $ a_n , a_0 \neq 0 $. J'ai oublié de préciser ça. smiling smiley Pardon. smiling smiley
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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$x^4-1$ vérifie tes conditions Pablo.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Nous savons bien que ce fil est une énième tentative pour nous expliquer qu'il a "découvert" une "méthode" pour résoudre toutes les équations de degré au moins égale à 5 par radicaux. smoking smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
b.b
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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smiling smiley Ok, bonne soirée Pablo. smiling smiley
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Si Pablo consentait à lire sérieusement des trucs comme :
[www.math.u-psud.fr]
cela l'empêcherait peut-être d'avoir des poussées de fièvres shtamiques. smoking smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Quelles anomalies trouvera-t-on en théorie des anneaux qui bloquera son développement à cause du fait que la décomposition en éléments simples dans $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas unique ?

Merci d'avance.

Edit : Si la décomposition en éléments simples dans $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas unique, alors, $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas euclidien. Que signifie que $ \mathbb{C} [X] $ n'est pas euclidien ?



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Pablo_de_retour.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
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Faut être cohérent.
Tu dis que, pour tout polynôme vérifiant certaines propriétés, tu as la preuve qu'il y a plusieurs décompositions.
On te demande les différentes décompositions pour certains polynômes, tu ne peux pas les donner, parce que c'est compliqué, ou parce que les polynômes proposés ne respectent pas les critères qu'il faudrait. Ok , admettons.

Tu ne veux pas donner la démonstration ici, soit, je peux le comprendre.

Mais il y a un truc simple que tu peux faire, et qui va convaincre tout le monde.
Tu prends un polynôme de ton choix. Et tu donnes les différentes décompositions pour ce polynôme. Un seul exemple, ça suffit.
Et là, tu vas avoir tout le monde à tes pieds et prêt à t'aider.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
@Pablo : on va faire simple. Ou bien tu nous donnes un exemple de décomposition non unique, ou bien tu reconnais que tu as fait une erreur, ou bien je te bannis à nouveau du forum pour les nombreuses discussions stériles et pertes de temps que tu causes.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Iourran,

demander à Pablo d'être cohérent, c'est demander à la pluie de ne pas mouiller. Ça fait plus de 10 ans qu'il pose des questions sur des maths élémentaires tout en prétendant résoudre la conjecture de Hodge, un des "problèmes du millénaire", qu'il donne des corrections à des questionneurs lycéens qui sont fausses tout en prétendant que ses calculs sont toujours justes, qu'il prétend avoir trouvé des preuves sûres de propriétés contredisant les mathématiques connues (comme ici) sans jamais exhiber sa preuve, ni même un exemple, ...
Pablo est incohérent, il ne fait pas des mathématiques, il rêve qu'il en fait, et vient ensuite ici pour se faire mousser et se fait rejeter.

Cordialement.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
avatar
Citation
Poirot
... on va faire simple. Ou bien tu nous donnes un exemple de décomposition non unique, ou bien tu reconnais que tu as fait une erreur, ou bien je te bannis à nouveau du forum pour les nombreuses discussions stériles et pertes de temps que tu causes.

@Poirot :
S'il te plaît, il n'y'a pas raison de me bannir juste pour avoir eu l'envie de venir divulguer une nouvelle sur ce forum. Je n'ai pas violé les principes de la charte. Il me semble, qu'il serait judicieux de nous tolérer un minimum le droit de nous exprimer et de respirer tant que cela ne viole pas les principes de la charte ou ne porte aucune une agression verbale envers quelqu'un.

