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Théorème

Envoyé par L2M 
L2M
Théorème
il y a neuf mois
Bonsoir,
Voici un théorème que je trouve intéressant :

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R^+$ et admettant un développement en série entière au voisinage de $0$, $\displaystyle f(t)=\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{u_n}{n!}t^n$.
Si la fonction $$\phi_f(z)=\frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-2} e^{-t} f(t) dt$$ est définie pour $\Re z>a$ ($a$ quelconque), alors elle admet un prolongement analytique sur tout le plan complexe privé de $1$ et ses valeurs aux entiers négatifs sont données par la relation $$\phi_f(-n)=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^k u_k.$$

Est-ce qu'il a des applications éventuelles importantes ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par L2M.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Pour le tester on peut commencer par la fonction $f(t)=e^{-t}$ ou encore plus simple la fonction $f(t)=t$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par L2M.
Dom
Re: Théorème
il y a neuf mois
J’avoue avoir testé pour $f$ la fonction nulle...
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
@Dom. Déjà pas mal smiling smiley.
Si on choisit $\displaystyle f(t)=\frac{te^t}{e^t-1}$, on tombe sur $\zeta=\phi_f$ et ses valeurs aux entiers négatifs.
Dom
Re: Théorème
il y a neuf mois
Je ne connais pas bien l’analyse complexe...

Est-ce qu’on a une fonction $f$ telle que $\phi_f=f$ (sur un domaine si restreint soit-il) ?
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
La fonction nulle smiling smiley...
Dom
Re: Théorème
il y a neuf mois
Oui, oui, je me posais la question pour une éventuelle autre.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Je sais. J'ai essayé mais je crois que c'est difficile à trouver si ça existe.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
On a en fait ceci.
Pour $f=\sin$ on aura $$\phi_{\sin}(z)=\frac{\sqrt2^{1-z}\sin\left( \frac{\pi(z-1)}{4}\right)}{z-1}.
$$ On remarque que $\phi_{\sin}$ est presque de même nature que $f$. On voit bien le pôle en $1$.

Et pour $f=\cos$, $$\phi_{\cos}(z)=\frac{\sqrt2^{1-z}\cos\left( \frac{\pi(z-1)}{4}\right)}{z-1}$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Pour $\displaystyle f(t)=e^{\frac{t}{2}}$ $$\phi_f(z)=\frac{2^{z-1}}{z-1}$$
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Ce théorème généralise le prolongement de $\zeta$ pour d'autre type de fonctions. Même si $\zeta$ est très spéciale, si on arrive à appliquer ce théorème à d'autres fonctions qui ont un comportement assez proche de celui de $\zeta$ on aura plus d'informations sur cette dernière.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par L2M.
Re: Théorème
il y a neuf mois
Peut-être que j'aurais une belle application de ton théorème, mais comme tu ne dis rien sur $\phi_f$, je ne peux pas en dire plus....



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Joaopa.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Que veux-tu en savoir ?
Re: Théorème
il y a neuf mois
Si, pour tout $n\in\N$, $u_n=(-1)^n\alpha_n$ avec $(\alpha_n)_n$ croissante positive et $\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(\alpha_n)}n=\beta$ ($\beta\in\R^+$), que peut-on dire de $|\phi_f|_r$ quand $r$ tend vers $+\infty$?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Joaopa.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Citation

L2M
Ce théorème généralise le prolongement de $\zeta$ pour d'autre type de fonctions. Même si $\zeta$ est très spéciale, si on arrive à appliquer ce théorème à d'autres fonctions qui ont un comportement assez proche de celui de $\zeta$ on aura plus d'informations sur cette dernière.

