La loi des ensembles
dans Shtam
CARDINALITÉ DES ENSEMBLES D’ALEPH 0
Georges Cantor disait qu'on peut faire la liste de tous les nombres des ensembles Z et Q, parce qu'il est possible d'en faire la bijection à partir de l'ensemble N. Il ajouta que, par conséquent, ces ensembles avaient la même cardinalité, et c'est là que l'erreur apparait.
Si je fais la bijection de N vers Z pour les deux premiers nombres, par exemple : (1 vers 1; 2 vers -1; 3 vers 2; 4 vers -2), je n'ai pas besoin d'aller plus loin pour voir que rendu à '2', j'ai déjà quatre nombres de listés dans l'ensemble Z (c'est-à-dire les nombre -2, -1, 1 et 2), car il contient aussi les même nombres 1 et 2, mais aussi '1' et '2' de valeur négative.
Ce qui fait que, en comptant les deux premiers nombres dans l'ensemble Z, j'ai déjà deux fois plus d'éléments que dans l'ensemble N. Et je suis persuadé que si je poursuis cette démonstration à l'infini, cela ne changera pas.
Et c'est normal, puisque N représente tous le nombres entiers positifs donc, on peut dire de N qu'il est un infini positif. L'ensemble Z, tant qu'à lui, représente, en plus, les entiers négatifs. Donc l'ensemble Z possède en lui deux infinis différents, c'est à dire un infini positif ET, un infini négatif.
Et c'est normal, puisque la partie négative de Z est le miroir de N. donc Z a un cardinal qui est le double de N.
Je lance le défis à quiconque démontrera que, en poursuivant cette bijection à l'infini, cela pourrait changer et que le cardinal de l'ensemble Z DEVIENNE (d'une façon mystérieuse) égal au cardinal de l'ensemble N. Car, je vois que la partie négative de Z, sera éternellement le miroir de N et, de ce fait, possédera TOUJOURS le double de nombre de N.
Pour ce qui est de l'hôtel Hilbert, cet exemple ne fonctionne pas et voici pourquoi.
Le nombre de chambres dans lesquelles se retrouvent chacun des entiers naturels de N, EST EN MÊME QUANTITÉ QUE LES ENTIERS NATURELS puisqu'il s'agit de la même sorte d'infini.
IL Y AUTANT DE CHAMBRES QU'IL Y A D'ENTIERS NATURELS ET, DE CE FAIT, ILS SONT INFINIS DE LA MÊME FAÇON.
PAR CONSÉQUENT, TOUTES LES CHAMBRES SONT OCCUPÉES.
Ainsi, lorsque le nombre '-1' arrive de l'ensemble Z arrive à l’hôtel Hilbert, et cogne à la porte de la première chambre de l’hôtel où '1' se trouve; il ne peut pas faire déplacer ce dernier d'une chambre, en demandant à tous les autres de faire la même chose, et de tous se déplacer d'une chambre, puisqu'il n'y a AUCUNE chambre de disponible.
Le nombre '-1' de Z ne peut pas entrer dans l'hôtel de Hilbert, parce que, comme nous venons de le voir, TOUTES LES CHAMBRES, À L'INFINI, SONT OCCUPÉES par des entiers naturels, eux aussi, également infinis.
Pour que cela soit possible, il faudrait qu'à la gauche du motel (car il s'agit plutôt d'un motel en long, qu'un hôtel en hauteur), se trouve une suite infinie de chambres pour accueillir tous les entiers négatifs de Z, le '0' étant représenté par l'accueil.
Ce qui démontre, encore une fois, que le cardinal de Z est le double de celui de N.
Et c'est la même chose pour l'ensemble Q qui lui, possède en plus deux autre infinis distincts. C'est-à-dire l'infinité des fractions positives ET, l'infinité des fractions négatives. Donc l'ensemble Q a un cardinal deux fois supérieur à l'ensemble Z et quatre fois supérieur à l'ensemble N.
Tant qu'a y être, on pourrait également construire à l'infini en hauteur, la suite des chambres pouvant accueillir toutes les fractions positives de l'ensemble Q et, en sous-terrain, la suite infinie des chambres pouvant accueillir toutes les fractions négatives de l'ensemble Q et, ce complexe s'appelle : 'Aleph 0', et se trouve constitué de quatre sortes d'infinis différents et distincts (que l'on retrouve seulement dans l'ensemble Q), qui viennent établir la différence de cardinalité des ensembles Z et Q par rapport à l'ensemble N. Cet ensemble N qui est, en réalité, à moitié infini, puisqu'il a un commencement mais pas de fin, contrairement aux deux autres ensembles Z et Q qui, eux, sont sans commencement ni fin.
