Division infinie des nb premiers & composés

bflitz
bflitz
dans Shtam
Bonjour à tous,

Question mathématique du jour:

Quel résultat pour la division des nb premiers P1/P2/P3... et des nombres composés C1/C2/C3... avec des factorielles :)

Soit, en plus l'infini:

C1! C2! C3! C4! ...
P1! P2! P3! P4! ....


Pour chaque nb premier, il existe un composé supérieur (Euclide). Pour chaque composé, il existe un nb premier supérieur (démontrable?).

a divise b et b divise a donc a = b donc la division serait égale à 1 :/

Des idées ou des concepts pour résoudre cette forme indéterminée?

Merci d'avance

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    L'indétermination atteint des niveaux tels qu'il faudra peut-être plusieurs générations pour les lever.
  • reuns
    reuns
    Il semble que bflitz n'a pas compris ce qu'est un produit infini et une limite.

    Celle qu'il a à peu près définie converge vers $0$.
  • bflitz
    bflitz
    Produit infini ou limite... subtilité de langage, pas vraiment la question ici.

    Je pensais également qu'elle divergeait au début mais plus j'y réfléchis plus je pense qu'on ne peut pas dire qu'elle converge ou diverge (comme la limite du sinus) car chaque terme s'annulant à tour de rôle.
  • reuns
    reuns
    Si c'est exactement la question. Définis ta suite. Note que $\lim_{N \to \infty} \frac{(2N)!}{N!}=\infty$ diverge même si $(2N)!$ divise $M!$ pour $M\ge 2N$.
  • bflitz
    bflitz
    (2N)!/N!= (N+1)(N+2)(N+3)... (2N) diverge effectivement car 1) tous les termes de N sont inclus dans 2N et car 2) il existe des termes supérieurs à N dans 2N.
  • reuns
    reuns
    Donc quelle est ta suite ?
  • bflitz
    bflitz
    Donc l'inverse devrait converger vers 0?

    P1! P2! P3! P4! ....
    C1! C2! C3! C4! ...
  • reuns
    reuns
    Tu sais définir une suite ? Par exemple

    [large]
    $u_n = \prod_{k=1}^n \frac{p_k!}{c_k!}$ où $p_k$ est le $k$-ème nombre premier et $c_k$ le $k$-ème nombre composé.
    [/large]

    (compare avec ta question de départ..)

    $\lim_{k \to\infty} \frac{k}{p_k}=0$ implique $\lim_{k \to\infty} \frac{c_k}{p_k}=0$ donc $\lim_{k \to\infty} \frac{c_k!}{p_k!}=0$ et $\lim_{k \to\infty} \prod_{k=1}^n\frac{c_k!}{p_k!}=0$.
  • lourrran
    lourrran
    Je pense que si on consacre plus de 3mn de recherche sur cette suite, on arrive à conclure qu'elle converge vers 0
    Calculons le 10ème terme : environ $10^{-28}$ ; le 13ème terme : $10^{-95}$
    Autrement dit : elle converge très vite vers 0. CA ne démontre rien, mais si on admet certains résultats 'connus' sur la répartition des nombres premiers, la démonstration vient vite.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Poirot
    Poirot
    lourrran a écrit:
    si on consacre plus de 3mn de recherche sur cette suite

    C'est là où le bât blesse.
  • bflitz
    bflitz
    Pas de soucis... tous les avis sont les bienvenus. Si vous avez encore 3 minutes pour me donner votre avis.

    Je souhaitais savoir comment exprimer le produit infini des sommes de 2 nb premiers:

    Produit de la somme de 2 nb premiers

    Avec le paradoxe de l'hotel de Hilbert, on pouvait supposer qu'il y avait autant de nb premiers que de nombres composés et ce qui permettait une simplification. Mais, comme vu l'avez souligné, ca serait raccourcir le problème.

    Merci à tous.
  • bflitz
    bflitz
    Plus personne?
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Une remarque: Si $P_n$ désigne le $n$-ème nombre premier,

    Si $n\geq 2$, il y a exactement $P_{n+1}-P_n-1$ nombres composés dans l'ensemble $\{P_n+1,P_n+2,...,P_{n+1}-1\}$
  • lourrran
    lourrran
    Quelle est la question ?
    Tu prends tous les nombres premiers (une infinité donc) . Tu prends toutes les sommes 2 à 2 (donc une infinité de valeurs). Et tu fais le produit de tout ça. Et tu veux une formule qui te donne le résultat de façon simple ? Le résultat est +infini.

