Théorème
Bonsoir,
Voici un théorème que je trouve intéressant :
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R^+$ et admettant un développement en série entière au voisinage de $0$, $\displaystyle f(t)=\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{u_n}{n!}t^n$.
Si la fonction $$\phi_f(z)=\frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-2} e^{-t} f(t) dt$$ est définie pour $\Re z>a$ ($a$ quelconque), alors elle admet un prolongement analytique sur tout le plan complexe privé de $1$ et ses valeurs aux entiers négatifs sont données par la relation $$\phi_f(-n)=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^k u_k.$$
Est-ce qu'il a des applications éventuelles importantes ?
Voici un théorème que je trouve intéressant :
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R^+$ et admettant un développement en série entière au voisinage de $0$, $\displaystyle f(t)=\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{u_n}{n!}t^n$.
Si la fonction $$\phi_f(z)=\frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-2} e^{-t} f(t) dt$$ est définie pour $\Re z>a$ ($a$ quelconque), alors elle admet un prolongement analytique sur tout le plan complexe privé de $1$ et ses valeurs aux entiers négatifs sont données par la relation $$\phi_f(-n)=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^k u_k.$$
Est-ce qu'il a des applications éventuelles importantes ?
Réponses
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Pour le tester on peut commencer par la fonction $f(t)=e^{-t}$ ou encore plus simple la fonction $f(t)=t$.
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J’avoue avoir testé pour $f$ la fonction nulle...
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Je ne connais pas bien l’analyse complexe...
Est-ce qu’on a une fonction $f$ telle que $\phi_f=f$ (sur un domaine si restreint soit-il) ? -
La fonction nulle :-)...
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Oui, oui, je me posais la question pour une éventuelle autre.
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Je sais. J'ai essayé mais je crois que c'est difficile à trouver si ça existe.
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On a en fait ceci.
Pour $f=\sin$ on aura $$\phi_{\sin}(z)=\frac{\sqrt2^{1-z}\sin\left( \frac{\pi(z-1)}{4}\right)}{z-1}.
$$ On remarque que $\phi_{\sin}$ est presque de même nature que $f$. On voit bien le pôle en $1$.
Et pour $f=\cos$, $$\phi_{\cos}(z)=\frac{\sqrt2^{1-z}\cos\left( \frac{\pi(z-1)}{4}\right)}{z-1}$$ -
Pour $\displaystyle f(t)=e^{\frac{t}{2}}$ $$\phi_f(z)=\frac{2^{z-1}}{z-1}$$
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Ce théorème généralise le prolongement de $\zeta$ pour d'autre type de fonctions. Même si $\zeta$ est très spéciale, si on arrive à appliquer ce théorème à d'autres fonctions qui ont un comportement assez proche de celui de $\zeta$ on aura plus d'informations sur cette dernière.
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Peut-être que j'aurais une belle application de ton théorème, mais comme tu ne dis rien sur $\phi_f$, je ne peux pas en dire plus....
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Que veux-tu en savoir ?
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Si, pour tout $n\in\N$, $u_n=(-1)^n\alpha_n$ avec $(\alpha_n)_n$ croissante positive et $\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(\alpha_n)}n=\beta$ ($\beta\in\R^+$), que peut-on dire de $|\phi_f|_r$ quand $r$ tend vers $+\infty$?
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L2M
Ce théorème généralise le prolongement de $\zeta$ pour d'autre type de fonctions. Même si $\zeta$ est très spéciale, si on arrive à appliquer ce théorème à d'autres fonctions qui ont un comportement assez proche de celui de $\zeta$ on aura plus d'informations sur cette dernière.