Ceci n'est pas une demande. C'est juste une idée que je partage. Ce n'est même pas un théorème bien présenté même s'il est facile de le bien réécrire et démontrer pour tout ceux qui connaissent un peu d'analyse complexe et veulent le tester même juste pour s'amuser.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
@Joaopa : je ne comprend pas $|\phi_f|_r$.
Re: Théorème
il y a neuf mois
$|\phi_f|_r=\max_{\substack{z\in\mathbb C\\|z|\le r}}|\phi_f(z)|$. Évidemment, on suppose que $\phi_f$ est entière (Si ton théorème est correct, il suffit de prendre $u_0=u_1=u_2=0$)
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Je ne suis pas vraiment fort en analyse complexe. Mais je peux te suivre pour le cas particulier $\frac{\ln(\alpha_n)}n=\beta$. C'est-à-dire $\alpha_n=e^{n\beta}$.
On aura donc
\begin{align*}
\phi_f(-n)&=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} \alpha_k=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} e^{k\beta} \\
\phi_f(-n)&=-\frac1{n+1}\left( 1+ e^{\beta} \right)^{n+1} .
\end{align*} On peut dire sans faire de calcul que
\begin{align*}
\phi_f(z)&=\frac{(1+ e^{\beta})^{1-z}}{z-1} &\text{et}\\
|\phi_f(z)|&=\frac{(1+ e^{\beta})^{1-\Re z}}{|z-1|}
\end{align*}



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Si $\phi_f$ admet un pôle en $1$ (il y a des cas où $\phi_f$ est définie sur tout le plan complexe, selon $f$), $|\phi_f(z)|_r \longrightarrow +\infty$.
Re: Théorème
il y a neuf mois
Seul le cas où $\phi_f$ est entière est intéressante.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Voici un cas où $\phi_f$ est entière. On prend $\alpha_n=ne^{n\beta}$ et $u_n=(-1)^n\alpha_n$.
\begin{align*}
\phi_f(-n)&=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} \alpha_k=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} ke^{k\beta} \\
&=-\sum_{k = 1}^{n+1}\binom{n}{k-1} e^{k\beta}=-\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k} e^{(k+1)\beta} \\
\phi_f(-n)&=-e^{\beta}\left( 1+ e^{\beta} \right)^{n} \\
\phi_f(z)&=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-z} \\
|\phi_f(z)|&=\frac {e^{\beta}}{(1+ e^{\beta})^{\Re z}}
\end{align*} Finalement $\ |\phi_f|_r \longrightarrow e^{\beta}$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Citation

@Joaopa
Seul le cas où $\phi_f$ est entière est intéressante.
Pourquoi est-ce intéressant ?

Citation

@Joaopa
Peut-être que j'aurais une belle application de ton théorème, ...
Laquelle ? smiling smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par L2M.
Re: Théorème
il y a neuf mois
Tant que tu n'auras pas répondu à ma question dans le cas général, ça ne sert à rien de s'attarder.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Si je savais la réponse, je t'aurai répondu depuis. Mais, j'essayerai.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Y a-t-il quelqu'un qui pourrait répondre à la question de @Joaopa ?
Re: Théorème
il y a neuf mois
Il suffit que $F(t)=f(t) e^{-t}$ soit $C^\infty$ en $0$, intégrable sur $[0,\infty)$ et à décroissance rapide en $+\infty$ pour que $$\phi_f(s)- \sum_{k=0}^K \frac{F^{(k)}(0)}{k! (s+k)}=\int_0^\infty t^{s-1} (F(t)-1_{t < 1}\sum_{k=0}^K \frac{F^{(k)}(0)}{k!}t^k)dt$$ converge et soit analytique pour $\Re(s) > -K$ donc que $\phi_f(s)/\Gamma(s)$ soit entière.

Si en plus $F$ est analytique sur $[0,\infty)$ alors on a aussi la version de Riemann $$\forall s,\qquad (e^{-2i\pi (s-1)}-1) \phi_f(s) = \int_C t^{s-1} F(t)dt \qquad\text{ converge et est entière}$$ où $C$ est un contour $+\infty \to e^{-i\pi} \epsilon\to +e^{-2i\pi}\infty$ qui entoure $[0,\infty)$ dans le sens des aiguilles d'une montre.

Quand $F(t) = \frac{t}{e^t-1}$ ou autre fonction méromorphe et bornée, pour $\Re(s) < 0$ on peut refermer le contour en ajoutant un cercle $R_\infty$ de rayon infini pour appliquer le théorème des résidus $$(e^{-2i\pi (s-1)}-1) \phi_f(s) = \int_{C\cup R_\infty} t^{s-1} F(t)dt=2i\pi\sum Res(t^{s-1} F(t))$$ Quand les pôles sont simples en $a_j$ de résidu $c_j$ on a donc $$=2i\pi \sum_j c_j a_j^{s-1}$$ qui est l'équation fonctionnelle.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Théorème
il y a neuf mois
Je ne sais pas ce que Joappa veut dire là [www.les-mathematiques.net]

