Sommes infinies et zêta de Riemann

Ta série ne converge pour aucun $z$ non entier $\le 1$.

$| B_n|$ croit très vite parce que $\frac{x}{e^x-1}=\sum_n \frac{B_n}{n!} x^n$ a un rayon de convergence $2\pi$

On peut estimer précisément $B_n$ en utilisant
\begin{align*}
\frac1{e^x-1}&= \frac1x + \frac{-1}2 + \sum_{k\ge 1}\frac1{x-2i\pi k}+ \frac1{x+2i\pi k}\\
&=\frac1x + \frac{-1}2 +\sum_{k\ge 1}\frac1{2i\pi k}\sum_{n\ge 0} (x/2i\pi k)^n\\
&= \frac1x + \frac{-1}2 + \sum_{n \ge 1} x^{2n-1}(2i\pi)^{-2n} 2 \zeta(2n)

\end{align*} De la même façon le rayon de convergence de $(1+x)^{1-z}=\sum_{n\ge 0} { 1-z \choose n} x^n$ c'est $1$ et $\log { 1-z \choose n} \sim (1-z)\log n$

Non pas du tout.

Tu sais déjà quelle transformation $T$ tu dois appliquer à $f_N(z)=\frac1{z-1}\sum_{n = 0}^N\binom{1-z}{n}B_n$ pour que $\lim_{N\to \infty} T f_N$ converge, c'est via cette transformation que tu as obtenu cette série : $T\frac1{1-z} \binom{1-z}{n} =\mathcal{M}^{-1}[\Gamma(z) \frac1{1-z} \binom{1-z}{n}]$