Ceci n'est pas une demande. C'est juste une idée que je partage. Ce n'est même pas un théorème bien présenté même s'il est facile de le bien réécrire et démontrer pour tout ceux qui connaissent un peu d'analyse complexe et veulent le tester même juste pour s'amuser. -
$|\phi_f|_r=\max_{\substack{z\in\mathbb C\\|z|\le r}}|\phi_f(z)|$. Évidemment, on suppose que $\phi_f$ est entière (Si ton théorème est correct, il suffit de prendre $u_0=u_1=u_2=0$)
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Je ne suis pas vraiment fort en analyse complexe. Mais je peux te suivre pour le cas particulier $\frac{\ln(\alpha_n)}n=\beta$. C'est-à-dire $\alpha_n=e^{n\beta}$.
On aura donc
\begin{align*}
\phi_f(-n)&=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} \alpha_k=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} e^{k\beta} \\
\phi_f(-n)&=-\frac1{n+1}\left( 1+ e^{\beta} \right)^{n+1} .
\end{align*} On peut dire sans faire de calcul que
\begin{align*}
\phi_f(z)&=\frac{(1+ e^{\beta})^{1-z}}{z-1} &\text{et}\\
|\phi_f(z)|&=\frac{(1+ e^{\beta})^{1-\Re z}}{|z-1|}
\end{align*} -
Si $\phi_f$ admet un pôle en $1$ (il y a des cas où $\phi_f$ est définie sur tout le plan complexe, selon $f$), $|\phi_f(z)|_r \longrightarrow +\infty$.
-
Seul le cas où $\phi_f$ est entière est intéressante.
-
Voici un cas où $\phi_f$ est entière. On prend $\alpha_n=ne^{n\beta}$ et $u_n=(-1)^n\alpha_n$.
\begin{align*}
\phi_f(-n)&=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} \alpha_k=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} ke^{k\beta} \\
&=-\sum_{k = 1}^{n+1}\binom{n}{k-1} e^{k\beta}=-\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k} e^{(k+1)\beta} \\
\phi_f(-n)&=-e^{\beta}\left( 1+ e^{\beta} \right)^{n} \\
\phi_f(z)&=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-z} \\
|\phi_f(z)|&=\frac {e^{\beta}}{(1+ e^{\beta})^{\Re z}}
\end{align*} Finalement $\ |\phi_f|_r \longrightarrow e^{\beta}$ -
Tant que tu n'auras pas répondu à ma question dans le cas général, ça ne sert à rien de s'attarder.
-
Si je savais la réponse, je t'aurai répondu depuis. Mais, j'essayerai.
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Il suffit que $F(t)=f(t) e^{-t}$ soit $C^\infty$ en $0$, intégrable sur $[0,\infty)$ et à décroissance rapide en $+\infty$ pour que $$\phi_f(s)- \sum_{k=0}^K \frac{F^{(k)}(0)}{k! (s+k)}=\int_0^\infty t^{s-1} (F(t)-1_{t < 1}\sum_{k=0}^K \frac{F^{(k)}(0)}{k!}t^k)dt$$ converge et soit analytique pour $\Re(s) > -K$ donc que $\phi_f(s)/\Gamma(s)$ soit entière.
Si en plus $F$ est analytique sur $[0,\infty)$ alors on a aussi la version de Riemann $$\forall s,\qquad (e^{-2i\pi (s-1)}-1) \phi_f(s) = \int_C t^{s-1} F(t)dt \qquad\text{ converge et est entière}$$ où $C$ est un contour $+\infty \to e^{-i\pi} \epsilon\to +e^{-2i\pi}\infty$ qui entoure $[0,\infty)$ dans le sens des aiguilles d'une montre.
