Développement en série de $\pi$

Oups petite erreur de signe.
Pardon, j'ai remplacé n par $\infty$ $$

\pi=\frac{4\sum_{k=0}^\infty 2-\frac{(-1)^k+1}{2}}{\frac{1}{2}+2n}$$

Pour quel valeur $n$ ma série est plus grande que $\pi$?

Calli
Il suffit de faire des additions et des soustractions et de voir que le dénominateur grandi plus vite que le numérateur.

n=1 8
n=2 3.2
n=3 2.66...

Etc...

De toute façon $$\pi\neq\frac{4\sum_{k=0}^\infty 2-\frac{(-1)^k+1}{2}}{\frac{1}{2}+2n}$$
Je me suis précipité en voyant une répétition qui n'en est pas une dans la représentation que je faisais de $\pi$.
Ce n'est pas $$\sum_{k=0}^n 2-\frac{(-1)^k+1}{2}$$ pour 1,2,1,2,1,2,1,2....
Mais plutôt 1,2,1,2,2,.....

Salut.
Connaissant le volume d'une boule, $V=\frac{4\pi r^3}{3}\ $ https://fr.wikipedia.org/wiki/Volume_d'une_boule?veaction=edit&section=1
Le volume d'un octaèdre régulier $ V=\frac{\sqrt{2}a^3}{3}\ $ https://fr.wikipedia.org/wiki/Octaèdre_régulier
Il est possible d'extrapoler la méthode de calcul de $\pi$ utilisée dans ces deux vidéos.
et
Au lieu de rester dans le plan j’additionne des octaèdres de coté $a=1$ à chaque fois que la boule augmente de rayon $\sqrt{r}$.
Heureusement, la progression arithmétique des octaèdres en fonction du rayon est régulière.
https://oeis.org/A110185 $0, 1, 12, 5, 28, 9, 44, 13, 60, 17, 76, 21,\ldots$
Il est donc possible d’écrire l’égalité suivante pour la limite $r$ tend vers l'infini. $$
\lim_{r \to \infty}\frac{4\pi {\sqrt{r}}^3}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}\sum_{k=0}^r\frac{k((-1)^{k+1}-1)^2-(-1)^{k+1}+1}{2}+2(2k+1)((-1)^{k+1}+1).$$
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]

$$\lim_{r \to \infty}\frac{4\pi {\sqrt{r}}^3}{3}=\lim_{r \to \infty}\frac{\sqrt{2}}{3}\sum_{k=0}^r\frac{k((-1)^{k+1}-1)^2-(-1)^{k+1}+1}{2}+2(2k+1)((-1)^{k+1}+1)$$
Et là ça te va gerard0?

$$\pi=\lim_{r \to \infty}\frac{\sqrt{2}}{4{\sqrt{r}}^3}\sum_{k=0}^r\frac{k((-1)^{k+1}-1)^2-(-1)^{k+1}+1}{2}+2(2k+1)((-1)^{k+1}+1)$$

Tu a raison gerard0
la suite des octaèdres n'est pas.
$1, 12, 5, 28, 9, 44, 13, 60, 17, 76, 21,\ldots$
Mais.
$p_{r'}=1, 12, 6, 32, 14, 48, 18, 72, 22, 92, 34, 96, 42, 130\ldots$

$\frac{181\sqrt{2}}{4\times 8\sqrt{8}}=3,515625$
$\frac{(1+ 12+ 6+ 32+ 14+ 48+ 18+ 72+ 22+ 92)\sqrt{2}}{4\times 9\sqrt{9}}=4,150978697$
$\frac{(1+ 12+ 6+ 32+ 14+ 48+ 18+ 72+ 22+ 92+ 34)\sqrt{2}}{4\times 10\sqrt{10}}=3,9242993005$
$\frac{(1+ 12+ 6+ 32+ 14+ 48+ 18+ 72+ 22+ 92+ 34+ 96)\sqrt{2}}{4\times 11\sqrt{11}}=4,3318509187$
$\frac{(1+ 12+ 6+ 32+ 14+ 48+ 18+ 72+ 22+ 92+ 34+ 96+ 42+ 130)\sqrt{2}}{4\times 13\sqrt{13}}=4,6690726019$
Relativement proche de $\pi$.
ça diverge! ou je me suis trompé encore?
Ha j'ai trouvé ou je me suis trompé, les octaèdres ne contiennent pas tout le volume, preuve en photo.
Il faut compléter par des https://fr.wikipedia.org/wiki/Tétraèdre_régulier tétraèdres régulier.

Il me faut donc rajouter le volume de deux tétraèdres régulier a notre octaèdres pour ne plus avoir de trou dans la construction.

$\lim_{r \to \infty}\frac{4\pi {\sqrt{r}}^3}{3}=(\frac{\sqrt{2}}{3}+2\times \frac{1}{6\sqrt{2}})\sum_{r'=0}^rp_{r'}.$
$\lim_{r \to \infty}\frac{4\pi {\sqrt{r}}^3}{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{r'=0}^rp_{r'}.$
$$\pi=\lim_{r \to \infty}\frac{3}{4r\sqrt{r}\sqrt{2}}\sum_{r'=0}^rp_{r'}.$$
Et la je doit avouer que je suis trop nul en math ou bien que le truc tend lentement vers $\pi$
Ou bien reprendre tout depuis le début en modifiant l'origine.
Sa parait plus évident que pour un rayon nul nous ayons un volume nul non?

Avec le changement d'origine la progression est:
$p_{r'}0, 6, 16, 18, 32, 22, 56, 26, 72, 34, 96$
Maintenant il va falloir inventer des Nombre premier de Gauss en 3 dimensions.
Et voila sa ne fonctionne pas.
Le fantasme prend fin.

J'ai l’impression que je ne vais pas avoir le choix que de me confronter a cette fonction $\chi(r)$