Conjecture de Syracuse

Bonsoir,

La conjecture est : "toutes les suites de Syracuse cyclent avec 1,4,2".

Cette conjecture peut-être niée de plusieurs manières.

Première manière : il existe une suite de Syracuse qui ne cycle pas.

Deuxième manière : il existe une suite de Syracuse qui cycle autrement que 1,4,2.

Pour ma part, si la suite est convergente (au sens usuel des suites), alors elle cycle $\ell, \ell, \ell, \ell, ...$.
Ce qui est impossible par définition de la suite elle-même.
Par contre elle pourrait très bien ne pas cycler et alors il me semble qu'on en déduirait qu'elle est non bornée.
Car si elle est bornée, alors elle cycle puisque les entiers atteints sont en nombre fini.

Edit : monter à l'infini, hum... je voyais ce cas exclu, il ne faudrait que des termes impairs.
Je me dis qu'on doit pouvoir démontrer que c'est impossible (sans y avoir beaucoup réfléchi).

Pour être plus explicite : Almost all Collatz orbits attain almost bounded values.

@ JR Manda


Non, Je ne pense pas que la quatrième propriété soit équivalentes aux autres .

J'adore cette question ...
Si j'arrive à démontrer un truc sur lequels les meilleurs spécialistes du monde ont planté, est-ce que j'aurais prouvé la conjecture.

Réponse :
On a 2 ensembles :
X = l'ensemble des entiers pour lesquels on arrive à un cycle autre que le cycle 1,4,2
Y = l'ensemble des entiers pour lesquels on a des nombres de plus en plus grands
La conjecture dit que ces 2 ensembles sont vides.

Si tu arrives à prouver que l'ensemble X est vide, il restera à prouver que Y est également vide, pour prouver la conjecture.
C'est un raisonnement très simple, 99% des gens sont capables de tenir ce raisonnement.

Mais, si tu arrives à prouver que l'ensemble X est vide, sans prouver que l'ensemble Y est vide, certes, tu n'auras pas démontré la conjecture de Syracuse, mais ton nom restera dans l'histoire, et tu seras célèbre.

Tu seras celui qui a prouvé une des 2 parties de la conjecture de Syracuse. C'est énorme. Surtout de la part d'une personne qui a des difficultés sur des raisonnements très basiques.

Bonjour à tous,
vous trouverez une démonstration de la conjecture de Collatz, problème 3x+1 mais également de sa version généralisée, problème 3x+d ainsi que de la conjecture encore un peu plus générale de Kakutani sur HAL archives ouvertes référence hal-02334184.
Bonne lecture.

Curieux, la page https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02334184 dit :

HAL a écrit:

Le document n'a pas été trouvé.
Le document avec l'identifiant hal-02334184 n'existe pas.

Je ne serai certainement pas d’une grande aide mais je sais que je n’irai pas chercher un document.
Il faut qu’il soit au moins mis en lien.

Il faut attendre le processus de validation mais voici la référence. Contrairement à d'autres problèmes mathématiques comme le théorème de [large]F[/large]ermat qui font appel à des notions complexes comme les courbes elliptiques et les formes modulaires, toutes les notions que j'ai utilisées dans mes travaux sont accessibles à un étudiant de 1ère année de fac de sciences. Voici la réf hal-02336166, v1. Je suis ouvert à toute discussion, remarques et critiques tant sur le fond que sur la forme.

[Pierre de Fermat (1601-1665) prend toujours une majuscule. AD]

Bon mais je ne comprends toujours pas.
N’as-tu pas un pdf à toi que tu peux poster ici, sans attendre je ne sais qui ?

Si tu as peur que quelqu’un pique tes travaux et que tu es plus sûr uniquement si le site le met en ligne, dis-le clairement.
Je comprendrais (même si d’autres te diront que tu ne risques rien, moi je « comprends » puisque je n’y connais rien en ces démarches et « instances »).
Sinon je ne vois pas pourquoi il faut attendre un maître Internet.

La démonstration sur hal est basée sur une notion de graphe connexe. La mienne est différente et permet de démontrer un cas plus général qui est le cas 3x+d avec d entier quelconque premier avec 6. De plus j'ai également prouvé la conjecture de Kakutani qui est un cas encore plus général.
Soient p₁, ..., p_n-1 les n-1 premiers nombres premiers et p_n le n-ieme, la suite définie ci-dessous repasse au bout d'un certain nombre d'iterations par 1.
U_n+1 = U_n/p_i si U_n congru 0 module p_i, i<n
U_n+1 = p_n × U_n + 1 sinon
La conjecture de Collatz est un cas particulier avec p_n=p₂=3 et p₁=2.

