Sommes infinies et zêta de Riemann
Réponses
-
Ta série ne converge pour aucun $z$ non entier $\le 1$.
$| B_n|$ croit très vite parce que $\frac{x}{e^x-1}=\sum_n \frac{B_n}{n!} x^n$ a un rayon de convergence $2\pi$
On peut estimer précisément $B_n$ en utilisant
\begin{align*}
\frac1{e^x-1}&= \frac1x + \frac{-1}2 + \sum_{k\ge 1}\frac1{x-2i\pi k}+ \frac1{x+2i\pi k}\\
&=\frac1x + \frac{-1}2 +\sum_{k\ge 1}\frac1{2i\pi k}\sum_{n\ge 0} (x/2i\pi k)^n\\
&= \frac1x + \frac{-1}2 + \sum_{n \ge 1} x^{2n-1}(2i\pi)^{-2n} 2 \zeta(2n)
\end{align*} De la même façon le rayon de convergence de $(1+x)^{1-z}=\sum_{n\ge 0} { 1-z \choose n} x^n$ c'est $1$ et $\log { 1-z \choose n} \sim (1-z)\log n$ -
C'est ce que dit le titre.
Des fois par exemple on exprime le prolongement analytique de $\zeta$ sur le demi plan $\Re z \leq 1$ par : $$1+2+3+4+... = \zeta(-1)=-\frac 1 {12}$$ même si la série est divergente. C'est ce que j'essaye d'exprimer par la somme infinie dans le premier message. -
Non pas du tout.
Tu sais déjà quelle transformation $T$ tu dois appliquer à $f_N(z)=\frac1{z-1}\sum_{n = 0}^N\binom{1-z}{n}B_n$ pour que $\lim_{N\to \infty} T f_N$ converge, c'est via cette transformation que tu as obtenu cette série : $T\frac1{1-z} \binom{1-z}{n} =\mathcal{M}^{-1}[\Gamma(z) \frac1{1-z} \binom{1-z}{n}]$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres