Congruences et Syracuse

serge burckel · January 2020

Une petite conjecture issue d'une intuition et d'expérimentations.

Si on considère $n$ impair et la suite de ses itérés par la fonction de Syracuse jusqu'à éventuellement obtenir $1$
et que l'on prend les restes de ces nombres modulo $n^2+1$, alors ces congruences sont toutes différentes.

Ceci implique entre autres que la suite est de longueur au plus $n^2+1$.

L'hypothèse que ces restes sont différents est assez forte et pourrait être une indication pour avancer.

Cette conjecture est actuellement en cours de vérification. Pour l'instant vrai pour $n<90000000$.

nodgim · January 2020

C'est intéressant, mais pas forcément significatif. Il faudrait éliminer d'abord les nombres qui n'atteignent pas n² + 1, pour lesquels la congruence avec ce nombre n'a pas d'intérêt. Par ailleurs, le nombre d'itérations impaires pour arriver à 1 est toujours bien plus petit que n ² + 1. Autrement dit, si on raisonne statistiques, ça n'est peut être pas étonnant.

Sinon, quelle idée t'a fait regarder cet aspect ?

Collag3n · January 2020

En effet, les nombres dépassant $n^2+1$ sont plutôt rares dans les séquences que l'on peut calculer, même pour les "record paths" (http://www.ericr.nl/wondrous/pathrecs.html)

La colonne X_2(N) du lien c'est le rapport entre le maximum atteint dans le chemin et $n^2$. Donc si on regarde ceux avec un rapport supérieur à 1, et qu'on regarde combien de nombre dans le chemin dépassent $n^2+1$, on a:

ligne 43: n=319804831, nombres dépassnt $n^2+1$:
139677673750117775
209516510625176663
314274765937764995
471412148906647493

ligne 62: n=3716509988199
16864719761505546360333809
20536934651313575214308687
30805401976970362821463031
46208102965455544232194547
69312154448183316348291821
25992057918068743630609433
19494043438551557722957075
29241065157827336584435613
16448099151277876828745033
18504111545187611432338163
27756167317781417148507245
17564449630783553039289743
26346674446175329558934615
39520011669262994338401923
59280017503894491507602885

ligne 88: n=1980976057694848447
5263576574668055593544032086794123735
7895364862002083390316048130191185603
11843047293003125085474072195286778405
4996285576735693395434374207386609641
5620821273827655069863670983309935847
8431231910741482604795506474964903771
12646847866112223907193259712447355657
9485135899584167930394944784335516743
14227703849376251895592417176503275115
21341555774064377843388625764754912673
16006166830548283382541469323566184505
12004625122911212536906101992674638379
18006937684366818805359152989011957569
13505203263275114104019364741758968177
10128902447456335578014523556319226133

ligne 76: un seul nombre
116863062645692729610624640094081

Et si on applique la congruence, aucun n'entre en collision avec un autre nombre du même chemin (mais les chances sont vraiment faible vu leur taille vs leur quantités).

L'idée n'est pas mal, mais à moins de le montrer mathématiquement, pas sûr qu'on trouve un contre exemple avec nos moyens limités, mais tu ne peux pas en tirer de conclusions.

nodgim · January 2020

Merci pour le lien Collag3n, et pour ton analyse sur les dépassements.

Un autre argument contre cette conjecture est l'algorithme k*n+1 ( k impair remplace 3), pour lequel la conjecture est vite mise en défaut. Ce n'est pas un vrai contre exemple, mais ça la rend peu probable.

Congruences et Syracuse

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