Conseils constructifs sur mes travaux

@Ludwig,

Tu auras remarqué que ce que Michel Coste appelle " "cardinal" ", je l'appelle désormais "cardinal quantitatif", et ce qu'on appelle "cardinal", je l'appelle aussi "cardinal équipotentiel".

"Historiquement, avant Cantor, la notion de "cardinal" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis Cantor, cela n'est plus vrai, il désigne l'équipotence. Alors trouvant la notion véritable de quantité d'éléments d'un ensemble, plus importante, plus fondamentale et plus fine, que la notion d'équipotence, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le qualificatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal équipotentiel", pour les distinguer."

Par ailleurs, mes travaux ne se contentent pas d'essayer de redire ce qu'a dit Michel Coste, mais tentent d'en dire plus, et tentent de les généraliser.

Malheureusement, Michel Coste, ne m'a plus aidé dans cette affaire.

@raoul.S

Est-ce que pour toi, cela était évident que ${vol}^n$ la mesure de Lebesgue, de dimension $n$, sur $\R^n$, n'était pas définie sur $\mathcal{P}(\R^n)$, mais sur $\mathcal{B}(\R^n)$, et ce même en ayant reçu des cours de Théorie de la mesure et de l'intégration.

Mais ${card}_Q$ s'exprime en fonction de ${({vol}^i)}_{i \in [\!\![0,n]\!\!]}$, les mesures de Lebesgue généralisées ou de Hausdorff, de dimension $i \,\,(i \in [\![0,n]\!])$, sur $\R^n$, donc il est facile de définir son ensemble de définition, mais je ne pouvais le faire, au stade de l'axiomatisation donnée dans la définition, et d'ailleurs si je l'avais fait, cela aurait paru artificiel et parachuté.


Par ailleurs, ce qu'a dit @Calli est faux : On a plutôt : $\displaystyle{{card}_Q(2\N) \neq \frac{1}{2} \,\, {card}_Q(\N)}$

et $\displaystyle{{card}_Q(2\N^*) = \frac{1}{2} \,\, {card}_Q(\N^*)}$

Je te renvoie à la section :

Autres tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\R^n$


(Lien de secours : Cardinal quantitatif)



@raoul.S, tu es bien sévère avec moi.

J'aurais dû appeler cette discussion : "Cardinal quantitatif : Le grand combat".

@Calli,

Je te renvoie à la section :

Autres tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\R^n$

Ton exemple se traite de la même manière.

Lire aussi en complément : Séries de remarques 1


(Liens de secours : Cardinal quantitatif et Discussion Cardinal quantitatif)

@Calli,

As-tu lu ? : Séries de remarques 1

(Lien de secours : Discussion Cardinal quantitatif)

Si oui, j'irai voir ça de plus près.


Petit Correctif, pour désambiguïser les choses :


On fixe les ${(A_n)}_{n \in \N}$, ${(B_n)}_{n \in \N}$ vérifiant les conditions et hypothèses.

et si pour tous ${(C_n)}_{n \in \N}$, ${(D_n)}_{n \in \N}$ vérifiant les conditions et hypothèses,

on a : $\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in \N}]\Big)}}$

alors, on pose : $\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in \N}]\Big)}}$

NB : VOIR MESSAGE CORRECTIF, PLUS BAS, DANS LA DISCUSSION.

@Calli

===Série de remarques 1===

J'aimerais avoir un avis sur et qu'on me signale les éventuelles erreurs que j'aurais commises dans la version actuelle de ma page de recherche, sur le cardinal quantitatif, voire qu'on me propose des améliorations possibles.


'''Remarque :'''


1) Si $A \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)$
et $\forall n \in \mathbb{N}, \,\, A_n \in {\cal P}(\mathbb{R}^N)$
et $\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow A_n = A}$,

'''on a :''' $\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}(A) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} A_n}) = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} {card}_{Q,{\cal R}}(A_n) }$,

'''que sous certaines conditions''',


notamment (Cf. les PDF de Michel Coste), en particulier,

si $A \in {PV}_N(\R^N)$,

et si $\forall n \in \mathbb{N}, \,\, A_n \in {PV}_N(\R^N)$.

