Théorème
Bonsoir,
Voici un théorème que je trouve intéressant :
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R^+$ et admettant un développement en série entière au voisinage de $0$, $\displaystyle f(t)=\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{u_n}{n!}t^n$.
Si la fonction $$\phi_f(z)=\frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-2} e^{-t} f(t) dt$$ est définie pour $\Re z>a$ ($a$ quelconque), alors elle admet un prolongement analytique sur tout le plan complexe privé de $1$ et ses valeurs aux entiers négatifs sont données par la relation $$\phi_f(-n)=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^k u_k.$$
Est-ce qu'il a des applications éventuelles importantes ?
Voici un théorème que je trouve intéressant :
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R^+$ et admettant un développement en série entière au voisinage de $0$, $\displaystyle f(t)=\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{u_n}{n!}t^n$.
Si la fonction $$\phi_f(z)=\frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-2} e^{-t} f(t) dt$$ est définie pour $\Re z>a$ ($a$ quelconque), alors elle admet un prolongement analytique sur tout le plan complexe privé de $1$ et ses valeurs aux entiers négatifs sont données par la relation $$\phi_f(-n)=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^k u_k.$$
Est-ce qu'il a des applications éventuelles importantes ?
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Réponses
Si on choisit $\displaystyle f(t)=\frac{te^t}{e^t-1}$, on tombe sur $\zeta=\phi_f$ et ses valeurs aux entiers négatifs.
Est-ce qu’on a une fonction $f$ telle que $\phi_f=f$ (sur un domaine si restreint soit-il) ?
Pour $f=\sin$ on aura $$\phi_{\sin}(z)=\frac{\sqrt2^{1-z}\sin\left( \frac{\pi(z-1)}{4}\right)}{z-1}.
$$ On remarque que $\phi_{\sin}$ est presque de même nature que $f$. On voit bien le pôle en $1$.
Et pour $f=\cos$, $$\phi_{\cos}(z)=\frac{\sqrt2^{1-z}\cos\left( \frac{\pi(z-1)}{4}\right)}{z-1}$$
Ceci n'est pas une demande. C'est juste une idée que je partage. Ce n'est même pas un théorème bien présenté même s'il est facile de le bien réécrire et démontrer pour tout ceux qui connaissent un peu d'analyse complexe et veulent le tester même juste pour s'amuser.
On aura donc
\begin{align*}
\phi_f(-n)&=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} \alpha_k=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} e^{k\beta} \\
\phi_f(-n)&=-\frac1{n+1}\left( 1+ e^{\beta} \right)^{n+1} .
\end{align*} On peut dire sans faire de calcul que
\begin{align*}
\phi_f(z)&=\frac{(1+ e^{\beta})^{1-z}}{z-1} &\text{et}\\
|\phi_f(z)|&=\frac{(1+ e^{\beta})^{1-\Re z}}{|z-1|}
\end{align*}
\begin{align*}
\phi_f(-n)&=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} \alpha_k=-\frac1{n+1}\sum_{k = 0}^{n+1}\binom{n+1}{k} ke^{k\beta} \\
&=-\sum_{k = 1}^{n+1}\binom{n}{k-1} e^{k\beta}=-\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k} e^{(k+1)\beta} \\
\phi_f(-n)&=-e^{\beta}\left( 1+ e^{\beta} \right)^{n} \\
\phi_f(z)&=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-z} \\
|\phi_f(z)|&=\frac {e^{\beta}}{(1+ e^{\beta})^{\Re z}}
\end{align*} Finalement $\ |\phi_f|_r \longrightarrow e^{\beta}$
Laquelle ? :-)
Si en plus $F$ est analytique sur $[0,\infty)$ alors on a aussi la version de Riemann $$\forall s,\qquad (e^{-2i\pi (s-1)}-1) \phi_f(s) = \int_C t^{s-1} F(t)dt \qquad\text{ converge et est entière}$$ où $C$ est un contour $+\infty \to e^{-i\pi} \epsilon\to +e^{-2i\pi}\infty$ qui entoure $[0,\infty)$ dans le sens des aiguilles d'une montre.
Quand $F(t) = \frac{t}{e^t-1}$ ou autre fonction méromorphe et bornée, pour $\Re(s) < 0$ on peut refermer le contour en ajoutant un cercle $R_\infty$ de rayon infini pour appliquer le théorème des résidus $$(e^{-2i\pi (s-1)}-1) \phi_f(s) = \int_{C\cup R_\infty} t^{s-1} F(t)dt=2i\pi\sum Res(t^{s-1} F(t))$$ Quand les pôles sont simples en $a_j$ de résidu $c_j$ on a donc $$=2i\pi \sum_j c_j a_j^{s-1}$$ qui est l'équation fonctionnelle.
