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Sommes infinies et zêta de Riemann

Envoyé par L2M 
L2M
Sommes infinies et zêta de Riemann
il y a quatre mois
Bonsoir,

Pour tout $z \in \mathbb C , \quad z\not=1$ $$\zeta(z)=\frac1{z-1}\sum_{n = 0}^{\infty}\binom{1-z}{n}B_n$$
Re: Sommes infinies et zêta de Riemann
il y a quatre mois
Ta série ne converge pour aucun $z$ non entier $\le 1$.

$| B_n|$ croit très vite parce que $\frac{x}{e^x-1}=\sum_n \frac{B_n}{n!} x^n$ a un rayon de convergence $2\pi$

On peut estimer précisément $B_n$ en utilisant
\begin{align*}
\frac1{e^x-1}&= \frac1x + \frac{-1}2 + \sum_{k\ge 1}\frac1{x-2i\pi k}+ \frac1{x+2i\pi k}\\
&=\frac1x + \frac{-1}2 +\sum_{k\ge 1}\frac1{2i\pi k}\sum_{n\ge 0} (x/2i\pi k)^n\\
&= \frac1x + \frac{-1}2 + \sum_{n \ge 1} x^{2n-1}(2i\pi)^{-2n} 2 \zeta(2n)

\end{align*} De la même façon le rayon de convergence de $(1+x)^{1-z}=\sum_{n\ge 0} { 1-z \choose n} x^n$ c'est $1$ et $\log { 1-z \choose n} \sim (1-z)\log n$



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
L2M
Re: Sommes infinies et zêta de Riemann
il y a quatre mois
C'est ce que dit le titre.
Des fois par exemple on exprime le prolongement analytique de $\zeta$ sur le demi plan $\Re z \leq 1$ par : $$1+2+3+4+... = \zeta(-1)=-\frac 1 {12}$$ même si la série est divergente. C'est ce que j'essaye d'exprimer par la somme infinie dans le premier message.
Re: Sommes infinies et zêta de Riemann
il y a quatre mois
Non pas du tout.

Tu sais déjà quelle transformation $T$ tu dois appliquer à $f_N(z)=\frac1{z-1}\sum_{n = 0}^N\binom{1-z}{n}B_n$ pour que $\lim_{N\to \infty} T f_N$ converge, c'est via cette transformation que tu as obtenu cette série : $T\frac1{1-z} \binom{1-z}{n} =\mathcal{M}^{-1}[\Gamma(z) \frac1{1-z} \binom{1-z}{n}]$
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