('''Michel Coste dit plutôt :''' si $A\in {PV}_N(\R^N)$, de classe $C^1$, et si $\forall n \in \mathbb{N}, \,\, A_n\in {\mathcal{P}olytope}_N(\R^N)$).


'''Je tente de faire certaines généralisations.'''

Cela est, probablement, toujours, vrai,

si on remplace "${PV}_N(\R^N)$"

par "${PV}(\R^N)$",

ou par "réunion finie de parties de ${PV}(\R^N)$, disjointes",

[et peut-être même, en supposant que $A$ est une réunion (dénombrable [éventuellement, nécessairement, infinie]) de parties de ${PV}(\R^N)$, disjointes, et $\forall n \in \mathbb{N}, \,\, A_n$ réunion finie de parties de ${PV}(\R^N)$].

Si tel n'est pas le cas, il est facile de ramener le second cas au premier.


'''Si $I$ est un ensemble totalement ordonné et si $A \in {PV2}(\R^N)$ et si ${(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)$ et telles que $\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}$ (Cf. définition).'''


'''Conjecture:''' $\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }$.


2)Supposons :

${\cal R}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb{R}$, d'origine $O(0)$.

$A,B\in {\cal P}(\mathbb{R})$, réunions (dénombrables [voire, nécessairement, infinies, non bornées]) de parties de ${PV}(\R)$, disjointes,

$A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset$.

$I = \mathbb{N} \in {\cal P}(B)$ (ou telle que $I \in {\cal P}(\mathbb{R})$ et ${card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)$).

$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, A_n,B_n \in {\cal P}(\mathbb{R})$, réunions finies de parties de ${PV}(\R)$, disjointes,

telles que $\forall n \in \mathbb{N}, \,\, A_n \in {\cal P}(B_n) \,\, \mbox{et} \,\, B_n \neq \emptyset$

et telles que ${(A_n)}_{n \in \mathbb{N}} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_n)}_{n \in \N}]$ et ${(B_n)}_{n \in \mathbb{N}} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_n)}_{n \in \N}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow A_n = [A,{(A_n)}_{n \in \N}]}$ et $\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \mbox{strict.} \uparrow B_n = [B,{(B_n)}_{n \in \N}]}$),

telles que l'on ait :

$\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} A_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} B_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} u_n}$,

avec $\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}, \,\, u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_n)}}$.


Soit $\varphi_\,\, : \,\, \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$, strictement croissante,


c'est-à-dire ${\Big(u_{\varphi(n)}\Big)}_{n \in \mathbb{N}}$ sous-suite de ${(u_n)}_{n \in \mathbb{N}}$.


Dans ce cas, on a bien : $\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} u_{\varphi(n)} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} u_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)}}$.


Supposons de plus :

$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, C_n,D_n \in {\cal P}(\mathbb{R})$, réunions finies de parties de ${PV}(\R)$, disjointes,

telles que $\forall n \in \mathbb{N}, \,\, C_n \in {\cal P}(D_n) \,\, \mbox{et} \,\, D_n \neq \emptyset$

et telles que ${(C_n)}_{n \in \mathbb{N}} \,\, \nearrow \,\, [A,{(C_n)}_{n \in \N}]$ et ${(D_n)}_{n \in \mathbb{N}} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(D_n)}_{n \in \N}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \uparrow C_n = [A,{(C_n)}_{n \in \N}]}$ et $\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \mbox{strict.} \uparrow D_n = [B,{(D_n)}_{n \in \N}]}$),

telles que l'on ait :

$\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} C_n})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} D_n})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}}{\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty}{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}} = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} v_n}$,

avec $\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}, \,\, v_n = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(C_n)}{{card}_{Q,{\cal R}}(D_n)}}$.


'''A-t-on $\displaystyle{\lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} v_n = \lim_{n \in \mathbb{N}, \,\, n \rightarrow +\infty} u_n }$ ?'''


