Puissance des entiers naturels
Bonjour
Permettez-moi avant tout de vous saluer et de vous proposer une nouvelle méthode de calcul des puissances des entiers naturel Nx sans multiplier l'entier par lui même. On est habitué pour calculer par exemple 134 = 28561 de multiplier 13 par 13 = 169 puis 169 x 169= 28561. Par cette méthode qui nous offre plusieurs voies de calcul est déduite que par des calculs conduisant à une formule générale avec un algorithme, on passe pas par 13 x 13, on passe par un autre chemin. 28561 = 14443 + 14118 = 14443 + 1086 x 13.
Cette méthode dite "calcul des puissance par décalage" a été confirmé juste et vraie, quelque soit N et x. le plus beau dans cette méthode est que le N de départ est présent pendant tout le processus de calcul. dans l'exemple 134, le 14443 sans 444 est 13. le 14118 est 1086 x 13. et le mieux c'est ce rangement et cette répétition des chiffres qui va vous paraître mystérieuse. Vous pouvez par une calculatrice vous assurer des calculs en poursuivant correctement le chemin des calculs dans la formule présentée par les pièce jointe.
Je reste disponible aux intéressés, surtout aux informaticiens pour trouver un algorithme mieux que celui de l'ancienne méthode.
Cordialement.
Permettez-moi avant tout de vous saluer et de vous proposer une nouvelle méthode de calcul des puissances des entiers naturel Nx sans multiplier l'entier par lui même. On est habitué pour calculer par exemple 134 = 28561 de multiplier 13 par 13 = 169 puis 169 x 169= 28561. Par cette méthode qui nous offre plusieurs voies de calcul est déduite que par des calculs conduisant à une formule générale avec un algorithme, on passe pas par 13 x 13, on passe par un autre chemin. 28561 = 14443 + 14118 = 14443 + 1086 x 13.
Cette méthode dite "calcul des puissance par décalage" a été confirmé juste et vraie, quelque soit N et x. le plus beau dans cette méthode est que le N de départ est présent pendant tout le processus de calcul. dans l'exemple 134, le 14443 sans 444 est 13. le 14118 est 1086 x 13. et le mieux c'est ce rangement et cette répétition des chiffres qui va vous paraître mystérieuse. Vous pouvez par une calculatrice vous assurer des calculs en poursuivant correctement le chemin des calculs dans la formule présentée par les pièce jointe.
Je reste disponible aux intéressés, surtout aux informaticiens pour trouver un algorithme mieux que celui de l'ancienne méthode.
Cordialement.
Réponses
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Je n'ai rien compris, mais le résultat proposé est de mauvaise qualité de toute façon, puisqu'il semble qu'il faut faire $\simeq x$ calculs pour calculer $N^x$, alors qu'avec la méthode "habituelle" https://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_rapide il faut en faire $\simeq \log(x)$.
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Tout est correct. Suivre le chemin de calcul tout simplement. 12 x 1= 12. 12 + 21 = 33 et 33 + 111 = 144.
13 × 2 = 26 et 26 + 32 = 58 puis 58 + 111 = 169. -
@kader2020 : marsup ne te dit pas que ton calcul est faux, il te dit simplement qu'il est (beaucoup) plus long que l'algorithme d'exponentiation rapide classique.
@marsup : si tu n'as rien compris, on est deux -
Peux tu redétailler le calcul avec $97^4$ par exemple ? ou bien avec $914^5$ ?
Ici tu prends des exemple à partir de 11 , 12 et 13 ... soit, mais il y a aussi des entiers natures qui sont plus grands que 20, ou plus grands que 100. Comment cette méthode marche-t-elle dans ce cas ?
Par ailleurs tu dis que cette méthode dite 'calcul des puissance par décalage" est reconnue. Reconnue par quel organisme ?