Des qu il sera validé sur Hal, j'espère rapidement, j'expliquerai les quelques idées principales qui m'ont permises de construire ma démonstration. Il y en a 3 assez simples. Mais désolé tant que mon doc n'a pas été validé je n'en dirai pas plus. S'il y a une erreur tant pis pour moi. Si c'est juste tu comprendras que je veuille un minimum protéger la paternité d'une démonstration pour laquelle certains mathématiciens ont consacré une vie de recherche.

lionel laurore a écrit:

Mais désolé tant que mon doc n'a pas été validé je n'en dirai pas plus.

Alors attendons cette publication.
Je ferme cette discussion qui ne peut se poursuivre.
AD

Lionel, Bien sûr que les nombres 4n+3 finissent par rencontrer un nombre 4m+1, mais tu n'as absolument pas démontré qu'un nombre 4m+1 atteint 1. Tout ce que tu as fait c'est de montrer la trivialité que Collatz appliqué à 4m+1 descend sous 4m+1. N'as tu pas compris la remarques faites à l'époque ? ($a2^n-1$ monte toujours vers $a3^n-1$ en $n$ étapes exactement, puis redescend. mais rien ne dit qu'elle ne retombe pas sur d'autres suites ascendantes qui remontent de plus belle, et rien n'empêche que cela se produise indéfiniment).
De plus, il n'y a rien sur l'impossibilité d'un autre cycle.

Bonjour Lionel
Il semble que ton article est maintenant sur HAL. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02336166
Je ré-ouvre donc cette discussion qui va maintenant pouvoir se poursuivre.
AD

Encore une fois, tu n'as montré nulle part que 4n+1 vérifie la conjecture, et le fait que 4n+3 rencontre 4n+1 est trivial.
Imagine un escalier. Il y a des marches qui montent (4n+3), et des marches qui descendent(4n+1). En quoi le fait que ton escalier rencontre régulièrement des marches qui descendent prouve que ton escalier ne monte pas au ciel?

Il faut lire attentivement ma démonstration et essayer de la comprendre au lieu d essayer de la démonter en 2 lignes. Dans une décomposition des nombres entiers sous la forme (2puissancek).n + a il n y a qu une seule valeur de a qui résiste à la démonstration par récurrence et nécessité de passer à la puissance de 2 supérieure. Mais cette démonstration vous pose problème lisez la suivante qui ne fait nullement appel à un passage à la limite et qui démontre que les suites de la forme 3m, 3m+1 et 3m+2 vérifient la conjecture. Et si vous voulez avoir une vision de synthèse complète de tous les travaux réalisés depuis 50 ans sur la conjecture de Collatz, lisez l excellent article de Luc Olivier Pochon sur le sujet.

$2^km+2^k-1$ c'est la même chose que $a2^k-1$, et je ne vois toujours pas en quoi partir ou passer par un 4n+1 prouve qu'on arrive à 1. Aurrais-tu démontré qu'une action en bourse atteint toujours 0 parce que de temps à autre elle passe par un creux?

Tres juste. Petite coquille que je vais corriger mais qui ne change pas vraiment la conclusion car cela donne (18m+10)/2 = 9m + 5 = 3(3m+1)+2 qui est bien de la forme 3K+1 avec K=3m+1. Comme on a préalablement montré que les suites de la forme 3m+2 vérifiaient la conjecture, celles de la forme 3m lz serie aussi. Mais encore merci pour votre lecture attentive. Merci pour votre contribution

Pour Collag, il a été démontré depuis longtemps que la conjecture de Collatz était vérifiée pour les nombres de la forme 4n+1. C est S(4n+1)=12n+4 qui est divisible par 4 après 2 itérations et donne 3n+1 qui est bien inférieure a 4n+1 quelque soit n. Ensuite on utilise le fait que une autre formulation de la conjecture est sue toute suite repasse au-dessous de sa valeur initiale. Ce qui permet de conclure

Euh ... là encore, ce que tu écris est très ambigu.
Tu dis qu'il a été démontré il y a très longtemps que la conjecture était vérifiée pour les termes de la forme $4n+1$.
Et tu enchaînes en disant (c'est ce que je comprends, peut-être que je comprend mal) : la preuve, c'est que si $x=4n+1$ alors $T_3(x) = 3n+1$, qui est inférieur à $4n+1$. Et donc la propriété est démontrée.