    Je ne sais pas d'où vient le document que tu as posté... mais c'est du charabia sans intérêt.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bflitz
    bflitz
    Fin de Partie: je confirme. Merci. Très intéressante formule pour étudier les nb premiers & composés.

    Lourrran, peut-être devrais-tu changer de champs d'étude si une réponse du type "+infini" te suffit? Les sommes des pairs et des impairs sont à priori égales à +infini mais sont-elles égales entre elles?

    La question est-elle que le raisonnement dans le document posté est-il cohérent et si non, d'où vient l'anomalie?
  • gerard0
    gerard0
    Dans le document, il n'y a aucun raisonnement. Donc la question de la cohérence ou d'une anomalie ne se pose pas.

    Une série de formules cabalistiques ne constitue pas un raisonnement, et n'est pas un texte mathématique.

    petite remarque de forme : n! a une signification précise en maths. Si ce n'est pas cette signification, il ne faut pas l'utiliser, ça devient incompréhensible.
    Si tu veux jouer au football, tu appliques les règles du foot; si tu veux faire des maths, tu appliques les règles des maths.
  • bflitz
    bflitz
    Je ne pensais pas être sur un forum de littérature... mais pour les moins mathématiciens une explication peut effectivement aider. Désolé pour ceux qui n'aiment pas lire, j'essaye de faire au plus lisible. Le symbole ! désignant effectivement la factorielle.

    Le raisonnement est le suivant: quand n tend vers +infini
    Etape 1) n! = 1x2x3x4x5x6.... récrivons cette notation en fonction des nb premiers Pk et composés Ck

    n! = P1xP2xP3xC1xP4xC2 ... (P1 = 1 même si 1 non premier mais évitons le débat ici svp)

    Etape 2) Si on cherche a réécrire cette expression selon Pa, pour a entier naturel, on a:
    n! = Pa! (Pa+C1) (Pa+C2) (Pa+C3) ... (Pa+P1) (Pa+P2) (Pa+P3) ...

    exemple: si Pa = 5
    n! = 5! (5+4)(5+6)(5+8).... (5+1)(5+2)(5+3)(5+5) ...
    = 1x2x3x4x5x9x11x13...x6x7x8x10 ...
    Il s'agit d'une simple façon de récrire la factorielle n! quand n tend vers +infini. A priori rien de compliqué ici.

    Notons que cela fonctionne aussi pour réécrire cette expression selon Ca
    n! = Ca! (Ca+C1) (Ca+C2) (Ca+C3) ... (Ca+P1) (Ca+P2) (Ca+P3) ...

    Etape 3) Il faut maintenant grouper toutes façons d'écrire n! selon un nb premier et grouper toutes les façons d'écrire n! selon un nb composé:

    Appelons ca le groupe A: (pour tous les nb premiers)
    n! = P1! (P1+C1) (P1+C2) (P1+C3) ... (P1+P1) (P1+P2) (P1+P3) ...
    n! = P2! (P2+C1) (P2+C2) (P2+C3) ... (P2+P1) (P2+P2) (P2+P3) ...
    n! = P3! (P3+C1) (P3+C2) (P3+C3) ... (P3+P1) (P3+P2) (P3+P3) ...
    ...

    Appelons l'autre le groupe B: (pour tous les nb composés)
    n! = C1! (C1+C1) (C1+C2) (C1+C3) ... (C1+P1) (C1+P2) (C1+P3) ...
    n! = C2! (C2+C1) (C2+C2) (C2+C3) ... (C2+P1) (C2+P2) (C2+P3) ...
    n! = C3! (C3+C1) (C3+C2) (C3+C3) ... (C3+P1) (C3+P2) (C3+P3) ...
    ...

    On voit que le groupe A et B ont une partie en commun.