Si $u_n = o(c^n)$ alors $\sum_n \frac{u_n}{n!} t^n = o(e^{|ct|})$ quand $|t|\to \infty$ mais demander que $u_n = (-1)^n e^{\beta n }(1+o(1))$ et $(-1)^n u_n$ croissante ne permet pas de dire que $\sum_n \frac{u_n}{n!} t^n \to 0$ quand $t\to +\infty$ (essayer avec $e^{-t/2}+e^{t/10^5}$ ou $\sum_n \frac{u_n}{n!} t^n = e^{-\beta n} + \frac1{k!^2} x^k$)



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Théorème
il y a neuf mois
reuns écrivait : [www.les-mathematiques.net]
-------------------------------------------------------
> Il suffit que $F(t)=f(t) e^{-t}$ soit $C^\infty$ en $0$, intégrable sur $[0,\infty)$ et à
> décroissance rapide en $+\infty$ pour que ...

Tu entends quoi par décroissance très rapide ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Théorème
il y a neuf mois
Le terme décroissance rapide ça vient des fonctions Schwartz et des distributions : ça veut dire que $F(t)=f(t) e^{-t}$ décroit plus vite que tout polynôme donc $\int_1^\infty F(t) t^{s-1}dt$ est entière, le seul problème pour $\int_0^\infty F(t) t^{s-1}dt$ c'est donc en $0$ quand $\Re(s)\le 0$ et c'est là qu'on a besoin que $F$ soit $C^\infty$ en $0$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Théorème
il y a neuf mois
Reuns m'a tuer. Ce que je pensais ne marche pas donc.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Joaopa.
Re: Théorème
il y a neuf mois
L2M écrivait:
-------------------------------------------------------
\begin{align*}
\phi_f(-n)&=-e^{\beta}\left( 1+ e^{\beta}
\right)^{n} \\
\phi_f(z)&=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-z} \\
\end{align*}
Qu'est-ce qui te permet de passer de la première à la seconde ligne ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Théorème
il y a neuf mois
@Reuns En passant tu as une référence qui démontre en détails tout ce que tu énonces?
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
@Joaopa : En fait le théorème prolonge une suite de nombres ($\phi_f(-n)$) en une fonction holomorphe sur le plan complexe.
Alors le prolongement naturel et holomorphe de la fonction $\phi_f$ vérifiant $\displaystyle \phi_f(-n)=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-n}$ pour tout $n$ entier est $\displaystyle \phi_f(z)=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{z}$ en remplaçant $-n$ par $z$.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
@Reuns : Tu n'as pas parlé des valeurs de $\phi_f$ aux entiers négatifs.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
La chose la plus importante, à mon avis, qu'on peut déduire de ce théorème est que si la série $$\sum_{n = 0}\binom{1-z}{n}(-1)^n u_n$$ converge pour tout $z\in \mathbb C$, alors $$ \phi_f(z)=\frac1{z-1}\sum_{n = 0}^{\infty}\binom{1-z}{n}(-1)^n u_n. \quad z\in \mathbb C , z\not= 1$$
Le prolongement de $\phi_f$ cette fois est défini sur le plan complexe privé de $1$ par une seule série.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Est-ce que ceci mérite d’être le sujet d'un article ?
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Il me fait penser au Master theorem de Ramanujan. Mais ce n'est pas le même théorème.
Re: Théorème
il y a neuf mois
L2M écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

C'est faux. Il y a des conditions pour qu'une série binomiale soit entière (voir article de Norlund Norlund)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Théorème
il y a neuf mois
L2M écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

C'est encore faux. Il n'y pas unicité de foncions entières qui prennent des valeurs données aux entiers si une telle série existe.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Théorème
il y a neuf mois
Du coup, tu as la réponse à ta question <<Est-ce que ceci mérite d’être le sujet d'un article ? >>
D'autant plus, que ton résultat est une conséquence triviale de ce qu'a écrit Reuns.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
Citation

@Joaopa
C'est faux. Il y a des conditions pour qu'une série binomiale soit entière (voir article de Norlund Norlund)
Ce sont des choses techniques faciles à dépasser. En tout cas la série binomiale que j'ai dans la main et qui prolonge $\zeta$ est entière.

