Conjecture du coureur solitaire (exercice)

Salut aux intervenants.

$\Big[\dfrac{441}{368}; \dfrac{951}{792}\Big]$ est un autre intervalle de temps pendant lequel $c_1$ est solitaire.

Si $x_1, x_2, \cdots, x_8$ sont respectivement les distances parcourues par les coureurs $c_1, c_2, \cdots, c_8$ à l'instant $t = \dfrac{951}{792}$, on a:

$x_1 = \dfrac{951}{792} = 1 + \dfrac{159}{792}, x_2 = 4 + \dfrac{636}{792}, x_3 = 8 + \dfrac{1272}{792} = 9 + \dfrac{480}{792}, x_4 = 13 + \dfrac{2067}{792} = 15 + \dfrac{483}{792}, x_5 = 20 + \dfrac{3180}{792} = 24 + \dfrac{12}{792}$

$x_6 = 30 + \dfrac{4770}{792} = 36 + \dfrac{18}{792}, x_7 = 47 + \dfrac{7473}{792} = 56 + \dfrac{345}{792}, x_8 = 100 + \dfrac{15900}{792} = 120 + \dfrac{60}{792}$.

On vérifie facilement que $c_1$ est à une distance égale à $\dfrac18$ de $c_8$ et $\gt\dfrac18$ de chacun des six autres coureurs, sur la piste circulaire.

Cordialement.

Salut.

Oui @Tonm, il suffit d'avoir un instant $t_{c_i}$ où $c_i$ est solitaire pour chaque $i\in\{1, 2,\cdots, k\}$, mais on remarque que si $k\gt 2$, on a souvent des intervalles de temps pendant lesquels les $c_i$ sont solitaires, mème s'ils sont extrêmement courts.

@nodgim je ne vois pas ce que tu veux dire par là.

En utilisant la caractérisation des intervalles de temps pendant lesquels $c_i$ est solitaire, que j'ai donné, on arrive par exemple dans le cas particulier de l'exercice, à trouver pour chaque $c_i, i\in \{1, 2, \cdots, 8\}$ un intervalle de temps pendant lequel $c_i$ est solitaire.

Par exemple $c_8$ est solitaire pour $t\in\Big[\dfrac{1}{424}; \dfrac{7}{792}\Big]$.

Dans le cas général de $k$ coureurs $c_1, c_2, \cdots, c_k$ de vitesses respectives $v_1, v_2, \cdots, v_k$, on a vu que:

$\bigcap\limits_{1\leq i\leq k, i\neq i_0}\Big[\dfrac{1 + kn_i}{k|v_{i_0} - v_i|}; \dfrac{k - 1 + kn_i}{k|v_{i_0} - v_i}\Big]$ où les $n_i$ sont des entiers naturels, nous donne des intervalles où $c_{i_0}$ est solitaire.

Si on note $max_{i\neq i_0}|v_{i_0} - v_i| = |v_{i_0} - v_m|$, sachant que $\dfrac{k - 2}{k|v_{i_0} - v_i|}$ est la largeur des intervalles de temps où $c_i$ est à une distance $\leq\dfrac1k$ de $c_{i_0}$, alors les $n_i$ tels que:

$0\leq \dfrac{k - 1 + kn_i}{k|v_{i_0} - v_i|} - \dfrac{k - 1 + kn_m}{k|v_{i_0} - v_m|}\leq\dfrac{k - 2}{k|v_{i_0} - v_i|},\forall i\neq i_0$, nous donnent des intervalles de temps où $c_{i_0}$ est solitaire.

Après quelques transformations, la double inégalité devient:

$\dfrac{n_{m}|v_{i_0} - v_i|}{|v_{i_0} - v_m|} + \dfrac{(k - 1)|v_{i_0} - v_i|}{k|v_{i_0} - v_m|} - \dfrac{k - 1}{k}\leq n_i\leq\dfrac{n_{m}|v_{i_0} - v_i|}{|v_{i_0} - v_m|} + \dfrac{(k - 1)|v_{i_0} - v_i|}{k|v_{i_0} - v_m|} - \dfrac1k$

On a que $-1\lt \dfrac{(k - 1)|v_{i_0} - v_i|}{k|v_{i_0} - v_m|} - \dfrac{k - 1}{k}\leq 0$

Donc si $\dfrac{(k - 1)|v_{i_0} - v_i|}{k|v_{i_0} - v_m|} - \dfrac1k\geq 0$ c'est à dire $|v_{i_0} - v_i|\geq\dfrac{|v_{i_0} - v_m|}{k - 1},\forall i\neq i_0$,

on peut choisir $1$) $n_m = |v_{i_0} - v_m|$ et $n_i = |v_{i_0} - v_i|,\forall i\neq i_0$, qui donnent:

$\Big[\dfrac{1 + k\times min_{i\neq i_0}|v_{i_0} - v_i|}{k\times min_{i\neq i_0}|v_{i_0} - v_i|}; \dfrac{k - 1 + k|v_{i_0} - v_m|}{k|v_{i_0} - v_m|}\Big]$

comme intervalle de temps pendant lequel $c_{i_0}$ est solitaire,

ou bien on choisit $2$) $n_m = 0$, qui implique $n_i = 0, \forall i\neq i_0$ et donne:

$\Big[\dfrac{1}{k\times min_{i\neq i_0}|v_{i_0} - v_i|}; \dfrac{k - 1}{k|v_{i_0} - v_m|}\Big]$ comme autre intervalle de temps pendant lequel $c_{i_0}$ est solitaire.