    Etape 4) Le but de l'exercice est d'exprimer le produit des sommes de 2 nb premiers (partie droite du groupe A)
    Si on divise le groupe A par le groupe B, il reste:

    P1! P2! P3! .... (P1+P1) (P1+P2) (P1+P3)... (P2+P1) (P2+P2) (P2+P3) ... (P3+P1) (P3+P2) (P3+P3) ...
    C1! C2! C3! ... (C1+C1) (C1+C2) (C1+C3) ... (C2+C1) (C2+C2) (C2+C3)... (C3+C1) (C3+C2) (C3+C3) ...

    Ceci étant égal à n! puissance (nb de nb premier (cardinal des nb premiers)) / n! puissance (nb de nb composés(cardinal des nb composés))

    Etape 5) Isoler le produit des sommes de 2 nb premiers (partie droite du groupe A) pour obtenir le résultat dans le document plus haut

    Pour ceux qui veulent remplacer les notations par les chiffres correspondant, c'est relativement simple mais demande un peu de temps.
    En espérant avoir été plus clair pour les littéraires.
  • lourrran
    lourrran
    FdP, avec son sens de l'humour bien connu, nous dit en substance : si A est un nombre premier, et si B est le pus petit nombre premier suivant A, alors tous les nombres entre A et B sont des nombres composés.
    Et tout le talent de FdP est là, cette information est considérée comme une découverte très utile :)

    Ceci dit, venant d'une personne qui considérait que la 1ère suite divergeait, ou qu'elle alternait, après avoir longtemps étudié cette suite, on peut s'attendre à tout.

    Pourquoi cette discussion est-elle encore dans la section arithmétique, et pas dans la section shtam ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • claude quitté
    claude quitté
    Moi pareil : direction Shtam, faut arrêter les c.nneries.
  • bflitz
    bflitz
    C'est pas faute d'avoir essayer d'expliquer...
  • lourrran
    lourrran
    En lisant le premier message, on a tous cru que la question était :
    Sit n un entier , on prend les n premiers nombres premiers P1 ..Pn , les n premiers nombres composés C1... Cn, et on s'intéresse au rapport : $\frac {C_1!*C_2! * ... *C_n!}{P_1!*P_2! * ... *P_n!}$
    Non... contresens, on n'a pas compris la question (... parce qu'elle était mal rédigée) ; ce qu'il fallait comprendre, c'était :
    On prend un nombre n ; on prend les p nombres premiers inférieurs à n, les q nombres composés inférieurs à n, et on s'intéresse au rapport :
    $\frac {C_1!*C_2! * ... *C_q!}{P_1!*P_2! * ... *P_p!}$

    Nouvelle preuve que, quand un individu n'arrive pas à s'exprimer clairement suite à de graves lacunes, c'est impossible de dialoguer avec lui.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Fin de partie
    Fin de partie
    J'imagine que dans le premier message on a $C_n$: $n$-ième nombre composé et $P_n$: $n$-ième nombre premier composé.
    Je considère que $1$ n'est ni premier, ni composé.
    On a, $C_1=4,C_2=6,C_3=8,C_4=9$
  • nodgim
    nodgim
    Quelle que soit l'une ou l'autre des 2 interprétations présentées, il n'y a pas de suspense pour la réponse.

    @ Bflitz : J'ai à peu près compris ton histoire de somme, mais si c'est pour lever le doute sur ta suite, c'est parfaitement inutile.
  • bflitz
    bflitz
    @Lourrran, Oui tu as compris l'idée. Mais vos réponses étaient bonnes. Quand p et q tendent vers l'infini. La division tend forcément vers l'infini car il y a plus de nombres composés que premiers.
    Mes excuses pour le manque de clarté.

    @Fin de partie, oui c'est exactement ça. Même chose pour les nb premiers.
    Egalement d'accord pour 1 ni composé ni premier mais obligé de l'intégrer quelque part.

    @Nodgim, le vrai problème est l'étape 4 plus haut.
    Combien il y a-t-il d'élements (de lignes plutôt) dans le groupe A? et dans le groupe B?
    Groupe A autant que de nb premiers
    Groupe B autant que de nb composés

    La division du groupe A sur B = n!^card(A) / n!^card(B) pourrait donner 1 s'il y avait autant de nb premiers que de composés mais ca semble contre-intuitif. Dans l'hypothèse sordide où ce serait le cas ca simplifierait vraiment la division.
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