Une suite de 0 et de 1
Bonjour
Posons, pour $n\in N^*,$ $u_n=-(4n^2)! \pmod {4n^2+1}$
Cette suite ne prend que deux valeurs $0$ et $1$.
On a l’équivalence entre :
(1) il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers de la forme $m^2+1$
(2) $\displaystyle \sum_{n>0} u_n$ est finie.
Les premières valeurs de $u_n$ sont :
Posons, pour $n\in N^*,$ $u_n=-(4n^2)! \pmod {4n^2+1}$
Cette suite ne prend que deux valeurs $0$ et $1$.
On a l’équivalence entre :
(1) il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers de la forme $m^2+1$
(2) $\displaystyle \sum_{n>0} u_n$ est finie.
Les premières valeurs de $u_n$ sont :
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Réponses
$n\ge 5$ divise $(n-1)!$ ssi $n$ n'est pas premier
(si $n=uv, u<v<n,\gcd(u,v)=1$ alors $u,v$ divisent $v!$ donc $(n-1)!$, le seul cas où on ne peut pas décomposer $n$ comme ça c'est quand $n=p^k$ et il est facile de voir que $p^k,k \ge 3$ ou $k \ge 2,p \ge 3$ divise $(p^k-1)!$)
Si $p$ est premier alors $(p-1)! \equiv -1 \bmod p!$ (grouper $a$ et $a^{-1}$ ensemble, les seuls qui ne se regroupent pas sont $1$ et $-1$)
Il n'y a pas grand chose d'autre à dire à ton post.