Division infinie des nb premiers & composés
Bonjour à tous,
Question mathématique du jour:
Quel résultat pour la division des nb premiers P1/P2/P3... et des nombres composés C1/C2/C3... avec des factorielles
Soit, en plus l'infini:
C1! C2! C3! C4! ...
P1! P2! P3! P4! ....
Pour chaque nb premier, il existe un composé supérieur (Euclide). Pour chaque composé, il existe un nb premier supérieur (démontrable?).
a divise b et b divise a donc a = b donc la division serait égale à 1
Des idées ou des concepts pour résoudre cette forme indéterminée?
Merci d'avance
Question mathématique du jour:
Quel résultat pour la division des nb premiers P1/P2/P3... et des nombres composés C1/C2/C3... avec des factorielles
Soit, en plus l'infini:
C1! C2! C3! C4! ...
P1! P2! P3! P4! ....
Pour chaque nb premier, il existe un composé supérieur (Euclide). Pour chaque composé, il existe un nb premier supérieur (démontrable?).
a divise b et b divise a donc a = b donc la division serait égale à 1
Des idées ou des concepts pour résoudre cette forme indéterminée?
Merci d'avance
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Celle qu'il a à peu près définie converge vers $0$.
Je pensais également qu'elle divergeait au début mais plus j'y réfléchis plus je pense qu'on ne peut pas dire qu'elle converge ou diverge (comme la limite du sinus) car chaque terme s'annulant à tour de rôle.
P1! P2! P3! P4! ....
C1! C2! C3! C4! ...
[large] [/large]
(compare avec ta question de départ..)
$\lim_{k \to\infty} \frac{k}{p_k}=0$ implique $\lim_{k \to\infty} \frac{c_k}{p_k}=0$ donc $\lim_{k \to\infty} \frac{c_k!}{p_k!}=0$ et $\lim_{k \to\infty} \prod_{k=1}^n\frac{c_k!}{p_k!}=0$.
Calculons le 10ème terme : environ $10^{-28}$ ; le 13ème terme : $10^{-95}$
Autrement dit : elle converge très vite vers 0. CA ne démontre rien, mais si on admet certains résultats 'connus' sur la répartition des nombres premiers, la démonstration vient vite.
C'est là où le bât blesse.
Je souhaitais savoir comment exprimer le produit infini des sommes de 2 nb premiers:
Produit de la somme de 2 nb premiers
Avec le paradoxe de l'hotel de Hilbert, on pouvait supposer qu'il y avait autant de nb premiers que de nombres composés et ce qui permettait une simplification. Mais, comme vu l'avez souligné, ca serait raccourcir le problème.
Merci à tous.
Si $n\geq 2$, il y a exactement $P_{n+1}-P_n-1$ nombres composés dans l'ensemble $\{P_n+1,P_n+2,...,P_{n+1}-1\}$
Tu prends tous les nombres premiers (une infinité donc) . Tu prends toutes les sommes 2 à 2 (donc une infinité de valeurs). Et tu fais le produit de tout ça. Et tu veux une formule qui te donne le résultat de façon simple ? Le résultat est +infini.
Je ne sais pas d'où vient le document que tu as posté... mais c'est du charabia sans intérêt.
Lourrran, peut-être devrais-tu changer de champs d'étude si une réponse du type "+infini" te suffit? Les sommes des pairs et des impairs sont à priori égales à +infini mais sont-elles égales entre elles?
La question est-elle que le raisonnement dans le document posté est-il cohérent et si non, d'où vient l'anomalie?
Une série de formules cabalistiques ne constitue pas un raisonnement, et n'est pas un texte mathématique.
petite remarque de forme : n! a une signification précise en maths. Si ce n'est pas cette signification, il ne faut pas l'utiliser, ça devient incompréhensible.
Si tu veux jouer au football, tu appliques les règles du foot; si tu veux faire des maths, tu appliques les règles des maths.
Le raisonnement est le suivant: quand n tend vers +infini
Etape 1) n! = 1x2x3x4x5x6.... récrivons cette notation en fonction des nb premiers Pk et composés Ck
n! = P1xP2xP3xC1xP4xC2 ... (P1 = 1 même si 1 non premier mais évitons le débat ici svp)
Etape 2) Si on cherche a réécrire cette expression selon Pa, pour a entier naturel, on a:
n! = Pa! (Pa+C1) (Pa+C2) (Pa+C3) ... (Pa+P1) (Pa+P2) (Pa+P3) ...
exemple: si Pa = 5
n! = 5! (5+4)(5+6)(5+8).... (5+1)(5+2)(5+3)(5+5) ...
= 1x2x3x4x5x9x11x13...x6x7x8x10 ...