En conclusion, ces trois ensembles font quand même partie d'Aleph 0, puisqu'ils sont listables, mais n'ont pas les mêmes infinis. Bref, ils ne sont pas dénombrables car, par définition, dénombrer veut dire : «En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d'éléments d'un ensemble».
Et ici, on ne peut déterminer le nombre d'éléments et dire combien il y en a, puisqu'il s'agit d'ensembles infinis, et que l'on ne pourra jamais dire COMBIEN il y en a. Donc : LISTER n’égal pas DÉNOMBRER.
Merci à Georges Cantor d'avoir redéfini la loi des ensembles et d'en avoir posé les bases, mais pour ce qui est du cardinal des ensembles N, Z et Q du premier niveau d'infinis, listables mais non dénombrables, d'Aleph 0, il semble qu'il y avait une rectification à faire car, de toute évidence, ils n'ont pas la même cardinalité.
Merci
Éric Tarissan
Georges Cantor disait qu'on peut faire la liste de tous les nombres des ensembles Z et Q, parce qu'il est possible d'en faire la bijection à partir de l'ensemble N. Il ajouta que, par conséquent, ces ensembles avaient la même cardinalité, et c'est là que l'erreur apparait.
Si je fais la bijection de N vers Z pour les deux premiers nombres, par exemple : (1 vers 1; 2 vers -1; 3 vers 2; 4 vers -2), je n'ai pas besoin d'aller plus loin pour voir que rendu à '2', j'ai déjà quatre nombres de listés dans l'ensemble Z (c'est-à-dire les nombre -2, -1, 1 et 2), car il contient aussi les même nombres 1 et 2, mais aussi '1' et '2' de valeur négative.
Ce qui fait que, en comptant les deux premiers nombres dans l'ensemble Z, j'ai déjà deux fois plus d'éléments que dans l'ensemble N. Et je suis persuadé que si je poursuis cette démonstration à l'infini, cela ne changera pas.
Et c'est normal, puisque N représente tous le nombres entiers positifs donc, on peut dire de N qu'il est un infini positif. L'ensemble Z, tant qu'à lui, représente, en plus, les entiers négatifs. Donc l'ensemble Z possède en lui deux infinis différents, c'est à dire un infini positif ET, un infini négatif.
Et c'est normal, puisque la partie négative de Z est le miroir de N. donc Z a un cardinal qui est le double de N.
Je lance le défis à quiconque démontrera que, en poursuivant cette bijection à l'infini, cela pourrait changer et que le cardinal de l'ensemble Z DEVIENNE (d'une façon mystérieuse) égal au cardinal de l'ensemble N. Car, je vois que la partie négative de Z, sera éternellement le miroir de N et, de ce fait, possédera TOUJOURS le double de nombre de N.
Pour ce qui est de l'hôtel Hilbert, cet exemple ne fonctionne pas et voici pourquoi.
Le nombre de chambres dans lesquelles se retrouvent chacun des entiers naturels de N, EST EN MÊME QUANTITÉ QUE LES ENTIERS NATURELS puisqu'il s'agit de la même sorte d'infini.
IL Y AUTANT DE CHAMBRES QU'IL Y A D'ENTIERS NATURELS ET, DE CE FAIT, ILS SONT INFINIS DE LA MÊME FAÇON.
PAR CONSÉQUENT, TOUTES LES CHAMBRES SONT OCCUPÉES.
Ainsi, lorsque le nombre '-1' arrive de l'ensemble Z arrive à l’hôtel Hilbert, et cogne à la porte de la première chambre de l’hôtel où '1' se trouve; il ne peut pas faire déplacer ce dernier d'une chambre, en demandant à tous les autres de faire la même chose, et de tous se déplacer d'une chambre, puisqu'il n'y a AUCUNE chambre de disponible.
Le nombre '-1' de Z ne peut pas entrer dans l'hôtel de Hilbert, parce que, comme nous venons de le voir, TOUTES LES CHAMBRES, À L'INFINI, SONT OCCUPÉES par des entiers naturels, eux aussi, également infinis.
Pour que cela soit possible, il faudrait qu'à la gauche du motel (car il s'agit plutôt d'un motel en long, qu'un hôtel en hauteur), se trouve une suite infinie de chambres pour accueillir tous les entiers négatifs de Z, le '0' étant représenté par l'accueil.
Ce qui démontre, encore une fois, que le cardinal de Z est le double de celui de N.
Et c'est la même chose pour l'ensemble Q qui lui, possède en plus deux autre infinis distincts. C'est-à-dire l'infinité des fractions positives ET, l'infinité des fractions négatives. Donc l'ensemble Q a un cardinal deux fois supérieur à l'ensemble Z et quatre fois supérieur à l'ensemble N.