Comment se fait-il que Google soit passé à côté de cette information ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
lorsque l'entier contient deux chiffres comme 12, 24, 87, les entiers moins de 100 on décale d(une case.et on additionne une fois pour le carré, 122 = 132 + 12. deux foix pour le cube. 123= 1332 + 396, trois fois pour puissance 4. 124 = 13332 + 7404...
De 100 à 1000 on dessale de deux cases; deux fois pour le carré; 1242= :12524 + 2852 ou 12524 + 12524 + 23 x 124., Trois fois pour le cube 1243= 1252524 + 654100 = 1252524 + 124 x 5275.
974 = 88529281 = 107767 + 88421514 = 107767 + 97 x 911562 -
Pour cette méthode, il y'a plusieurs voies de calcul. et je cherche quelqu'un qui peut rendre l'algorithme plus court. voici une troisième voie de calcul.
- Courte ou longue, cette méthode peut vérifier l'autre. deux chemins qui mènent au mémé point.
- cette méthode représente une reproduction et répétition des chiffres qui pour le calcul mental nous rassure qu'on est sur le bon chemin.
125= 12 x 12 = 144 puis 144 x 144 = 20736 puis 20736 x 12 = 248832
125= 133332 + 115500 = 133332 + 12 x 9625 avec 9625 = 124- 11111: En tout cas le 12 ne s’absente pour longtemps.
- Bien que le monde des chiffres est abstrait, inerte sans vie, sans beauté. lorsque vous enfoncer dans les calculs des tableaux mosaïques: de chiffres vont régulièrement apparaître et régulièrement disparaître disparaître. comme reproductions de motif dans un tableau ou les chiffres sont des tesselles; une certaine beauté quoi. regarder les calculs dans 1332 jpg -
Il parait que cette méthode prometteuse n’intéresse personne.
Je continue seul. -
Tu dis en fait :
924*924=924*101+un nombre qui est lui aussi un multiple de 924
924*924*924= 924*10101+ un nombre qui est aussi un multiple de 924
etc etc.
Oui, c'est exact. Et ça ce généralise systématiquement.
Tu dis que cette méthode est prometteuse. Soit, mais elle promet quoi ? Rien du tout.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
J'ai tout un document word que je n'ai pas pu télécharger sur cette fenêtre de discussion à cause des caractères qui comportent des indices et exposants en même temps. Ce document comporte les explications nécessaires. Cette méthode promet de calculer N puissance x quelque soit N et x en 5 ou 6 opérations seulement. Trois additions et 3 multiplications et par des chiffres qui se répètent.
-
Montre nous pour 524335.
En 5 ou 6 opérations, bien sûr.
NB : maple me donne le résultat en moins d'un dixième de seconde. -
Bonjour
En Python 3.7, dans Pyzo.a=process_time() for k in range(100000): x=5243**35 b=process_time() print(b-a)donne $0.109375$ comme résultat.
Cordialement,
Rescassol. -
vous cherchez le résultat ou la méthode.
524824824.............8243. le nombre 24 répété 34 fois. le motif de calcul c'est 101000.
542335= 52482......8243 + 1001000 x (843234 - 1001001001001001.....001000
Ne vous étonnez pas. on peut avoir ces chiffres par calcul mental.
La méthode consiste à transformer Nx en somme de trois termes: Nx= A indice N de x + B indice N de x. Le A indice N de x on peut l'avoir juste en regardant N et x par calcul mental. Le B indice de x peut être par plusieurs voies de calcul soit en produit de deux termes ou la somme de deux produits. l'habituelle méthode est une route nationale: pour de aller de 122144 à 248832 il faut passer par le centre ville de 20736. la méthode que je propose on s'en passe des centres-villes ; il y'a des bretelles si on veut. voir la presentation de 12x ou 13x comme exemples. -
Bonjour,
Tu n'as pas répondu à la question de Gérard: $5423^{35}$ en $5$ ou $6$ opérations.