Citation

@L2M : En fait le théorème prolonge une suite de nombres ($\phi_f(-n)$) en une fonction holomorphe sur le plan complexe.
Alors le prolongement naturel et holomorphe de la fonction $\phi_f$ vérifiant $\displaystyle \phi_f(-n)=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-n}$ pour tout $n$ entier est $\displaystyle \phi_f(z)=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{z}$ en remplaçant $-n$ par $z$.

@Joaopa
C'est encore faux. Il n'y pas unicité de foncions entières qui prennent des valeurs données aux entiers si une telle série existe.
Je sais que c'est faux. Mais c'est une manière de donner une idée non formelle sur le théorème.

Citation

@Joaopa
D'autant plus, que ton résultat est une conséquence triviale de ce qu'a écrit Reuns.
@Reuns n'a pas écrit sur la série binomiale qui prolonge $\phi_f$ ni sur les valeur du prolongent aux entiers négatifs. Je suppose que c'est quelque chose de nouveau.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par L2M.
Re: Théorème
il y a neuf mois
Les valeurs aux entiers négatifs je les ai données : c'est $ \frac{\phi_f}{\Gamma}(-k) = (-1)^k k! F^{(k)}(0)/k!$

C'est immédiat que si ça converge $ \frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t}\sum_n u_n \frac{t^n}{n!} dt =\sum_n u_n \frac{\Gamma(z+n)}{n! \Gamma(z)} = \sum_n u_n {z+n-1 \choose n}= \sum_n u_n (-1)^n {- z \choose n}$

L'ensemble de la discussion fait l'objet d'un cours d'analyse complexe mais pas d'un article de recherche,

pour en faire un article il faut trouver une application intéressante à une certaine $f$ qui donnerait un résultat ou un regard nouveau, ou bien trouver une généralisation style série $p$-adiques,

mais la technique de base est habituelle dans le contexte de $\zeta$ et de la transformée de Mellin
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
J'ai trouvé une application pour ce théorème mais je ne sais pas est-ce que c'est intéressant ou non, une fonction $l_z$ dans $\mathbb C$ à variable réelle vérifiant $$l_z(t)=\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{L_n(z)}{n!}t^n \qquad \text{(Le rayon de convergence de cette série est infini)}$$ $(L_n(z))$ est une suite de nombres complexes.
Avec $$\zeta(z)-1=\frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} l_z(t) dt , \quad \Re z > 0.
$$ Qu'on prolonge ensuite sur $\mathbb C$ privé de $1$ par la série $$
\zeta(z)-1=\sum_{n = 0}^{+\infty} \binom{-z}{n}L_n(z).
$$ La seule chose que j'ai pu en extraire est le calcul des valeurs de $\zeta$ aux entiers négatifs.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Théorème
il y a neuf mois
C'est quoi $L_n(z)$ et $l_z(t)$ et $\zeta$.

Je t'ai montré que ça prend une ligne de trouver les valeurs aux entiers négatifs : si $F$ est $C^\infty$ en $0$ et bornée alors pour $\Re(s) \in ]-K,0[$
$$\phi_f(s)- \sum_{k=0}^K \frac{F^{(k)}(0)}{k! (s+k)}=\int_0^\infty t^{s-1} (F(t)-1_{t < 1}\sum_{k=0}^K \frac{F^{(k)}(0)}{k!}t^k)dt$$ converge et est analytique donc $\phi_f(s)$ a un pôle simple en $-k$ de résidu $F^{(k)}(0)/k!$ et donc $\Gamma(s)\phi_f(s)$ est analytique et $\Gamma\phi_f(-k)=(-1)^k F^{(k)}(0)$.

Avec $F(t)= \frac{t}{e^t-1}$ on a le prolongement analytique et les valeurs de $\sum_n n^{-s}$ aux entiers négatifs.
L2M
Re: Théorème
il y a neuf mois
$\zeta$ est la fonction zêta de Riemann.
$(L_n(z))$ est une suite de nombres complexes, définis par une relation de récurrence.
$l_z$ est la fonction génératrice exponentielle des nombres $L_n(z)$. $\displaystyle l_z(t)=\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{L_n(z)}{n!}t^n$.
Re: Théorème
il y a neuf mois
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