Tant qu'a y être, on pourrait également construire à l'infini en hauteur, la suite des chambres pouvant accueillir toutes les fractions positives de l'ensemble Q et, en sous-terrain, la suite infinie des chambres pouvant accueillir toutes les fractions négatives de l'ensemble Q et, ce complexe s'appelle : 'Aleph 0', et se trouve constitué de quatre sortes d'infinis différents et distincts (que l'on retrouve seulement dans l'ensemble Q), qui viennent établir la différence de cardinalité des ensembles Z et Q par rapport à l'ensemble N. Cet ensemble N qui est, en réalité, à moitié infini, puisqu'il a un commencement mais pas de fin, contrairement aux deux autres ensembles Z et Q qui, eux, sont sans commencement ni fin.
En conclusion, ces trois ensembles font quand même partie d'Aleph 0, puisqu'ils sont listables, mais n'ont pas les mêmes infinis. Bref, ils ne sont pas dénombrables car, par définition, dénombrer veut dire : «En mathématiques, le dénombrement est la détermination du nombre d'éléments d'un ensemble».
Et ici, on ne peut déterminer le nombre d'éléments et dire combien il y en a, puisqu'il s'agit d'ensembles infinis, et que l'on ne pourra jamais dire COMBIEN il y en a. Donc : LISTER n’égal pas DÉNOMBRER.
Merci à Georges Cantor d'avoir redéfini la loi des ensembles et d'en avoir posé les bases, mais pour ce qui est du cardinal des ensembles N, Z et Q du premier niveau d'infinis, listables mais non dénombrables, d'Aleph 0, il semble qu'il y avait une rectification à faire car, de toute évidence, ils n'ont pas la même cardinalité.
Merci
Éric Tarissan
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Réponses
2 messages seulement et deux fois un message incompréhensible ! Tu commences bien !
1 et -1 ne sont pas écrit de la même manière comme 12 et 9.
Après on peut raconter n'importe quoi.
Maintenant ton document : Tu racontes un peu n'importe quoi, ce que tu appelles une "erreur" n'est que ton refus de suivre la démonstration. Et tu baratines sur le "nombre de nombres" alors que effectivement, 1,2,3 et 4, ça fait 4 nombres et 1,-1,2 et -2 ça fait bien aussi 4 nombres. Et tu racontes n'importe quoi : "Ce qui fait que, en comptant les deux premiers nombres dans l'ensemble Z, j'ai déjà deux fois plus d'éléments que dans l'ensemble N" Tu n'as pas "compté deux premiers nombres", tu en as utilisé 4 !!!!
Bon j'arrête la lecture ici, tu t'es disqualifié dès les premières lignes.
C'est quoi un infini positif? Un infini négatif?
Tu peux me faire fonctionner ta "classification" sur l'ensemble des nombres complexes? B-)-
NB:
L'ensemble des nombres complexes est équipotent à l'ensemble des nombres réels.
Il est précisé dans le texte à propos de l'infini négatif, qu'il s'agit des entiers négatifs et, même chose pour l'infini positif, qu'il s'agit des entiers positifs. L'ensemble N étant l'ensemble des entiers naturels, qui sont positifs et est infini et, l'ensemble Z, quant à lui, étant l'ensemble des entiers positifs et négatifs donc, ayant en lui deux fois plus de nombre que dans N. Le cardinal de Z étant, de ce fait et à l'infini, le double de l'ensemble N.
C'est monsieur George Cantor qui a démontré la bijection de N vers Z, puis, de N vers Q, en disant que de cette façon on pouvait en faire la liste et, en disant ensuite que ces ensembles avaient le même cardinal. Et cela n'a jamais été remis en question.
Comme vous, je dis moi aussi que 1 et -1 ne sont pas écrit de la même manière, cette bijection de N vers Z ne faisant que démontrer qu'il y a deux fois plus d'éléments dans l'ensemble Z qu'il y en a dans l'ensemble N donc, qu'ils n'ont pas le même cardinal.
Bref, qu'il y a aussi deux fois plus d'éléments dans l'ensemble Q que dans l'ensemble Z.
Deuxième et dernier point : la liste d'un ensemble peut se faire à l'infini, mais dénombrer un ensemble infini est impossible, puisque l'on ne pourra jamais dire COMBIEN d'éléments il y a, ce qui est la définition du mot 'dénombrer'.
Conclusion: Aleph 0 est le premier niveau des ensembles infinis listables (N, Z et Q), mais non dénombrables et, du fait qu'ils ne contiennent pas les mêmes nombres, les ensembles N, Z et Q n'ont donc pas le même cardinal.
C'est tout ce que je voulais dire.
Allez, un dernier message, ça peut servir après tout.
Les éléments de $\mathbb N$ sont les entiers naturels, la liste est communément décrite comme : 0;1;2;3;4;5;...
On peut dire que ce sont les éléments de la table de 1.
Et les éléments de la table de 2 alors ? Je le note $2\mathbb N$.