Cordialement,
Rescassol -
Bonjour,
Ta méthode devrait donner
$5423^{35}=4993282705135831348251609573214380903637450049307954491627$
$1285976783119612589754176947721660941648017962393173823862556179935333007$
Cordialement,
Rescassol -
Vous doutez de la méthode ou vous voulez parier! Voici la formule générale et vous pouvez la suivre. et celui qui veut lui attribuer un algorithme; c'est ce que je cherche. il y'a plusieurs voies de calcul.
Cette méthode consiste à mettre N puissance x en deux termes. A indice N+ B indice N. le terme A indice N on le déduire directement de N. par calcul mental. Le Terme B indice N peut être calculé par le produit de deux termes ou la somme de deux produits.
la méthode habituelle est une route nationale pour passe à 12 puissance 5; 24882, il faut passer par le centre ville de 20736. alors par cette méthode on ne passe pas par les centre villes; une autoroute. regarder l'autoroute de 12x: 12 x 1 + 21)12 + 221)12 + 2221)12 + 22221)12 + 222221)12, seuls les bretelles vous dévient vers la ville demandée a condition bien sur de savoir interpréter les indications. -
Une méthode où on ne multiplie jamais par lui-même le nombre qu'on élève à une puissance.
Sur un exemple:
$\displaystyle 13^4=(10+3)^4=\sum_{n=0}^4 \binom{4}{n}3^n\times 10^{4-n}$
Les nombres $\binom{4}{n}$ peuvent être obtenus par des additions (loué soit Pascal !)
Multiplier par dix revient à rajouter un $0$ à la droite du nombre entier qui est multiplié par $10$.
Il ne reste plus qu'à calculer $3^2,3^3,3^4$, à multiplier par un coefficient binomial, multiplier par une puissance de $10$ et à faire des additions à la fin.
Cette méthode n'a pas grand intérêt algorithmique me semble-t-il. -
Bonjour
Ça ne sert à rien de répéter les mêmes choses.
On te demande seulement de traiter complètement l'exemple $5423^{35}$ en $5$ ou $6$ étapes.
Cordalement,
Rescassol -
Rescassol:
Etape veut dire addition ou multiplication de deux nombres j'imagine.
Car autrement ce que tu demandes je le fais en une seule étape. B-)- -
Que penses-tu, je t'envoies les termes des opérations et toi tu fais les calculs pour que tu se rassures.
-
Bonjour,
Non, ce n'est pas à moi de faire ton boulot.
Fais le et montre le nous.
Cordialement,
Rescassol -
Bon,
pas de réponse sérieuse = pas de sérieux dans cette "méthode"
Pire :
"542335= 52482......8243 + 1001000 x (843234 - 1001001001001001.....001000 " X:-(
Pour calculer 542335 il faut écrire un très grand nombre, puis calculer 843234 et ce n'est pas encore fini, les 5 ou 6 opérations sont déjà presque là et on n'a pas avancé (calculer 843234 est quasiment aussi compliqué que calculer le nombre de départ.
Donc pas seulement du manque de sérieux : des affirmations fausses et une prétention illimitée ! -
Question « bête » (je dis ça car je n’ai pas du tout regardé de près la méthode. L’arrogance et les mathématiques, c’est souvent incompatible...) :
Qu’est-ce que la méthode donne en base deux ?
C’est simple ? C’est moche ? C’est long ? C’est génial ? -
C'est sans doute long, car
"542335= 52482......8243 + 1001000 x (843234 - 1001001001001001.....001000 "
et déjà bien plus long que la méthode toute bête
542335 = 542334 x 5423
Déjà considérée par tous les calculateurs sérieux comme inutilement longue
Cordialement. -
Bon, et est-ce que ça marche pour $0^0$ ?
-
Il ne reste qu'un seul terme à formuler et le calcul de Nx peut se faire en 4 ou 5 opérations de calcul pour quelque soit N et quelque soit x. Ce qui est valable pour 12x et 13x est valable pour Nx.