Quand $F(t) = \frac{t}{e^t-1}$ ou autre fonction méromorphe et bornée, pour $\Re(s) < 0$ on peut refermer le contour en ajoutant un cercle $R_\infty$ de rayon infini pour appliquer le théorème des résidus $$(e^{-2i\pi (s-1)}-1) \phi_f(s) = \int_{C\cup R_\infty} t^{s-1} F(t)dt=2i\pi\sum Res(t^{s-1} F(t))$$ Quand les pôles sont simples en $a_j$ de résidu $c_j$ on a donc $$=2i\pi \sum_j c_j a_j^{s-1}$$ qui est l'équation fonctionnelle. -
Je ne sais pas ce que Joappa veut dire là http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1885884,1886068#msg-1886068
Si $u_n = o(c^n)$ alors $\sum_n \frac{u_n}{n!} t^n = o(e^{|ct|})$ quand $|t|\to \infty$ mais demander que $u_n = (-1)^n e^{\beta n }(1+o(1))$ et $(-1)^n u_n$ croissante ne permet pas de dire que $\sum_n \frac{u_n}{n!} t^n \to 0$ quand $t\to +\infty$ (essayer avec $e^{-t/2}+e^{t/10^5}$ ou $\sum_n \frac{u_n}{n!} t^n = e^{-\beta n} + \frac1{k!^2} x^k$) -
reuns écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1885884,1886154#msg-1886154
> Il suffit que $F(t)=f(t) e^{-t}$ soit $C^\infty$ en $0$, intégrable sur $[0,\infty)$ et à
> décroissance rapide en $+\infty$ pour que ...
Tu entends quoi par décroissance très rapide ? -
Le terme décroissance rapide ça vient des fonctions Schwartz et des distributions : ça veut dire que $F(t)=f(t) e^{-t}$ décroit plus vite que tout polynôme donc $\int_1^\infty F(t) t^{s-1}dt$ est entière, le seul problème pour $\int_0^\infty F(t) t^{s-1}dt$ c'est donc en $0$ quand $\Re(s)\le 0$ et c'est là qu'on a besoin que $F$ soit $C^\infty$ en $0$
-
Reuns m'a tuer. Ce que je pensais ne marche pas donc.
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L2M écrivait:
\begin{align*}
\phi_f(-n)&=-e^{\beta}\left( 1+ e^{\beta}
\right)^{n} \\
\phi_f(z)&=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-z} \\
\end{align*}
Qu'est-ce qui te permet de passer de la première à la seconde ligne ? -
@Joaopa : En fait le théorème prolonge une suite de nombres ($\phi_f(-n)$) en une fonction holomorphe sur le plan complexe.
Alors le prolongement naturel et holomorphe de la fonction $\phi_f$ vérifiant $\displaystyle \phi_f(-n)=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-n}$ pour tout $n$ entier est $\displaystyle \phi_f(z)=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{z}$ en remplaçant $-n$ par $z$. -
La chose la plus importante, à mon avis, qu'on peut déduire de ce théorème est que si la série $$\sum_{n = 0}\binom{1-z}{n}(-1)^n u_n$$ converge pour tout $z\in \mathbb C$, alors $$ \phi_f(z)=\frac1{z-1}\sum_{n = 0}^{\infty}\binom{1-z}{n}(-1)^n u_n. \quad z\in \mathbb C , z\not= 1$$
Le prolongement de $\phi_f$ cette fois est défini sur le plan complexe privé de $1$ par une seule série. -
Est-ce que ceci mérite d’être le sujet d'un article ?
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Il me fait penser au Master theorem de Ramanujan. Mais ce n'est pas le même théorème.
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L2M écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1885884,1886434#msg-1886434
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
C'est faux. Il y a des conditions pour qu'une série binomiale soit entière (voir article de Norlund Norlund) -
L2M écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1885884,1886240#msg-1886240
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
C'est encore faux. Il n'y pas unicité de foncions entières qui prennent des valeurs données aux entiers si une telle série existe. -
Du coup, tu as la réponse à ta question <<Est-ce que ceci mérite d’être le sujet d'un article ? >>
D'autant plus, que ton résultat est une conséquence triviale de ce qu'a écrit Reuns. -
Ce sont des choses techniques faciles à dépasser. En tout cas la série binomiale que j'ai dans la main et qui prolonge $\zeta$ est entière.@Joaopa
C'est faux. Il y a des conditions pour qu'une série binomiale soit entière (voir article de Norlund Norlund)
Je sais que c'est faux. Mais c'est une manière de donner une idée non formelle sur le théorème.@L2M : En fait le théorème prolonge une suite de nombres ($\phi_f(-n)$) en une fonction holomorphe sur le plan complexe.