Il s'agit d'une simple façon de récrire la factorielle n! quand n tend vers +infini. A priori rien de compliqué ici.
Notons que cela fonctionne aussi pour réécrire cette expression selon Ca
n! = Ca! (Ca+C1) (Ca+C2) (Ca+C3) ... (Ca+P1) (Ca+P2) (Ca+P3) ...
Etape 3) Il faut maintenant grouper toutes façons d'écrire n! selon un nb premier et grouper toutes les façons d'écrire n! selon un nb composé:
Appelons ca le groupe A: (pour tous les nb premiers)
n! = P1! (P1+C1) (P1+C2) (P1+C3) ... (P1+P1) (P1+P2) (P1+P3) ...
n! = P2! (P2+C1) (P2+C2) (P2+C3) ... (P2+P1) (P2+P2) (P2+P3) ...
n! = P3! (P3+C1) (P3+C2) (P3+C3) ... (P3+P1) (P3+P2) (P3+P3) ...
...
Appelons l'autre le groupe B: (pour tous les nb composés)
n! = C1! (C1+C1) (C1+C2) (C1+C3) ... (C1+P1) (C1+P2) (C1+P3) ...
n! = C2! (C2+C1) (C2+C2) (C2+C3) ... (C2+P1) (C2+P2) (C2+P3) ...
n! = C3! (C3+C1) (C3+C2) (C3+C3) ... (C3+P1) (C3+P2) (C3+P3) ...
...
On voit que le groupe A et B ont une partie en commun.
Etape 4) Le but de l'exercice est d'exprimer le produit des sommes de 2 nb premiers (partie droite du groupe A)
Si on divise le groupe A par le groupe B, il reste:
P1! P2! P3! .... (P1+P1) (P1+P2) (P1+P3)... (P2+P1) (P2+P2) (P2+P3) ... (P3+P1) (P3+P2) (P3+P3) ...
C1! C2! C3! ... (C1+C1) (C1+C2) (C1+C3) ... (C2+C1) (C2+C2) (C2+C3)... (C3+C1) (C3+C2) (C3+C3) ...
Ceci étant égal à n! puissance (nb de nb premier (cardinal des nb premiers)) / n! puissance (nb de nb composés(cardinal des nb composés))
Etape 5) Isoler le produit des sommes de 2 nb premiers (partie droite du groupe A) pour obtenir le résultat dans le document plus haut
Pour ceux qui veulent remplacer les notations par les chiffres correspondant, c'est relativement simple mais demande un peu de temps.
En espérant avoir été plus clair pour les littéraires.
Et tout le talent de FdP est là, cette information est considérée comme une découverte très utile
Ceci dit, venant d'une personne qui considérait que la 1ère suite divergeait, ou qu'elle alternait, après avoir longtemps étudié cette suite, on peut s'attendre à tout.
Pourquoi cette discussion est-elle encore dans la section arithmétique, et pas dans la section shtam ?
Sit n un entier , on prend les n premiers nombres premiers P1 ..Pn , les n premiers nombres composés C1... Cn, et on s'intéresse au rapport : $\frac {C_1!*C_2! * ... *C_n!}{P_1!*P_2! * ... *P_n!}$
Non... contresens, on n'a pas compris la question (... parce qu'elle était mal rédigée) ; ce qu'il fallait comprendre, c'était :
On prend un nombre n ; on prend les p nombres premiers inférieurs à n, les q nombres composés inférieurs à n, et on s'intéresse au rapport :
$\frac {C_1!*C_2! * ... *C_q!}{P_1!*P_2! * ... *P_p!}$
Nouvelle preuve que, quand un individu n'arrive pas à s'exprimer clairement suite à de graves lacunes, c'est impossible de dialoguer avec lui.
Je considère que $1$ n'est ni premier, ni composé.
On a, $C_1=4,C_2=6,C_3=8,C_4=9$
@ Bflitz : J'ai à peu près compris ton histoire de somme, mais si c'est pour lever le doute sur ta suite, c'est parfaitement inutile.
Mes excuses pour le manque de clarté.
@Fin de partie, oui c'est exactement ça. Même chose pour les nb premiers.
Egalement d'accord pour 1 ni composé ni premier mais obligé de l'intégrer quelque part.
@Nodgim, le vrai problème est l'étape 4 plus haut.
Combien il y a-t-il d'élements (de lignes plutôt) dans le groupe A? et dans le groupe B?
Groupe A autant que de nb premiers
Groupe B autant que de nb composés
La division du groupe A sur B = n!^card(A) / n!^card(B) pourrait donner 1 s'il y avait autant de nb premiers que de composés mais ca semble contre-intuitif. Dans l'hypothèse sordide où ce serait le cas ca simplifierait vraiment la division.