Petit correctif :

On fixe les ${(A_n)}_{n \in \N}$, ${(B_n)}_{n \in \N}$ vérifiant les conditions et hypothèses.

et si pour tous ${(C_n)}_{n \in \N}$, ${(D_n)}_{n \in \N}$ vérifiant les conditions et hypothèses,

on a : $\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in \N}]\Big)}}$

alors, on pose : $\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_n)}_{n \in \N}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_n)}_{n \in \N}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_n)}_{n \in \N}]\Big)}}$

Consulter d'abord : Autres tentatives de généralisation du cardinal quantitatif sur $\R^{n}$


Correctif 1 de Série de remarques 1


1) Si $I$ est un ensemble totalement ordonné et si $A \in {PV2}(\R^N)$ et si ${(A_i)}_{i \in I} \subset {PV}(\R^N)$ et telles que $\displaystyle{\lim_{i \in I, i \rightarrow \sup(I)} A_i = \Big[A,{(A_i)}_{i \in I}\Big]}$ (Cf. définition).


Conjecture : $\displaystyle{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big) = {card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i}) = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} {card}_{Q,{\cal R}}(A_i) }$.


2)Supposons :


${\cal R}$ un repère orthonormé direct de $\mathbb{R}$, d'origine $O(0)$.

$A,B\in {\cal P}(\mathbb{R})$, réunions (dénombrables [voire, nécessairement, infinies, non bornées]) de parties de ${PV}(\R)$, disjointes,

$A \in {\cal P}(B), \,\, B \neq \emptyset$.

$I$ ensemble totalement ordonné tel que $I \in {\cal P}(B)$ (ou tel que $I \in {\cal P}(\mathbb{R})$ et ${card}_{Q,{\cal R}}(I) \leq {card}_{Q,{\cal R}}(B)$).

$\forall i \in I, \,\, A_i,B_i \in {\cal P}(\mathbb{R})$, réunions finies de parties de ${PV}(\R)$, disjointes,

telles que $\forall i \in I, \,\, A_i \in {\cal P}(B_i) \,\, \mbox{et} \,\, B_i \neq \emptyset$

et telles que ${(A_i)}_{i \in I} \,\, \nearrow \,\, [A,{(A_i)}_{i \in I}]$ et ${(B_i)}_{i \in I} \,\, \mbox{strict.} \,\,\nearrow \,\, [B,{(B_i)}_{i \in I}]$

(c'est-à-dire telles que $\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \uparrow A_i = [A,{(A_i)}_{i \in I}]}$ et $\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \mbox{strict.} \uparrow B_i = [B,{(B_i)}_{i \in I}]}$),

La conjecture implique que l'on ait :

$\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} A_i})}{{card}_{Q,{\cal R}}(\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} B_i})} = \frac{
\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}}{\displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)}{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \displaystyle{\lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}} = \lim_{i \in I, \,\, i \rightarrow \sup(I)} u_i}$,

avec $\displaystyle{\forall i \in I, \,\, u_i = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A_i)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B_i)}}$.


Je sais qu'il faut qu'on démontre cette conjecture, pour que ça marche.


Correctif 2 de Série de remarques 1 :


On fixe les ${(A_i)}_{i \in I}$, ${(B_i)}_{i \in I}$ vérifiant les conditions et hypothèses.

et si pour tous ${(C_i)}_{i \in I}$, ${(D_i)}_{i \in I}$ vérifiant les conditions et hypothèses, on a :

$\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_i)}_{i \in I}]\Big)}}$

alors, on pose : $\displaystyle{\frac{{card}_{Q,{\cal R}}(A)}{{card}_{Q,{\cal R}}(B)}= \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(A_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(B_i)}_{i \in I}]\Big)} = \frac{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([A,{(C_i)}_{i \in I}]\Big)}{{card}_{Q,{\cal R}}\Big([B,{(D_i)}_{i \in I}]\Big)}}$


(Lien de secours : Cardinal quantitatif)

@Riemann_lapins_cretins :


Peut-être te plains-tu de la quantité et de la qualité des recommandations qui m'ont été faites.