@Poirot , @Lourran :
Le calcul à la main me fatigue et m'ennuie complètement. Pour ce genre de calcul portant sur ma méthode, il faut un logiciel de calcul. Le calcul à la main est trop long. ça me tue de penser à commencer à faire le calcul à la main. c'est trop ennuyeux.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Comment sais-tu si ton calcul donne plusieurs décompositions si tu ne l'as pas fait ?
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
avatar
@Poirot :
On part de l'équation $ a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_0 = 0 $ qui se factorise à titre d'exemple, sous la forme $ a_5 (x+ b_0 ) (x+b_1) \dots (x+b_4 ) $ qu'on réduit ensuite, pour obtenir une équation de degré $ 3 $ de la forme $ c_3 x^3 + ... + c_1 x + c_0 = c_3 (x+ b_0 ) (x+d_1) (x+d_2 ) $. ( Théoriquement, il y'a un facteur $ (x + b_0 ) $ en commun entre l'équation de départ et l'équation d'arrivée ... Je n'expliquerai pas pourquoi sinon, la méthode sera dévoilé complètement ).
Alors, quant je résous concrètement $ c_3 x^3 + ... + c_1 x + c_0 = ( x + e_1 ) ( x+ e_2 ) ( x + e_3 ) $ il y'a trois facteurs possibles pour $ (x + b_0 ) $ qui est le facteur en commun entre l'équation de départ et l'équation réduite : ce sont : $ ( x + e_1 ) $ ou bien $ ( x + e_2 ) $ ou bien $ ( x + e_1 ) $. Or l’équation de départ, n'est pas divisible par l'équation d'arrivée quant je fais la division euclidienne ( ou bien a un seul facteur en commun par l'algorithme d'Euclide ), d'où il existe trois décompositions distinctes pour le polynôme de départ. smiling smiley



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Pablo_de_retour.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
C'est absolument grotesque.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
avatar
Qu'est ce qui est absolument grotesque ?
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
avatar
Pourquoi tu ne réponds pas Math Coss ?
AD
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
avatar
Citation
Pablo
Or l’équation de départ, n'est pas divisible par l'équation d'arrivée quant je fais la division euclidienne

C'est donc que tu as fait une erreur de calcul dans ton processus ou que ton processus ne fait pas ce que tu crois qu'il fait.
AD
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
avatar
@AD :
J'ai corrigé le passage. J'ai ajouté une phrase, mais ça revient au meme : Si l'équation de départ n'est pas divisible par l'équation réduite, c'est que on n'aura pas : $ a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_5 = b_0 (x+e_1) (x+e_2) (x+e_3) (x+b_4)(x+b_5) $, mais, on aura par exemple : $ a_5 x^5 + \dots + a_1 x + a_5 = b_0 ' (x+e_1) (x+b_2) (x+b_3) (x+b_4)(x+b_5) = (x+b_1 ') (x+e_2) (x+e_3) (x+b_4 ')(x+b_5 ') $, d'où deux décompositions distinctes ( pour ce cas ... )



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Pablo_de_retour.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Cela ne tient pas debout parce que :
  • l'expression « qu'on réduit ensuite, pour obtenir une équation de degré 3 » n'a pas de sens en elle-même : de quelle réduction s'agit-il ? De la fameuse méthode-de-Pablo qui invalide la théorie de Galois ?
  • on a deux façons d'écrire cette équation réduite $c_3(x+b_0)(x+d_1)(x+d_2)=c_3(x+e_1)(x+e_2)(x+e_3)$ (au passage, en résolvant concrètement, tu as perdu le coefficient dominant $c_3$) ; est-ce à dire que cette équation de degré $3$ possède six solutions ? Non, tu n'es pas en train de soutenir cette idée ridicule, n'est-ce pas ? Alors, c'est que les deux ensembles $\{b_0,d_1,d_2\}$ et $\{e_1,e_2,e_3\}$ coïncident et que ces deux factorisations sont identiques à l'ordre des facteurs près.
C'est inepte (absurde, incohérent, insensé).
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
@Pablo


C'est la méthode de la Corrida n'est ce pas ?
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
avatar
J'ai oublié de préciser que le passage de l'équation de départ à l'équation réduite se fait par équivalence ( i.e : $ \Longleftrightarrow $ ) et non pas seulement par implication ( i.e : $ \Longrightarrow $ ) ou implication inverse ( i.e : $ \Longleftarrow $ ). smiling smiley

@Ait Joseph :
Tu as beaucoup de sens d'humour. smiling smiley
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Oui tu parcours le terrain dans tous les sens.
Re: Factorialité dans $ \mathbb{C} [X] $.
l’an passé
Une équation de degré cinq équivalente à une équation de degré trois. Ben voyons.

@AitJoseph : je ne vois pas où tu trouves le moindre sens dans ce qu'écrit Pablo.
Désolé,vous ne pouvez pas répondre à cette discussion, elle est fermée.
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