Théorème de Cantor
Bonjour
En regardant la démonstration de l'équipotence entre N et Q, où on classe les éléments de Q en sommant numérateur et dénominateur, puis en classant par numérateur croissant, puis en intercalant les mêmes fractions mais avec le signe "moins" puis en numérotant les fractions ainsi classées, j'ai pensé à quelque chose qui me semble équivalent, mais qui m'amène à un résultat faux : pouvez-vous me dire où est mon erreur ?
Merci !
Soit N l'ensemble des entiers naturels, P(N) l'ensemble des parties de N.
Classons les éléments de P(N) dans un tableau.
Les lignes correspondent à la somme des éléments de ces éléments de P(N). Par exemple {1, 3} est dans la ligne 4 ; {0, 52 ; 458} est dans la ligne 510, {0,1,2,3,4,5,6,7,8} est dans la ligne 36.
Ensuite, dans chaque ligne, on range par ordre de nombre d’éléments, puis par ordre croissant du premier, puis du second, etc.
Par exemple,
dans la ligne 1, on a d’abord {1} qui n’a qu’un élément, puis {0,1} qui en a deux.
dans la ligne 3, on a {3}, puis{0,3} et{1,2} qui en ont 2 et {0,1,2} qui en a trois.
Tous les éléments de P(N) ont ainsi une place dans une case de ce tableau
Exemple : {5, 24, 30} est dans la ligne 59, exactement entre {5, 23, 31} et {5, 25, 29} et il n’y a aucun élément de P(N) qui s’intègre entre {5, 24, 30} et {5, 25, 29}
Chaque ligne contient évidemment un nombre fini d’éléments de P(N) - il n'y a qu'un nombre fini de combinaisons d'entiers dont la somme donne un entier donné- . Voilà le début du tableau, on peut le poursuivre tant qu’on veut
ligne 0 : {0}
ligne 1 : {1} {0, 1}
ligne 2 : {2} {0, 2}
ligne 3 : {3} {0, 3} {1, 2} {0, 1, 2}
ligne 4 : {4} {0, 4} {1, 3} {0, 1, 3}
ligne 5 : {5} {0, 5} {1, 4} {2, 3} {0, 1, 4} {0, 2, 3}
ligne 6 : {6} {0, 6} {1, 5} {2, 4} {0, 1, 5} {0, 2, 4} {1, 2, 3} {0, 1, 2, 3}
À partir de là, rien ne m’interdit de numéroter chaque case non vide de ce tableau de la manière suivante :
ligne 0 : 1
ligne 1 : 2, 3
ligne 2 : 4, 5
ligne 3 : 6, 7, 8, 9
ligne 4 : 10, 11, 12, 13
ligne 5 : 14, 15, 16, 17, 18, 19
ligne 6 : 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
... et de continuer ainsi de suite, créant ainsi une bijection entre N et P(N) donc N est équipotent à P(N) ... ce qui est contraire au théorème de Cantor.
En regardant la démonstration de l'équipotence entre N et Q, où on classe les éléments de Q en sommant numérateur et dénominateur, puis en classant par numérateur croissant, puis en intercalant les mêmes fractions mais avec le signe "moins" puis en numérotant les fractions ainsi classées, j'ai pensé à quelque chose qui me semble équivalent, mais qui m'amène à un résultat faux : pouvez-vous me dire où est mon erreur ?
Merci !
Soit N l'ensemble des entiers naturels, P(N) l'ensemble des parties de N.
Classons les éléments de P(N) dans un tableau.
Les lignes correspondent à la somme des éléments de ces éléments de P(N). Par exemple {1, 3} est dans la ligne 4 ; {0, 52 ; 458} est dans la ligne 510, {0,1,2,3,4,5,6,7,8} est dans la ligne 36.
Ensuite, dans chaque ligne, on range par ordre de nombre d’éléments, puis par ordre croissant du premier, puis du second, etc.
Par exemple,
dans la ligne 1, on a d’abord {1} qui n’a qu’un élément, puis {0,1} qui en a deux.
dans la ligne 3, on a {3}, puis{0,3} et{1,2} qui en ont 2 et {0,1,2} qui en a trois.
Tous les éléments de P(N) ont ainsi une place dans une case de ce tableau
Exemple : {5, 24, 30} est dans la ligne 59, exactement entre {5, 23, 31} et {5, 25, 29} et il n’y a aucun élément de P(N) qui s’intègre entre {5, 24, 30} et {5, 25, 29}
Chaque ligne contient évidemment un nombre fini d’éléments de P(N) - il n'y a qu'un nombre fini de combinaisons d'entiers dont la somme donne un entier donné- . Voilà le début du tableau, on peut le poursuivre tant qu’on veut
ligne 0 : {0}
ligne 1 : {1} {0, 1}
ligne 2 : {2} {0, 2}
ligne 3 : {3} {0, 3} {1, 2} {0, 1, 2}
ligne 4 : {4} {0, 4} {1, 3} {0, 1, 3}
ligne 5 : {5} {0, 5} {1, 4} {2, 3} {0, 1, 4} {0, 2, 3}
ligne 6 : {6} {0, 6} {1, 5} {2, 4} {0, 1, 5} {0, 2, 4} {1, 2, 3} {0, 1, 2, 3}
À partir de là, rien ne m’interdit de numéroter chaque case non vide de ce tableau de la manière suivante :
ligne 0 : 1
ligne 1 : 2, 3
ligne 2 : 4, 5
ligne 3 : 6, 7, 8, 9
ligne 4 : 10, 11, 12, 13
ligne 5 : 14, 15, 16, 17, 18, 19
ligne 6 : 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
... et de continuer ainsi de suite, créant ainsi une bijection entre N et P(N) donc N est équipotent à P(N) ... ce qui est contraire au théorème de Cantor.
Réponses
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Bonjour,
Tu n'as numéroté que les parties finies de $\mathbb{N}$ ! Elles sont bien en nombre dénombrable, mais quand on rajoute les parties infinies de $\mathbb{N}$, on obtient un ensemble $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ indénombrable.
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Bonjour!
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