Bonjour,
Si on réussit à démontrer que, hormis le cycle trivial 1, 4, 2, 1, la suite de Syracuse n'admet pas de cycle non trivial. Est-ce suffisant pour affirmer que la suite est convergente ?
Les références d'ouvrages et/ou articles justifiant votre réponse sont souhaitées.
Réponses
Non. La suite peut monter à l'infini.
La conjecture est : "toutes les suites de Syracuse cyclent avec 1,4,2".
Cette conjecture peut-être niée de plusieurs manières.
Première manière : il existe une suite de Syracuse qui ne cycle pas.
Deuxième manière : il existe une suite de Syracuse qui cycle autrement que 1,4,2.
Pour ma part, si la suite est convergente (au sens usuel des suites), alors elle cycle $\ell, \ell, \ell, \ell, ...$.
Ce qui est impossible par définition de la suite elle-même.
Par contre elle pourrait très bien ne pas cycler et alors il me semble qu'on en déduirait qu'elle est non bornée.
Car si elle est bornée, alors elle cycle puisque les entiers atteints sont en nombre fini.
Edit : monter à l'infini, hum... je voyais ce cas exclu, il ne faudrait que des termes impairs.
Je me dis qu'on doit pouvoir démontrer que c'est impossible (sans y avoir beaucoup réfléchi).
Par ailleurs, en utilisant les propriétés des éléments quotients du groupe modulaire, on démontre que le nombre d’élément de tout cycle non trivial du processus généralisé de Collatz est borné. Et on en déduit que dans le cas "3x+1", le processus n'admet pas de cycle non trivial.
Aussi, en consultant le site : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Syracus4.htm, j'ai lu les énoncés équivalents suivants.
Conjectures équivalentes
- Toutes les trajectoires formées par la transformation de Collatz finit par atteindre 1. Si ce n'était pas le cas n serait supérieur à 5.1018.
- Le vol se termine toujours par 1 ;
- Les trajectoires de Collatz ne comportent qu'un seul cycle : 1, 4, 2, 1. S'il existait un autre cycle on sait que sa longueur serait supérieure à 17 milliards
- Les trajectoires de Collatz ne sont jamais divergentes.
- Tout nombre > 4 a une durée de vol en altitude finie ;
- La durée de tout vol est finie ;
- Tout vol a un nombre fini d'étapes paires ;
- Tout vol a un nombre fini d'étapes paires en altitude ;
- Tout vol a un nombre fini d'étapes impaires ;
- Tout vol a un nombre fini d'étapes impaires en altitude.
Et donc, j'ai pensé qu'en démontrant un seul des énoncé ci-dessus, par exemple le troisième, c'était équivalent à démontrer que la suite converge. C'est de là que vient l'idée de mon post.Et ma question c'est : si on démontre qu'à part le cycle trivial 1, 4, 2, 1, les trajectoires n'admettent pas un autre cycle non trivial. Alors partant de là, peut-on conclure que la suite est convergente ?
Non, Je ne pense pas que la quatrième propriété soit équivalentes aux autres .
https://images.math.cnrs.fr/Le-probleme-3n-1-elementaire-mais-redoutable-I
Théorème. La transformation de Collatz n’admet, sur les entiers positifs, aucun cycle de longueur comprise entre 4 et 17.000.000.000.
Et la démonstration est considérée comme un résultat partiel parce qu'elle se base, entre autres, sur les vérifications faites par les calculs par ordinateurs jusqu'à 5.1018.
Maintenant, si on prouve de manière rigoureuse que ce théorème est valable pour quelle que soit la valeur de l'entier naturel non nul N, en d'autres termes, si on prouve que sur l'ensemble des entiers positifs, le processus de Collatz n'admet pas un autre cycle non trivial à part le cycle cycle trivial 1, 4, 2, 1, est-ce que la conjecture serait ainsi démontrée ?
Si j'arrive à démontrer un truc sur lequels les meilleurs spécialistes du monde ont planté, est-ce que j'aurais prouvé la conjecture.
Réponse :
On a 2 ensembles :
X = l'ensemble des entiers pour lesquels on arrive à un cycle autre que le cycle 1,4,2
Y = l'ensemble des entiers pour lesquels on a des nombres de plus en plus grands
La conjecture dit que ces 2 ensembles sont vides.