Mise à part ça, j'ai effectué de toutes petites modifications dans mes travaux, sans conséquences sur les liens que j'ai postés dans cette discussion et ayant des titres contenant du LaTeX.

Je tiendrai compte des recommandations qui m'ont été données, ici, plus tard, mais je le ferai :

Entre autre, je fournirai 2 versions de certaines sections de mes travaux, dont une tenant compte de vos recommandations.

Cf. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1956218,1957230#msg-1957230 et http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?10,1791354 (en tant que Cantor-2)

Peut-être que certains ne rencontrent pas les problèmes que je rencontre, parce qu'ils sont "bêtes" et disciplinés et ont un respect, une obéissance et une foi inconditionnels et inflexibles envers les lois, les normes et les autorités en place.

Concernant le 1er message de la discussion donnée dans le second lien : On peut écrire "$\partial_i u$", au lieu de "$\partial_{x_i} u$" et "$\partial^2_{i,j} u$", au lieu de "$\partial^2_{x_i,x_j} u$".

@Riemann_lapins_cretins,


Mais je ne veux pas faire "génie" et je ne me prends pas pour un génie.

J'ai crû, réellement et vraiment, bien faire (mes textes sont travaillés) et je ne comprends, toujours pas, pourquoi ça n'est pas le cas.

Crois-tu t'exprimer, vraiment mieux, que moi, à l'écrit ?

Ma façon d'écrire, d'agir et de penser ne correspond pas aux standards de celle des intervenants de ce forum, et ce n'est pas, nécessairement, un mal.

@Poirot,

Même, en dehors du contexte de mes travaux et des maths ?

Je veux, bien, mettre, moins, de virgules, dans mes phrases, si cela te convient mieux, mais je suis la logique naturelle de délimitation et de découpage des propositions, des adverbes, des compléments circonstanciels, des COD, des COI, etc ... .

Je suis sûr que la plupart de mes écrits gagneraient grandement en lisibilité et en clareté pour vous tous sur ce forum, si je supprimais des virgules et ce sans rien changer d'autre.

@lourrran,

Je rappelle que malgré une petite touche non conformiste, je n'écris pas dans le style qui m'est propre et familier pour faussement paraître génial en étant incompris.

J'ai vraiment pensé qu'ainsi mes propos étaient vraiment plus clairs, plus fluides et plus limpides malgré parfois leur longueur.

L'enfumage, ce n'est pas mon style.


@Riemann_lapins_cretins (et à tous) :


Nous n'avons pas les mêmes habitudes et les mêmes réflexes de lecture.

Je ne lis pas de la même façon mes phrases que vous ne les lisez.

Mais, je me suis habitué à mon style et je m'y suis fait et vous aussi vous pourriez vous y faire.


Au fait, saviez-vous qu'à la virgule près, un passage de la constitution française ferait passer notre pays du statut d'État démocratique à celui d'une dictature ?

Par ailleurs, je ne peux pas vraiment faire plus concis que le 1er paragraphe que j'ai donné dans l'introduction de mes travaux, si je veux être relativement exhaustif et mon introduction est relativement courte au regard de l'ensemble de mes travaux.

@lourrran,


Dans mon avant dernier message avant celui-ci, tu n'as même pas remarqué le changement.

Tu ne fais que me critiquer négativement, sans jamais parler un seul instant des aspects positifs ou en les omettant.

Comme si je n'avais que des aspects négatifs.

Tu n'es donc pas totalement objectif vis à vis de moi.

La très grande majorité des shtameurs t'en ont tellement fait voir, que tu n'as plus aucune foi en eux, et que tu prends ton pied à te venger et à te défouler sur eux, même sur ceux qui sortent du lot.

@Fin de partie :

Contrairement à ce que tu peux penser, j'ai beaucoup travaillé le fond, le style et la forme de mes travaux, même si je n'ai pas obtenu les avis escomptés.