On peut appliquer cette remarque dans le cas particulier ci-haut donné, à $c_8$, $c_7$ ou $c_6$ et avoir avec les formules, des intervalles de temps pendant lesquels ils sont solitaires.

Exemple pour $c_8$, on vérifie bien que
$min_{i\neq 8}|v_8 - v_i| = |v_8 - v_7| = 53 \geq\dfrac{max_{i\neq 8}|v_8 - v_i|}{7} = \dfrac{|v_8 - v_1|}{7} = \dfrac{99}{7} = 14,14..$.

Alors en prenant $n_1 = 99, n_2 = 96, n_3 = 92, n_4 = 87, n_5 = 80, n_6 = 70$ et $n_7 = 53$, on obtient l'intervalle convenable

$\Big[\dfrac{425}{424}; \dfrac{799}{792}\Big]$ comme prévu.

On pouvait aussi prendre $n_1 = n_2 = n_3 = n_4 = n_5 = n_6 = n_7 = 0$ pour avoir comme prévu l'intervalle $\Big[\dfrac{1}{424}; \dfrac{7}{792}\Big]$ pendant lequel aussi $c_8$ est solitaire.

Merci de vérifier.

Salut.
En notant $\min_{i\neq i_0}|v_{i_0} - v_i| = |v_{i_0} - v_p|$ et comme ci-dessus $\max_{i\neq i_0}|v_{i_0} - v_i| = |v_{i_0} - v_m|$ et en remarquant que : $\dfrac{1}{k|v_{i_0} - v_p|}$ est la borne inférieure du premier intervalle de temps où $c_p$ est à une distance $\geq \dfrac1k$ de $c_{i_0}$, il vient qu'on doit avoir : $$\dfrac{k - 1 + kn_m}{k|v_{i_0} - v_m|}\geq\dfrac{1}{k|v_{i_0} - v_p|}.

$$ C'est-à-dire $$n_m\geq\dfrac{|v_{i_0} - v_m|}{k|v_{i_0} - v_p|} - \dfrac{k - 1}{k}.

$$ Pour dire qu'on peut plutôt faire varier $n_m$ de $\dfrac{|v_{i_0} - v_m|}{k|v_{i_0} - v_p|} - \dfrac{k - 1}{k}$ à $\dfrac{|v_{i_0} - v_m|}{\mathrm{pgcd}(v_i)_{1\leq i\leq k}} - 1$ dans la recherche des $(n_i)_{i\neq i_0}$.

Bonne soirée.

Salut.
Je me place dans le cas général de $k$ coureurs notés $c_1, c_2,\cdots, c_k$ de vitesses respectives $v_1, v_2,\cdots, v_k$. Je cherche un moment où le coureur $c_1$ est solitaire. Je suppose que $min_{2\leq i\leq k}|v_1 - v_i| = |v_1 - v_2|$ et je note pour alléger $|v_1 - v_i| = a_i$.

Ma conviction est que dans le premier intervalle de temps où $c_2$ est à une distance $\geq\dfrac1k$ de $c_1$, il y a un moment où $c_1$ est solitaire. Ce que je traduit par : il existe $\alpha_2\in [1; k - 1]$ tel que $\forall i, 3\leq i\leq k, \exists (n_i, \alpha_i), n_i\in\mathbb{N}, \alpha_i\in [1; k - 1]$ tels que :
$$\dfrac{\alpha_2}{ka_2} = \dfrac{\alpha_i + kn_i}{ka_i}$$
C'est-à-dire:
$$n_i = \dfrac{a_i}{ka_2}\alpha_2 - \dfrac{\alpha_i}{k}$$

Les $\dfrac{a_i}{a_2}$ étant en nombre fini (exactement $k - 2$), $\alpha_2$ variant dans l'intervalle $[1; k - 1]$ de $\mathbb{R}$ et $\dfrac{a_i}{a_2}\gt 1$, il existe alors une valeur de $\alpha_2$ telle que : $\forall i, 3\leq i\leq k,\quad\dfrac{a_i}{a_2}\alpha_2$ appartienne à un intervalle de la forme $[1 + n'_ik ; k - 1 + n'_ik], n'_i\in\mathbb{N}$; ce qui garantit l'existence des $(n_i, \alpha_i)\forall i, 3\leq i\leq k$.

J'attends des idées à une démonstration rigoureuse de ce point de vue.

Merci d'avance !

@Homo Topi comment pourrais-je m'approprier ici devant tous les lecteurs, un résultat que je n'ai pas démontré. Dans tous les forums, des gens posent des questions et attendent des réponses.
Pourquoi vous voulez particulariser ma question ?

Salut

Avec le cas particulier ci-dessus, on peut appliquer ce lemme pour les cas $i_0 = 1\,\textrm{ou}\,2\,\textrm{ou}\,6\,\textrm{ou}\,7$.
On peut aussi utiliser ce résultat et la caractérisation des intervalles donnée ci*dessus, pour avoir les intervalles de temps (parce que souvent ceux sont des intervalle de temps) où $c_{i_0}$ est solitaire.

Cordialement.