Cette méthode à été approuvée et appuyé par un algorithme d'une voie de calcul. Qui veut l'algorithme peut m'envoyer son email. -
6 pages de baratin, mais nulle part le calcul effectif de 542335 en 5 ou 6 opérations.
Lamentable !! -
C'est d'une complexité folle.
Pour calculer $13^5$ par exemple, il semble bien plus économique de calculer $13^2=169$ puis $(13^2)^2=169^2=28\,561$ et de multiplier le résultat par $13$ pour obtenir $371\,293$. -
Math Coss: oui, mais cela t'ôte le plaisir d'écrire six pages de calligraphie qui en jettent aux yeux de ceux qui sont peu familiers avec la matière. B-)
PS:
Je suis prêt à parier que Kader n'a jamais entendu parler de l'algorithme d'exponentiation rapide et qu'il n'est pas tellement intéressé à le connaître. -
Fin de partie
Avez-vous une autre méthode autre que l'exponentiation pour vérifier le calcul de Nx ?[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Étant donné que c'est la méthode (exponentiation rapide) qui utilise le moins d'opérations, inutile de chercher des méthodes compliquées. 7 multiplications pour calculer 542335, c'est mieux que 3 opérations pour trouver 542335 en fonction de 843234 qu'il reste à calculer (ton message ci-dessus)Kader0000 a écrit:Avez-vous une autre méthode autre que l'exponentiation pour vérifier le calcul de Nx?
Quelle méthode idiote !!!
Et tu nous prends pour des quiches, à insister sur cette méthode folle sans te renseigner sur les méthodes connues et efficaces.
Et tu as menti en disant qu'il suffisait de 5 ou 6 opérations, vu que depuis 2 jours tu n'a pas fait ces 5 ou 6 opérations, et parlé d'autre chose. Si ce n'était pas un mensonge, tu aurais écrit ici les 5 ou 6 opérations. -
Je viens de vous dire qu'il reste seulement à formuler le (H N de x), et le N sera cerné pour quelque soit N et quelque soit x. Le A et le G on les déduit yeux fermés à partir de N.
Sur la page 6 (la formule en rouge): Nx = A + B = A + G + H et non pas NX = A + H = A + G + H
Je m'excuse. -
gerard0 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1921278,1928310#msg-1928310
Tu n'as même pas compris de quoi je parle et tu commentes. As-tu compris cette méthode. formules-nous 16x6 par la méthode dont je te parle ? Tu cherches à m’égarer et non pas me comprendre.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD] -
Tu parles de 166 ? Pourquoi utiliser ta méthode compliquée alors que le calcul se fait en 3 multiplications ? Regarde :
16*16 = 256 (16²)
256*256 = 65 536 (164)
65 536*256 = 16 777 216 fini !
Tu es vraiment ridicule !! Et tu me prenais vraiment pour une quiche !!
J'ai une petite idée de ta méthode, elle est vraiment absurdement compliquée dès que ce sont des grands nombres. Tu n'as pas été capable de faire le calcul proposé, tu as continué à baratiner !! -
166= 177776 + 66665 x 13 + 54425 x 162
le 177776 et 66665 ont les déduit yeux fermés. il reste le 54425 x 256. il est de même pour ce terme, on peut le déduire à partir de N.
Que voulez-vous de plus ? Le 54425 = 164- 11111 et on peut aller loin. on n'a pas besoin d’intermédiaire. -
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
gerard0 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1921278,1928320#msg-1928320
Un peu de respect SVP. Me traiter de ridicule ! J'ai une méthode (une marchandise autrement dit) à exposer. Ça te plaît merci, ça ne te plaît pas merci.
166= 1777776 + 66665 * 13 + 54425 x 256 avec 54425 = 164 - 11111 -
Hold on! Deux objections.
- Comment a-t-on calculé $16^4$ ?
- Une fois calculé $16^4$, pourquoi retranche-t-on $11\,111$ avant de calculer $54\,425\times16^2$ plutôt que calculer directement $65\,536\times16^2$ ?