Si tu arrives à prouver que l'ensemble X est vide, il restera à prouver que Y est également vide, pour prouver la conjecture.
C'est un raisonnement très simple, 99% des gens sont capables de tenir ce raisonnement.
Mais, si tu arrives à prouver que l'ensemble X est vide, sans prouver que l'ensemble Y est vide, certes, tu n'auras pas démontré la conjecture de Syracuse, mais ton nom restera dans l'histoire, et tu seras célèbre.
Tu seras celui qui a prouvé une des 2 parties de la conjecture de Syracuse. C'est énorme. Surtout de la part d'une personne qui a des difficultés sur des raisonnements très basiques.
Ok. Cette explication décrit bien le contour du problème et fournit assez d'éléments de réponses à ma question. Merci.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
vous trouverez une démonstration de la conjecture de Collatz, problème 3x+1 mais également de sa version généralisée, problème 3x+d ainsi que de la conjecture encore un peu plus générale de Kakutani sur HAL archives ouvertes référence hal-02334184.
Bonne lecture.
Un lien peut-être ?
Je suis à la disposition de tous pour en discuter.
Cordialement.
Il faut qu’il soit au moins mis en lien.
+1
Cordialement,
Rescassol
[Pierre de Fermat (1601-1665) prend toujours une majuscule. AD]
N’as-tu pas un pdf à toi que tu peux poster ici, sans attendre je ne sais qui ?
Si tu as peur que quelqu’un pique tes travaux et que tu es plus sûr uniquement si le site le met en ligne, dis-le clairement.
Je comprendrais (même si d’autres te diront que tu ne risques rien, moi je « comprends » puisque je n’y connais rien en ces démarches et « instances »).
Sinon je ne vois pas pourquoi il faut attendre un maître Internet.
Je ne connais pas le mode de fonctionnement, mais soit il y a un système de validation 'fiable' , et donc la conjecture a déjà été démontrée, et une nouvelle démonstration n'aurait qu'un intérêt tout relatif.
Soit il n'y a pas de système de validation fiable, et donc pourquoi attendre cette validation bidon.
Soient p1, ..., pn-1 les n-1 premiers nombres premiers et pn le n-ieme, la suite définie ci-dessous repasse au bout d'un certain nombre d'iterations par 1.
Un+1 = Un/pi si Un congru 0 module pi, i<n
Un+1 = pn × Un + 1 sinon
La conjecture de Collatz est un cas particulier avec pn=p2=3 et p1=2.
Je ne te juge pas, je suis curieux.
Et bien je vais patienter sans problème.
Réveille-nous et pose le pdf s’il est « validé par qui tu veux ».
Je ferme cette discussion qui ne peut se poursuivre.
AD
vous trouverez des démonstrations des conjectures de Collatz et Kakutani dans HAL archives ouvertes à la référence : hal-02336166. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02336166
Toute remarques et critiques tant sur le fond que sur la forme sont les bienvenues.
Bonne lecture à ceux que ça intéresse.
Lionel
De plus, il n'y a rien sur l'impossibilité d'un autre cycle.
Tu as une première démonstration (en gros le premier tiers du document).
Puis tu as une démonstration alternative.
Si je m'intéresse uniquement à la conjecture de Collatz, est-ce que la première partie est une démonstration suffisante ?
Comment doit-on interpréter ce découpage en 2 démonstrations différentes ? Tu aurais donc 2 démonstrations, c'est ça ?
Et comment interpréter cette phrase :
Par passage à la limite, quand k tend vers l’infini, la proportion de cas ou la conjecture de Collatz est démontrée dans une décomposition des nombres entiers sous la forme 2km+ a tend vers 1.
En fait, tu dis que s'il y a des contre-exemples, il y en a très peu, et ils correspondent tous à des valeurs de $n$ très grandes, c'est ça ?
Mais dans ce cas, ce que tu dis, c'est : 'On conjecture que ... , on a vraiment l'impression que ' .
Est-ce que la démonstration alternative va se finir de la même façon ? Ou c'est une vraie démonstration ?