Ce sont : 0;2;4;6;8;10;...
1) oui, tous les éléments de la table de 2 sont dans la table de 1.
2) oui, certains éléments de la table de 1 (les entiers impairs) ne sont pas dans la table de 2.
3) ces ensembles sont en bijection, autrement dit ils ont le même cardinal, et vulgairement "il y a autant d'éléments" dans chacun d'eux.
C'est ce que je disais, écrire la table de 2, c'est long et infini mais c'est une autre écriture de la table de 1.
Idem pour n'importe quel table (sauf celle de 0).
Pour l'inclusion $2\mathbb N$ est plus petit que $\mathbb N$.
Mais en terme de cardinal, $2\mathbb N$ est équipotent à $\mathbb N$.
Je le dis une dernière fois : changer les noms des éléments d'un ensemble (sans les répéter, faisons cela proprement), ce n'est pas modifier le cardinal de l'ensemble. Une bijection est en quelque sort renommer chaque élément de l'ensemble de départ.
Car les deux premiers nombres à partir de 0, chez N il y a (1 et 2), mais chez Z, les deux premiers nombres existent aussi du côté négatif, il y aura donc (-1 et -2) en plus de (1 et 2). Ce qui fait que dans l'ensemble Z j'ai le double d'éléments après avoir compté les deux premiers, alors que dans l'ensemble N il n'y en a que deux.
Et c'est normal puisque la partie négatives de l'ensemble Z (tous les nombres négatifs), est le miroir de l'ensemble N. Ainsi, il y aura toujours deux fois plus d'éléments dans l'ensemble Z que dans l'ensemble N. Et même si je poursuivais à l'infini, il en sera toujours ainsi.
Je ne veux pas être désagréable mais cette phrase n'a aucun sens (et même en prenant la phrase entière cela ne change rien)
On parle d'ensembles qui ont un nombre infini d'éléments.
L'ensemble $\mathbb{Z}$ possède au moins un sous-ensemble propre qui a le même cardinal que lui.
Quand on parle d'ensembles infinis le principe métaphysique: <<Une partie est plus petite que le tout>> est mise en défaut d'une certaine façon.
On ne peut pas toujours décalquer les raisonnements faits sur des ensembles finis quand on essaie de les transposer sur des ensembles infinis.
On peut les lister par bijection, mais cela ne fait que démontrer qu'il y a effectivement deux fois plus de nombres chez Z que chez N, et qu'en poursuivant infiniment, cela ne changera jamais.
Et en voici la preuve.
Si je me rends jusqu'à un million dans l'ensemble N, et bien dans l'ensemble Z je peux aller jusqu'à un million à la droite du zéro, et je peux aussi aller jusqu'à un million à la gauche du zéro. Résultat, j'ai deux millions d'éléments dans Z ( qui, je me répète, contient tous les entiers négatifs qui n'existent pas dans N), donc, deux fois plus de nombres que dans N.
ET même si je poursuivais cette démonstration à l'infini, cela ne changera jamais. La partie négative de Z est éternellement et parfaitement le miroir de N.
Pourtant, monsieur Georges Cantor lui-même parle d'ensembles infinis, c'est à dire qui contiennent un nombre infini d'éléments. Parce que si je commence à compter : 1, 2, 3, 4, ..., il est évident que cette suite d'entiers naturels n'a pas de fin. Et l'ensemble N, comme Z, comme Q, sont des ensembles ayant un nombre infinis d'éléments (de nombres), puisque personne ne pourra jamais dire combien il y en a, en chacun d'eux.
Alors, qu'est-ce qui n'a aucun sens ?
Si tu ne clarifies pas la notion <<d'équipotence d'ensembles>> dans ta tête tu vas continuer à déformer le langage naturel pour nourrir ton incompréhension.
Peux-tu trouver un sous-ensemble $F$ propre d'un ensemble $E$ qui a un nombre fini d'éléments tel que $E$ et $F$ soient équipotents?
Maintenant même question avec $E=\mathbb{Z}$ , peut-on trouver un sous-ensemble $F$ propre de $E$ qui soit équipotent à $E$?
PS:
Ce qui n'a pas de sens est de dire d'un ensemble infini qu'il a le double d'éléments d'un autre ensemble infini.
L'infini n'est pas nombre on ne sait pas le multiplier par deux a priori.
Monsieur Georges Cantor a établie que l'ensemble des réels avait un infini plus grand que les ensemble N, Z et Q, parce qu'on ne pouvait pas en faire la bijection. Prouvant dès lors qu'il y avaient des ensembles dont l'infini était plus grand d'autres ensembles infinis.
L'ensemble des réels faisant parti du deuxième niveau des infinis appelé Aleph 1.
Pour dire qu'il y en a le double dans Z que dans N, c'est simple, et voici :
N : 0, 1, 2, 3,...