-
C'est tout à fait logique. Parce que vous n'avez pas lu la page 1 des calligraphies ; ni compris la méthode c'est pour cela qu'elle vous parait compliquée.
-
Bon,
Le forum Shtam a été créé en partie pour que l'on ne s'évertue pas à s'énerver sur les aveuglements de l'auteur d'un propos.
Allez, j'interviens.
Au lieu d'appeler cela "méthode géniale et meilleure que toutes les autres" ne pourrait-on pas dire que c'est amusant de voir comme avec les puissances, on peut trouver une décomposition où les nombres utilisés (144443) ou encore (1111111) ont une écriture avec plusieurs chiffres consécutifs égaux.
Autrement dit : Purée ! C'est drôle ça.
Avez-vous une explication ?
Un meilleur moyen d'intéresser :
a) "je ne parviens pas à écrire formellement mon algorithme, quelqu'un peut-il m'y aider" ?
b) "comment démontrer que cette décomposition est bonne quels que soient les nombres choisis et la puissance choisie ?"
Sinon, bah tu vas en effet finir par discuter tout seul.
Pour ma part, décoder des clichés ne m'intéresse pas et j'en déduis donc que tu ne sais pas expliciter ton algorithme pour tout entier et toute puissance.
Ainsi, je n'ai pas parfaitement compris en n'utilisant uniquement tes messages et clichés.
Cordialement
Dom -
On en est déjà à 2 multiplications et 2 additions et il reste le travail pour obtenir 256 et 54425.
Donc un calcul simple à condition d'avoir déjà des produits tout prêts, qui demandent encore du travail pour les obtenir. Kader0000 cache la poussière sous le tapis ... mais comme c'est une grosse poussière, ça se voit !! Moi, j'ai tout montré.
Même sur cet exemple simple, c'est ridiculement compliqué. On attend toujours un exemple sérieux à plus de 2 chiffres (il y a des tables de puissance pour les nombres de 1 à 100, c'est encore plus rapide !) -
Attention.Kader a écrit:Ces nombres 11 , 111, 1111 représente le motif ou la mosaique ...
Ces nombres 11 , 111, 1111 ne sont corrects que dans un nombre très limité de cas.
Dès que le nombre N n'est plus entre 10 et 99, ce n'est plus valable.
Mais ce n'est pas la peine de corriger. Ta méthode est une méthode complexe pour faire un calcul qui se fait simplement avec les outils classiques.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Sur la figure dessous. prenez N = 16, Le A indice N = 176 pour le 16 au carré, le 1776 pour le N au cube, le 17776 pour le N puissance 4 et ainsi de suite. le dN c'est 111 pour le carré, 1111 pour le cube, 11111 pour puissance 4 .... .Et vous suivez le chemin et vous pouvez calculer n'importe quel 16x sans passer par 16x-1 ou 16x-n. Avec un peu de pratique vous y habituez. le coefficient c est un coefficient de classement: le 12 c'est 1, le 13 c'est 2, le 14 c'est 3 et ainsi de suite. C = N - 11 pour les entiers naturels entre 11 et 100.
Remarquer que vous avez deux voies de calcul. l'une par 111, 1111, 11111, ....l'autre par A indice N. C'est très facile.
16 x 5 = 80. si vous descendez en bas et vous ajouter 176 à 80 vous aurez 162 par une premiere voie. si vous continuez vous ajouter à 80 le (176 - 111) = 80 + 65 = 165. en vous dirigeant vers le haut et vous ajoutez 111 vous aurez 165 + 111 et vous obtenez 162. si vous continuez tout droit et vous multipliez le 145 x 16= 2320 en vous descendant vers le bas et vous ajoutez 1776 vous aurez 163 et si avant d’ajouter 1776 vous ajoutez 665 qui est égale à 1776 - 1111 et vous diriger vers le haut en ajoutant 1111 vous aurez aussi le 163 et vous continuez..... -
Un peu de patience Monsieur. on a dit dans la page 1 que 11, 111, 1111, 111111... sont les motifs qui maintiennent les calculs et aussi responsable de la reproduction et la répétition des mêmes chiffres 1777773 6666665 3333332 . 444444444444443. à partir de 100 à 10000 il y'a les motifs 1001 et puis 100101....