Mais dans ce cas, si la démonstation alternative est correcte et la démonstration n°1 est incomplète, pourquoi avoir inclus la démonstration bidon dans le document ?
Il semble que ton article est maintenant sur HAL. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02336166
Je ré-ouvre donc cette discussion qui va maintenant pouvoir se poursuivre.
AD
[Il faut absolument que tu répares la touche apostrophe de ton clavier ! :-D AD]
Imagine un escalier. Il y a des marches qui montent (4n+3), et des marches qui descendent(4n+1). En quoi le fait que ton escalier rencontre régulièrement des marches qui descendent prouve que ton escalier ne monte pas au ciel?
Merci d'avance.
[La remarque sur la touche apostrophe reste valable ! AD]
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1865994,1881958#msg-1881958
T(3(2k+1)) = (3.(6k+1) + 1)/2 = (18m+4)/2= 9m+2 = 3(3m)+2
3*(2k+1) = 6k+3, et non 6k+1.
Puis k devient m ...
C'est dommage, de telles coquilles.
Tu dis qu'il a été démontré il y a très longtemps que la conjecture était vérifiée pour les termes de la forme $4n+1$.
Et tu enchaînes en disant (c'est ce que je comprends, peut-être que je comprend mal) : la preuve, c'est que si $x=4n+1$ alors $T_3(x) = 3n+1$, qui est inférieur à $4n+1$. Et donc la propriété est démontrée.
La preuve que la conjecture est vérifiée pour les termes de la forme $4n+1$, c'est celle que je viens de recopier ? ou bien il y en a une autre plus solide ?
[La remarque sur la touche apostrophe reste toujours valable ! AD]
[La remarque sur la touche apostrophe reste toujours valable ! Est-ce clair ? AD]
Personne, et je dis bien personne n'a jamais démontré que des nombres de la forme 4m+1 vérifient la conjecture.
Se contenter de vérifier qu'on repasse sous sa valeur initiale c'est juste reporter la charge de la preuve sur ce nouveau nombre.
Si Oliveira ne vérifie que les 4n+3 c'est parce que si on montre/démontre pour 4n+3, ce sera automatiquement montré/démontré pour 2n ou 4n+1. Toi tu fais le contraire, ce qui pourrait aussi être valable, si tu le faisais correctement (en démontrant par exemple que 4n+1 atteint 1 et pas juste une valeur inférieure).
Oui, SI tu peux vérifier que pour TOUS (<- important) les nombres, tu repasses à des valeurs strictement (<- important aussi) inférieures, la conjecture est vérifiée. Ton problème c'est que tu mélanges des pomme et des patates, et que tu n'as absolument pas montré qu'un nombre 4n+3 repasse un jour en dessous de ce même 4n+3, à aucun moment. Dire que dans son ascension, il retombe d'une marche (sur un 4m+1) ne suffit clairement pas à montrer que l'escalier ne monte quand-même pas au ciel.
Ton raisonnement est : "Une infinité de 4n+1 passent par des 4n+3 donc il y a une infinité de suites qui montent au ciel". Tu vois bien que ça n'a aucun sens. (oui c'est ton raisonnement).
Prends la peine de vérifier ton argumentaire sur mon exemple d'escalier, de cours de bourse ou sur un cas concret (27 par exemple ?).
Je n'aime pas utiliser des phrases du style "Penses-tu sérieusement avoir résolu cette grande conjecture avec quelques lignes de mathématiques d'école primaire alors que des mathématiciens chevronnés s'y cassent les dents depuis des lustres avec des mathématiques très avancées", mais si la simplicité de la chose ne te saute toujours pas aux yeux, je ne pourrai que conclure sur cette phrase.
Peut-être qu’un tel document devrait proposer très froidement et formellement ce qu’il suppose.
C’est ce que tu dis sur les travaux déjà réalisés sur cette conjecture, mais tu le dis dans une prose et ça devient flou, ou peu crédible par manque d’une énoncé franc et « dur ». Certains lecteurs liront et se diront « là on veut m’embrouiller ».
Vois-tu ce que je dis ?
Cordialement
Dom
Édit : le message de raoul, que je n’avais pas vu, dit un peu autrement ce que je dis.
[La remarque sur la touche apostrophe reste toujours valable ! AD]