Z : ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
Dans N jai tous les nombres entiers positifs, donc, un ensemble qui part de zéro mais qui n'a pas de fin.
Dans Z j'ai tous les nombres entiers négatifs et, j'ai aussi tous les nombres entiers positifs donc, un ensemble qui, contrairement à N, est sans commencement ni fin. Z est donc un ensemble qui est deux fois plus infini que N puisqu'il possède à l'infini des entiers négatifs qui n'existent pas dans N. C'est deux ensembles n'ont donc pas le même cardinal, même si je peux les lister par bijection comme l'a fait Georges Cantor.
Ce que je sais, c'est que lorsque je compte les trois premiers chiffres chez N, j'ai trois nombres et, lorsque je compte les trois premiers chiffres chez Z, je me retrouve à la fois avec les trois premiers entiers positifs et, les trois premiers entiers négatifs, c'est-à-dire (-3, -2, -1, 1, 2, 3), ce qui me donne le double par rapport à N. Et même si j'allais plus loin et que je comptais les dix premiers nombres, dans l'ensemble Z j'aurai également les dix premiers nombres négatifs (que je n'ai pas chez N), ce qui me donnerais un total de 20 nombre. Le double que chez N.
Et même si je poursuivais cette démonstration à l'infini, j'aurais toujours chez Z, le double de nombre que chez N, puisque N ne contient aucun élément, aucun nombre négatif.
Ça ne peut pas être plus clair.
Quand je compte les deux premiers éléments chez Z, je me retrouve avec les deux premiers qui sont à la fois à la droite et à la gauche du zéro, car des deux côtés j'ai les deux premiers éléments qui sont : (-2, -1, 1, 2). En valeur absolu, je ne suis rendu qu'au chiffre |2| chez Z, alors que chez N, si j'ai bien fait la bijection, je suis rendu au chiffre 4. Révélant que j'ai quatre éléments chez Z après avoir compté les deux premiers nombre, alors que chez N, après avoir compté les deux premiers nombre, je n'ai que deux éléments (1 et 2).
Ainsi, éternellement la bijection ne cesse de me dire que j'en ai le double chez Z, qui contient tous les entiers négatifs (et ils sont en quantité infinie), qui n'existent pas chez N. J'ai donc le double d'éléments chez Z.
Je ne comprends pas où je donne mon opinion.
Que racontes-tu ? Peux-tu préciser où je donne une opinion ?
Sur la vulgarisation, peut-être, mais à part ça...j’applique des définitions.
Si N devait avoir le même cardinal que Z, alors il devrait posséder tous les entiers négatifs de Z. Alors ils auraient tous les deux la même cardinalité.
Z contient donc deux fois plus de nombre que N. L'ensemble N ayant '0' pour commencement, alors que l'ensemble Z n'a ni commencement ni fin. Cependant, le chiffre 0 chez Z, vient révéler que tous les nombres à sa gauche sont le miroir de tous les autres nombre à sa droite.
Alors si on met le chiffre 0 au centre d'une feuille et qu'on la plie en deux, on verra que chez N il n'y apparait que des nombre positifs, alors que chez Z, apparait les même nombres mais de valeurs négatives, révélant qu'il y en a deux fois plus que dans N qui n'a aucun nombre négatif.
En passant, si je fais la bijection de N vers Q, je peux relier toute les fractions positives et négatives, comprises entre 0 et 1 mais, comme ces fractions n'ont pas de fin, je ne pourrai jamais me rendre jusqu'à '1' du côté positif, ni jusqu'à '-1' du côté négatif. Révélant que cette bijection sans fin ne peut lister que les fractions seulement, sans jamais atteindre le premier entier après 0. Comme l'ensemble Q possède lui aussi les entiers positifs et négatifs comme chez l'ensemble Z, cela démontre que la bijection de N vers Q est incomplète donc, impossible.
Tu montres avec cette phrase que tu ne sais pas ce dont on parle quand on parle de cardinal d'un ensemble et surtout de ce que cela veut dire que deux ensembles sont équipotents.
Tant que tu n'auras pas compris la notion d'ensembles équipotents on aura un dialogue de sourds.
« Ajoute » donc un élément à $\mathbb Z$, on le note « TRUC ».
Penses-tu que notre nouvel ensemble a plus d’éléments que $\mathbb Z$ ?
Édit : Fin de partie avait déjà répondu.
Elle est bien complète et possible.
Cependant, et encore une fois, cette bijection ne fait que démontrer que j'ai beaucoup plus d'éléments dans l'ensemble Q que dans l'ensemble N qui, lui (ni Z d'ailleurs), ne contient aucune fraction.
L'ensemble Q possède donc un cardinal beaucoup plus grand que N.