-
Monsieur vous avez par la méthode d'exponentiation: 166= 16 x 16 = 256 puis 256 x 256 = 65536 puis 65536 x 256= 16777216. qui vous dit que ce résultat est juste? à partir où vous quittez le 16 vous aurez des chiffres qui n'ont pas d'indice de reference où il serait difficile de revenir en cas de faute
Par contre par cette méthode il est au moins possibilité de se réviser.
166= 1777776 + 66665 * 13 + 54425 * 256
avec une première voie de calcul 54425 = 164 - 11111 -
Bonjour,
On attend toujours $5423^{35}$ en $5$ ou $6$ opérations.
Tant que tu ne traiteras pas cet exemple, ton discours sera du $\pi$-pô.
Cordialement,
Rescassol -
Ou la cause du riz-$\varphi$-$\varphi$ !
-
Essayons de calculer $5423^2$, sans calculatrice, et sans poser les calculs de la façon classique. A défaut de calculer $5423^35$ , je ne suis pas masochiste à ce point.
On sait que $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On va exploiter ça, avec a = 5423 et b=77; pourquoi choisir b=77 ? Parce qu'on a le droit d'être astucieux.
$5423^2 = (5423-77)(5423+77)+ 77^2=5346*5500+ 77^2$
$5346*5500=5346*5*11*100=5346/2*11*1000=2673*11*1000=29403*1000 = 29 403 000$
$77^2 =(80-3)^2=6400-6*80+9=5929$
$5423^2=29 403 000+ 5 929=29 408 929$
J'ai pu me tromper, mais je suis assez confiant.
Maintenant, essayons la méthode de Kader. Honnêtement. Peut-être que ça va aller plus vite ?
$5423*5423=5423*1001+5423*4422$
Le premier calcul, 5423*1001 est très simple, certes. ça donne 5428423. Ok, cette partie est immédiate.
Maintenant, il faut multiplier 5423 par 4422.
Ici, ça tombe très bien ; ça saute aux yeux que $4422=402*11$ Et du coup, la multiplication de 5423 par 4422 peut s'envisager par un calcul de tête, avec ces 2 étapes.
$5423*402 = 5423*4*100 + 5423*2 = 21 692*100+10 846 =2 169 200+10 846=2 180 046$
$5423*4422=2 180 046*11 = 23 980 506$
Et il reste l'addition
$5 428 423+23 980 506= 29 408 929$
On retrouve la même chose. Bonne nouvelle !
Et sur cet exemple, les calculs ont été plus simples avec la 2ème méthode qu'avec la 1ère. Mais c'est un gros coup de chance !
Le 2ême calcul a été simple, parce que, énorme coup de chance, la multiplication par 4422 est une multiplication 'facile'.
Avec la 1ère méthode, en choisissant de passer par a^2-b^2, j'ai la possibilité de choisir la bonne valeur de $b$ qui va bien m'arranger. Ici, j'ai choisi 77, parce que ça me menait vers une multiplication 5500*5346, et je savais par avance que cette multiplication serait plus simple que la multiplication initiale.
On peut inventer des méthodes alternatives pour calculer $a^2$ ou $a^3$. Aucun doute là-dessus. Je viens de l'illustrer.
Je suis convaincu que ma méthode est 10 fois plus efficace que la méthode proposée par Kader.
Mais je suis aussi convaincu que ma méthode n'a aucun intérêt.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Mais elle est jolie et astucieuse. Quand tu l'as utilisée, il y a quelques mois (et probablement avant), je m'en suis voulu de ne jamais y avoir pensé.
Amicalement.
Cette discussion a été fermée.
Bonjour!
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