Alors le prolongement naturel et holomorphe de la fonction $\phi_f$ vérifiant $\displaystyle \phi_f(-n)=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-n}$ pour tout $n$ entier est $\displaystyle \phi_f(z)=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{z}$ en remplaçant $-n$ par $z$.
@Joaopa
C'est encore faux. Il n'y pas unicité de foncions entières qui prennent des valeurs données aux entiers si une telle série existe.
@Reuns n'a pas écrit sur la série binomiale qui prolonge $\phi_f$ ni sur les valeur du prolongent aux entiers négatifs. Je suppose que c'est quelque chose de nouveau.@Joaopa
D'autant plus, que ton résultat est une conséquence triviale de ce qu'a écrit Reuns. -
Les valeurs aux entiers négatifs je les ai données : c'est $ \frac{\phi_f}{\Gamma}(-k) = (-1)^k k! F^{(k)}(0)/k!$
C'est immédiat que si ça converge $ \frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t}\sum_n u_n \frac{t^n}{n!} dt =\sum_n u_n \frac{\Gamma(z+n)}{n! \Gamma(z)} = \sum_n u_n {z+n-1 \choose n}= \sum_n u_n (-1)^n {- z \choose n}$
L'ensemble de la discussion fait l'objet d'un cours d'analyse complexe mais pas d'un article de recherche,
pour en faire un article il faut trouver une application intéressante à une certaine $f$ qui donnerait un résultat ou un regard nouveau, ou bien trouver une généralisation style série $p$-adiques,
mais la technique de base est habituelle dans le contexte de $\zeta$ et de la transformée de Mellin -
J'ai trouvé une application pour ce théorème mais je ne sais pas est-ce que c'est intéressant ou non, une fonction $l_z$ dans $\mathbb C$ à variable réelle vérifiant $$l_z(t)=\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{L_n(z)}{n!}t^n \qquad \text{(Le rayon de convergence de cette série est infini)}$$ $(L_n(z))$ est une suite de nombres complexes.
Avec $$\zeta(z)-1=\frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} l_z(t) dt , \quad \Re z > 0.
$$ Qu'on prolonge ensuite sur $\mathbb C$ privé de $1$ par la série $$
\zeta(z)-1=\sum_{n = 0}^{+\infty} \binom{-z}{n}L_n(z).
$$ La seule chose que j'ai pu en extraire est le calcul des valeurs de $\zeta$ aux entiers négatifs. -
C'est quoi $L_n(z)$ et $l_z(t)$ et $\zeta$.
Je t'ai montré que ça prend une ligne de trouver les valeurs aux entiers négatifs : si $F$ est $C^\infty$ en $0$ et bornée alors pour $\Re(s) \in ]-K,0[$
$$\phi_f(s)- \sum_{k=0}^K \frac{F^{(k)}(0)}{k! (s+k)}=\int_0^\infty t^{s-1} (F(t)-1_{t < 1}\sum_{k=0}^K \frac{F^{(k)}(0)}{k!}t^k)dt$$ converge et est analytique donc $\phi_f(s)$ a un pôle simple en $-k$ de résidu $F^{(k)}(0)/k!$ et donc $\Gamma(s)\phi_f(s)$ est analytique et $\Gamma\phi_f(-k)=(-1)^k F^{(k)}(0)$.
Avec $F(t)= \frac{t}{e^t-1}$ on a le prolongement analytique et les valeurs de $\sum_n n^{-s}$ aux entiers négatifs. -
$\zeta$ est la fonction zêta de Riemann.
$(L_n(z))$ est une suite de nombres complexes, définis par une relation de récurrence.
$l_z$ est la fonction génératrice exponentielle des nombres $L_n(z)$. $\displaystyle l_z(t)=\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{L_n(z)}{n!}t^n$.
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