Par déduction, on constate que l'ensemble Q possède l'infinité des fraction décomposables (1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... et 2/3, 2/5, 2/7, ...et ainsi de suite), positives et négatives.
L'ensemble Q possède donc l'infinité des fractions qui vont toujours vers l'infiniment petit positif et négatif, donc, l'ensemble Q possède deux ensembles infinis distincts représentés par les deux ensembles des fractions positives et négatives que ne se retrouvent pas ni dans l'ensemble Z, ni dans l'ensemble N.
Ce qui fait que le cardinal de Q est le double de Z, et le quadruple de N.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Équipotence
C'est peut-être surprenant pour toi mais ce que tu dis est faux.
C'est dû au fait que tu n'as pas réfléchi à ce qu'est une bijection, ce que sont deux ensembles équipotents
Tu penses pouvoir décalquer sur des ensembles infinis ce qui est intuitif sur des ensembles finis.
PS:
On sait donner un sens aux expressions: "est de cardinal plus grand", "est de cardinal plus petit" qui sont cohérents avec l'intuition qu'on a de ces deux notions à propos des ensembles finis.
Là tu ajoutes notamment une structure d’ordre.
Parles-tu de bijection entre ensembles ou de bijection d’ensembles munis d’une structure et dont cette bijection « conserve » la structure.
Par exemple les groupes $(\mathbb Z,+)$ et $(\mathbb Q,+)$ ne sont pas isomorphes.
Ils sont isomorphes en temps qu’ensembles mais pas isomorphes en tant que groupes.
Et c'est cela que je remet en question. Je dis que oui, on peut les lister, et la liste est infini mais, en faire la bijection ne veut pas dire qu'ils ont le même nombre d'éléments. C'est là qu'apparait une contradiction, et j'aimerais bien que l'on cesse de tout croire les yeux fermés !
Je vous dis que dans Z il y a une quantité infinie de nombre négatifs (que j'appelle infini des entiers négatifs), qui n'existent pas dans l'ensemble N.
Donc, j'ai plus de nombre dans Z que dans N et ce, même si je peux les relier.
En fait, dans Z j'ai deux infinis distincts : l'ensemble infini des entiers négatifs ET, l'ensemble infini des entiers positifs. Donc, j'ai deux fois plus de nombre dans Z que dans N, parce que j'ai deux infinis différents et distincts dans Z que je n'ai pas dans N.
Rendu au chiffre |2|, dans Z je suis rendu à -2 d'un côté, et à 2 de l'autre côté de 0. Ce qui me fait 4 éléments en comptant jusqu'à |2|, alors que dans N je suis toujours rendu à 2.
Si je compte les 4 premiers nombres, dans N j'en aurai 4, alors que dans Z j'aurais un total de 8 éléments (-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4), ce qui représente le double de N.
Et même si je poursuis cette démonstration, cette bijection à l'infini, j'en aurai toujours le double dans Z.
Rendu à 16, j'en aurai 32 dans Z (à cause des entiers négatifs);
Rendu à 20, j'en aurai 40 dans Z (les 20 premiers négatifs + les 20 premiers positifs).
et ainsi de suite à l'infini, cela ne changera jamais.
Bijection ne veut donc pas dire équipotent, et encore moins équivalent, et encore moins 'même cardinalité'.
On le voit, la bijection vient plutôt confirmer qu'il y en a le double dans Z, et le quadruple dans Q.
C'est le fait que ces ensemble soient infinis qui donne l'illusion qu'ils soient équipotent et de même cardinalité. Mais une brève étude révèle clairement que ce n'est pas le cas.
Une brève étude montre qu'Eric Tarissan tient un discours incohérent.
Du charabia sans contenu sensé.
Je le répète, et prouvez moi le contraire avant de dire que je dis du charabia, l'ensemble N a un commencement (le chiffre zéro), mais n'a pas de fin; alors que l'ensemble Z, lui, est sans commencement ni fin, mais où le chiffre zéro vient donner le centre de cet ensemble, à partir duquel les entiers positifs à droite et, les entiers négatifs à gauche, se poursuivent à l'infini, révélant ainsi que cet ensemble est sans commencement ni fin.
Je vous partage ce que je vois, et je sais que nous voyons la même chose, mais comment peut-on dire qu'il y a le même cardinal, ou qu'ils sont équipotents, si ces ensemble sont, dès le départ, différents ?
Comment peut-on les qualifier d'équipotents alors qu'ils sont différents dans leur nature et, différents dans leur contenu ?
Les ensembles {-1;0;1} et {0;10;20} sont-ils équipotents pour toi ?
Attention, l'un à un commencement mais pour l'autre le commencement est "au milieu".
PS : ne vous moquez pas, j'attends le bus...
Si tu prenais la peine de t'informer tu le saurais.