Si $u_n = o(c^n)$ alors $\sum_n \frac{u_n}{n!} t^n = o(e^{|ct|})$ quand $|t|\to \infty$ mais demander que $u_n = (-1)^n e^{\beta n }(1+o(1))$ et $(-1)^n u_n$ croissante ne permet pas de dire que $\sum_n \frac{u_n}{n!} t^n \to 0$ quand $t\to +\infty$ (essayer avec $e^{-t/2}+e^{t/10^5}$ ou $\sum_n \frac{u_n}{n!} t^n = e^{-\beta n} + \frac1{k!^2} x^k$)
> Il suffit que $F(t)=f(t) e^{-t}$ soit $C^\infty$ en $0$, intégrable sur $[0,\infty)$ et à
> décroissance rapide en $+\infty$ pour que ...
Tu entends quoi par décroissance très rapide ?
\begin{align*}
\phi_f(-n)&=-e^{\beta}\left( 1+ e^{\beta}
\right)^{n} \\
\phi_f(z)&=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-z} \\
\end{align*}
Qu'est-ce qui te permet de passer de la première à la seconde ligne ?
Alors le prolongement naturel et holomorphe de la fonction $\phi_f$ vérifiant $\displaystyle \phi_f(-n)=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{-n}$ pour tout $n$ entier est $\displaystyle \phi_f(z)=-e^{\beta}(1+ e^{\beta})^{z}$ en remplaçant $-n$ par $z$.
Le prolongement de $\phi_f$ cette fois est défini sur le plan complexe privé de $1$ par une seule série.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
C'est faux. Il y a des conditions pour qu'une série binomiale soit entière (voir article de Norlund Norlund)
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
C'est encore faux. Il n'y pas unicité de foncions entières qui prennent des valeurs données aux entiers si une telle série existe.
D'autant plus, que ton résultat est une conséquence triviale de ce qu'a écrit Reuns.
Je sais que c'est faux. Mais c'est une manière de donner une idée non formelle sur le théorème.
@Reuns n'a pas écrit sur la série binomiale qui prolonge $\phi_f$ ni sur les valeur du prolongent aux entiers négatifs. Je suppose que c'est quelque chose de nouveau.
C'est immédiat que si ça converge $ \frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t}\sum_n u_n \frac{t^n}{n!} dt =\sum_n u_n \frac{\Gamma(z+n)}{n! \Gamma(z)} = \sum_n u_n {z+n-1 \choose n}= \sum_n u_n (-1)^n {- z \choose n}$
L'ensemble de la discussion fait l'objet d'un cours d'analyse complexe mais pas d'un article de recherche,
pour en faire un article il faut trouver une application intéressante à une certaine $f$ qui donnerait un résultat ou un regard nouveau, ou bien trouver une généralisation style série $p$-adiques,
mais la technique de base est habituelle dans le contexte de $\zeta$ et de la transformée de Mellin
Avec $$\zeta(z)-1=\frac1{\Gamma(z)}\int_0^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} l_z(t) dt , \quad \Re z > 0.
$$ Qu'on prolonge ensuite sur $\mathbb C$ privé de $1$ par la série $$
\zeta(z)-1=\sum_{n = 0}^{+\infty} \binom{-z}{n}L_n(z).
$$ La seule chose que j'ai pu en extraire est le calcul des valeurs de $\zeta$ aux entiers négatifs.
Je t'ai montré que ça prend une ligne de trouver les valeurs aux entiers négatifs : si $F$ est $C^\infty$ en $0$ et bornée alors pour $\Re(s) \in ]-K,0[$
$$\phi_f(s)- \sum_{k=0}^K \frac{F^{(k)}(0)}{k! (s+k)}=\int_0^\infty t^{s-1} (F(t)-1_{t < 1}\sum_{k=0}^K \frac{F^{(k)}(0)}{k!}t^k)dt$$ converge et est analytique donc $\phi_f(s)$ a un pôle simple en $-k$ de résidu $F^{(k)}(0)/k!$ et donc $\Gamma(s)\phi_f(s)$ est analytique et $\Gamma\phi_f(-k)=(-1)^k F^{(k)}(0)$.
Avec $F(t)= \frac{t}{e^t-1}$ on a le prolongement analytique et les valeurs de $\sum_n n^{-s}$ aux entiers négatifs.
$(L_n(z))$ est une suite de nombres complexes, définis par une relation de récurrence.
$l_z$ est la fonction génératrice exponentielle des nombres $L_n(z)$. $\displaystyle l_z(t)=\sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{L_n(z)}{n!}t^n$.