La preuve que la conjecture est vérifiée pour les termes de la forme $4n+1$, c'est celle que je viens de recopier ? ou bien il y en a une autre plus solide ?

Si tu montres quelque soit n que tous nombres de la forme 4n+1 repassent au [bout] d'un certain nombre au-dessous de leur valeur initiale alors tu démontres la conjecture. 3n+1 étant clairement au dessous de 4n+1 c'est pour cela que ça a été démontré depuis longtemps. Le cas 4n+3 étant moins trivial il a résisté pendant pas mal d'années. D'où l'objet de mon papier. Est-ce clair.

[La remarque sur la touche apostrophe reste toujours valable ! Est-ce clair ? AD]

Lionel, j'ai bien compris que ton but n'est pas de comprendre tes erreurs, mais d'essayer de convaincre, mais je t'assure que tu fais fausse route, donc voici ma dernière tentative. A toi de voir ce que tu en fais.

Personne, et je dis bien personne n'a jamais démontré que des nombres de la forme 4m+1 vérifient la conjecture.
Se contenter de vérifier qu'on repasse sous sa valeur initiale c'est juste reporter la charge de la preuve sur ce nouveau nombre.
Si Oliveira ne vérifie que les 4n+3 c'est parce que si on montre/démontre pour 4n+3, ce sera automatiquement montré/démontré pour 2n ou 4n+1. Toi tu fais le contraire, ce qui pourrait aussi être valable, si tu le faisais correctement (en démontrant par exemple que 4n+1 atteint 1 et pas juste une valeur inférieure).

Oui, SI tu peux vérifier que pour TOUS (<- important) les nombres, tu repasses à des valeurs strictement (<- important aussi) inférieures, la conjecture est vérifiée. Ton problème c'est que tu mélanges des pomme et des patates, et que tu n'as absolument pas montré qu'un nombre 4n+3 repasse un jour en dessous de ce même 4n+3, à aucun moment. Dire que dans son ascension, il retombe d'une marche (sur un 4m+1) ne suffit clairement pas à montrer que l'escalier ne monte quand-même pas au ciel.

Ton raisonnement est : "Une infinité de 4n+1 passent par des 4n+3 donc il y a une infinité de suites qui montent au ciel". Tu vois bien que ça n'a aucun sens. (oui c'est ton raisonnement).

Prends la peine de vérifier ton argumentaire sur mon exemple d'escalier, de cours de bourse ou sur un cas concret (27 par exemple ?).

Je n'aime pas utiliser des phrases du style "Penses-tu sérieusement avoir résolu cette grande conjecture avec quelques lignes de mathématiques d'école primaire alors que des mathématiciens chevronnés s'y cassent les dents depuis des lustres avec des mathématiques très avancées", mais si la simplicité de la chose ne te saute toujours pas aux yeux, je ne pourrai que conclure sur cette phrase.

@lionel laurore si j'ai bien compris tu dis qu'il a été démontré que la suite de Syracuse de n'importe quel nombre de la forme $4m+1$ atteint 1. Et où est-ce qu'on peut trouver la démonstration de ce résultat ? Car s'il était vrai je pense que la moindre des choses serait d'en trouver une mention dans l'article de Wikipedia.

Les maths ce n'est pas que des calculs mais des explications sur les bases d'un raisonnement et d'une démonstration et ça, ça s'explique avec des mots. J'ai été profs en terminale et classes prépa dans ma jeunesse et comme les profs me l'avait appris j'ai enseigné à mes élèves qu'une explication claire et pédagogique était mieux qu'une suite de calculs. Je ne sais pas ce que tu fais dans la vie car tu n'y a pas répondu, mais je suppose que tu n'es pas prof de math. Je ne sais même pas si tu as déjà publié des articles de recherche. Et bien dans tout article on fait un état de l'art. Il y a 3 ref à la fin de mon papier. Tu devrais les lire avant de parler de ce sujet avec d'autres et tu y trouveras bcp de réponses à tes questions. Bonne journée.

[La remarque sur la touche apostrophe reste toujours valable ! AD]