Dernière tentative:
On montre, par exemple, que l'ensemble des entiers naturels est équipotent à son sous-ensemble des entiers pairs.
Démonstration:
On considère l'application qui à un entier $n$ associe l'entier $2n$ (à $0$ on associe $0$, à $1$ on associe $2$, à $2$ on associe $4$ etc)
C'est bien une application de l'ensemble des entiers dans l'ensemble des entiers pairs.
Est-ce que cette application est bijective?
Si on prend un entier pair $m$ existe-t-il un entier $n$ tel que $m=2n$?
Oui, l'entier $n=\dfrac{m}{2}$. La division tombe juste puisque $m$ est pair.
Donc cette application est bien une bijection.
Ce que je vois c'est que l'ensemble Z commence depuis un infini d'entiers négatif (...-3, -2, -1, 0), pour se poursuivre vers un infini d'entiers positifs (0, 1, 2, 3...); alors que l'ensemble N, lui, commence à partir de 0 et qu'il a un commencement.
Pour répondre à ta question Dom, ton exemple parlent d'ensemble fini (-1; 0; 1) et (0; 10; 20). Alors on peut dire qu'ils ont le même cardinal. Équipotent s'appliquant à des ensemble infini.
En fait, quand tu dis «le commencement est un milieu», c'est comme pour Z, c'est le commencement à la fois de la partie négative et, de la partie positive, mais cela ne peut pas être le commencement de l'ensemble lui-même, puisque l'ensemble Z est sans commencement ni fin, puisque son soit disant commencement se trouve à l'infini des entiers négatifs et se poursuit de l'autre côté, éternellement vers la suite sans fin des entiers positifs.
Alors que l'ensemble N, lui, commence bel et bien à zéro, pour continuer sans fin avec les entiers positifs.
Je ne ferai pas de commentaires autres, je dis simplement ce qui est, et dites moi seulement, de votre côté, comment un ensemble Z qui contient une infinité d'entiers négatifs, peut-il être équipotent à un ensemble N qui, lui, ne contient pas ces entiers négatifs, mais juste les entiers positifs ?
Si un ensemble a quelque chose que l'autre n'a pas (et il en a à l'infini), ils ne peuvent pas être équipotents ni avoir le même cardinal, comme disait monsieur Cantor.
Si Einstein était resté avec l'idée que l'espace était toujours en ligne droite, et que le temps s'écoulait toujours de la même façon, il n'aurait pu repousser les limites de notre compréhension de l'univers. Je ne prétends pas être Einstein, je dis seulement qu'il est bien de voir les choses telles qu'elles sont, plutôt que comme on a dit qu'elles étaient.
Cessons de se battre sur des mots mal définis, parce que finalement, nous voyons tous que Z contient une infinité d'entiers négatifs qui ne se retrouvent pas dans N.
Encore une fois, la bijection ne fait que révéler la différence entre deux ensemble, ET NON DE DIRE QU'ILS SONT ÉQUIPOTENTS.
Dans le premier ensemble, pour reprendre votre exemple, j'ai l'ensemble N des entiers naturels et, dans le deuxième ensemble, j'ai l'ensemble des nombres pairs.
Et bien, tout simplement, dans l'ensemble des nombres pairs, je n'ai pas l'infinité des nombres impairs qui se retrouvent dans l'ensemble N donc, l'ensemble N est deux fois plus nombreux que l'ensemble des nombres pairs.
On peut les mettre en bijection et, aussitôt, voir qu'il y en a deux fois plus dans le premier que dans le second.
On peut les lister à l'infini, mais il y aura toujours un ensemble qui aura deux fois plus d'éléments, puisque le second n'a aucun nombre impair. Ces deux ensembles sont donc différents en nature et en contenu.
Je le répète, l'infini n'est pas une éponge qui vient effacer la différence entre deux ensembles, pour dire ensuite qu'ils sont équipotents. Quand je serai rendu à un million dans N, dans l'autre ensemble j'aurai 500 000 nombre pairs, donc la moitié. Est-ce que je me trompe ?
Et même si je continuais à l'infini, j'aurai toujours une quantité de nombre pairs deux fois moindre que ceux se trouvant dans N. Cela ne changera jamais. L'infini n'est pas une excuse pour prétendre le contraire. Sinon, ce serait lui donner des qualités inconnues à ce jour.
Donc soit tu regardes effectivement les preuves, et tu finis par te rendre compte que ce qui se passe pour des ensembles infinis ne correspond pas à ce dont on a l'habitude pour les ensembles finis (un ensemble infini peut être en bijection avec une de ses parties stricte (qui a "moins d'éléments"), soit tu désires rester l'imbécile qui regarde le doigt.
A toi de décider, mais là tu es ridicule !
Non, tu dis n'importe quoi;
La définition MATHÉMATIQUE du mot "équipotent" est "en bijection", que tu le veuille ou non.
Cordialement,
Rescassol
@Eric Tarissan tu sais pourquoi ils ont nommé cette section "Shtam" ?
PS. En plus, le nombre de vues explose. En 4 heures on est déjà à 217 vues un dimanche !!! Ceci dit ça va être difficile de faire mieux que Syracuse...
On s'en fiche de ce qu'il y a dans ces ensembles.
Il n'y a pas d'égalité entre les ensembles d'une part, un billet de 5 euros, un billet de dix dollars, un billet de 100 roubles et d'autre part l'ensemble: une pomme, une poire, un melon. (essaie de manger un billet de 5 euros pour te nourrir par exemple) mais ces deux ensembles sont équipotents.
Il y a une bijection entre ces deux ensembles:
Un billet de 5 euros est mis en correspondance avec une pomme.
Un billet de 10 dollars est mis en correspondance avec une poire.
Un billet de 100 roubles est mis en correspondance avec un melon.
1 kg de plomb et 1kg de pommes ont le même poids mais tu peux toujours essayer de croquer du plomb pour te nourrir. :-D
On ne s'intéresse pas à la nature profonde des objets considérés mais à les classer suivant une seule propriété quand on définit la notion de cardinal.
En contrepartie, il est quand même triste, voire désespérant, que ce forum soit tombé si bas...
J'ai un ensemble $A$ qui est le suivant : $A = \{ a,b,c,d,e,...,x,y,z,a_1,b_1,c_1, ..., z_1,a_2,b_2,c_2,.... \}$.
Ce sont les lettres de l'alphabet (on en compte vingt-six).
Je ne m'arrête pas, les indices sont les entiers. Ainsi, on trouve $a_{100}$ dedans et même $z_{451123}$.
Déjà qu'on se mette d'accord, c'est écrit avec des pointillés, mais comprends-tu ce que je veux dire pour décrire cet ensemble $A$ ?
La question : cet ensemble est-il pour toi équipotent à $\mathbb N$ ? De plus grand cardinal que $\mathbb N$ ?
Tu veux un système de parrainage comme sur Arxiv.org ?
En même temps, tu sais bien ce que tu vas trouver en lisant la rubrique Shtam. Tu peux te passer de la lire ce que font surement beaucoup de gens qui lisent régulièrement le forum.
PS:
Comme toute structure humaine vivante, les-mathematiques.net produit des déchets. (je ne parle pas de gens).
Et comme pour la télé, le kk attire les foules... ::o
Evidemment. Parce que tu sais que tu n'auras pas besoin de faire d'efforts pour lire et que tu vas regonfler ton ego à moindre frais.
Je suis désolé de voir que je suis le seul à voir qu'il y a dans Z une infinité d'entiers négatifs qui ne sont pas dans N et, de ce fait (et même si on en fait la bijection), la partie négative de Z est le miroir de N, donc, et désolé d'être le seul à le voir, il y aura éternellement le double d'éléments dans Z que dans N.
Dites que je suis ridicule et tout ce que vous voulez, moi je vous aime tous, et j'ai été bien heureux de faire votre connaissance.
Je vous souhaite donc une bonne continuité, réussite dans tous vos projets, santé, paix, joie et amour.
Sincèrement et de tout cœur,
Éric Tarissan
Si un jour un sthameur écrit un manifeste pour revendiquer son activité, je suis sûr que cette phrase y figurera en bonne place.
PS:
Une dernière pour la route: on classe des objets par leur poids et donc on a des outils pour dire si tel objet est plus lourd ou moins lourd ou s'ils ont des poids égaux. Par exemple, 1kg de plume a un poids égal à 1kg de plomb, pourtant personne ne dort la tête posée sur un oreiller rembourré de plomb. B-)-
Je veux dire, l'ensemble N est composé de nombres entiers positifs qui se suivent de façon consécutive et sans fin, de la même façon que le font les nombres de l'ensemble Z et, aussi, les fractions de l'ensemble Q.
Il serait absurde de parler de cardinalité à propos d'un ensemble infini, car le cardinal, par définition, représente la quantité d'éléments d'un ensemble et, comme ils sont infinis, nous ne pourrons jamais chiffrer cette quantité.
C'est d'ailleurs pourquoi, pour les ensembles infinis, le mot cardinal a été remplacé par le mot 'équipotent' et ce, seulement lorsqu'il y a bijection.
Bref, même si les ensembles Z et Q possèdent des nombres et des fractions qui ne se retrouvent pas dans N, ils font tous partis de ce même infini prévisible et de premier niveau appelé aleph 0.
Merci pour tous vos échanges
Bonne continuité à vous tous
Sincèrement
Éric Tarissan
Désolé de vous avoir déconcerté, ma quête de comprendre a toujours été sincère.