1/p, p premier

de VILLEMAGNE · March 2020

Bonjour
La division 1/p ,si p est premier, est intéressante à observer dans un certain cadre.
Prenez un feuille de papier de format A4 ( le format importe peu, pourvu que le cadre soit rectangulaire ).
1/2 revient à diviser la feuille en 2 parties, soit tracer 1 trait au milieu de ladite feuille.
1/3 revient à diviser la feuille en 3 parties, soit tracer 2 traits à chaque tiers de la feuille.
1/5 revient à diviser la feuille en 5 parties, soit tracer 4 traits à chaque quart de la feuille.
etc...
1/p revient à diviser la feuille en "p" parties, soit tracer "p - 1" traits chacun à distance égale les uns des autres.
Etant donné que les nombres premiers sont premiers entre eux par définition, l'on peut tracer une infinité de traits liés à la division 1/p sur la feuille en question : jamais les traits ne se chevaucheront.
Il n'y a comme limite que l'épaisseur du crayon utilisé. Mais, si vous prenez un crayon plus fin, vous pourrez aller plus loin pour la valeur de "p" premier que vous aurez atteinte : il restera toujours de la place pour d'autres traits.
Avec la division 1/p et p premier, l'infini peut tenir dans une vulgaire feuille de papier si l'on a les moyens de faire décroître le diamètre de la pointe du crayon utilisé. Bien sûr, nous sommes limités, mais dans l'absolu, puisque les valeurs de p premiers sont infinies, les valeurs de "p - 1" le sont aussi.
La feuille prendra l'apparence d'un code barre aux rayures foncées, ne se chevauchant jamais, et de rayures de la couleur du papier utilisé.

J'ai pratiqué la procédure 1/p, p premier en choisissant un nombre p (je ne sais plus lequel), et en choisissant les couleurs : rouge, bleu ,orange, vert pâle et vert foncé, soient 5 couleurs à appliquer selon le cycle ci-dessous :

pour p = 2, utiliser la couleur rouge, ( c'est ce que j'ai fait sur le PDF joint )
pour p = 3, utiliser la couleur bleu,...(...................idem...............................)
pour p = 5, utiliser une troisième couleur à choisir parmi les 5 couleurs à appliquer
pour p = 7, utiliser une quatrième couleur "......"........"......."..."......."........"......."
pour p = 11, utiliser une cinquième couleur......................................................
pour p = 13, réutiliser le rouge
pour p = 17 = réutiliser le bleu
etc...
à chaque séquence de 5 nombres premiers consécutifs à partir de 2, utiliser la séquence des 5 zouleurs en commençant par le rouge pour p6 = p1 + 5 ( si p1 = 2 ) et le bleu pour p7 = p2 + 5 ( si p2 = 3 ).
Vous pouvez consulter le résultat sur le PDF "Code barre 1/p et p premier" joint.
Je ne suis pas allé très loin pour p => les "barres" blanches sont larges.
Un de mes fils avait écrit un programme où l'on pouvait choisir p et le nombre de couleurs différentes formant une séquence ad hoc à appliquer au nombre p choisi. Le résultat était saisissant de beauté.

Des regroupements de trois couleurs côte à côte formaient même un mélange optique donnant d'autres couleurs que celles utilisées pour le tracé.
Voilà.

Je suis sur SHTAM. Je n'ai rien à démontrer dans ma démarche. mais je voulais vous partager cette observation qui se résume à cela : l'infini peut tenir dans une vulgaire feuille de papier si l'on a les moyens de faire décroître le diamètre de la pointe du crayon utilisé.

Dom · March 2020

Bonjour,

J’observe des traits de couleur mais j’avais cru comprendre qu’on observerait quelque chose de « spécial », de « remarquable ». Est-ce que je manque d’imagination ou est-ce qu’il n’y a « rien de visible » ?

Ce n’est pas une critique.

Cordialement

Dom

de VILLEMAGNE · March 2020

Bonsoir Dom,

Laissons tomber mon PDF en couleur. Ce qu'il y a de spécial concerne le tracé de traits par la procédure
informatisée [ 1/p , "p" premier ] que mon fils avait programmée : un choix important des premiers nombres
premiers à utiliser et quelques couleurs à choisir.

=> après impression du documents "code barre coloré", on pouvait voir des couleurs, autres que les couleurs choisies
.....pour faire tourner le programme, provenant d'un mélange optique de trois couleurs portées par des traits côte à côte.
.....Mais ça, tu peux seulement l'imaginer en croyant ce que je dit, parce que je l'ai vu de mes propres yeux, et parce que
.....le programme a été effacé de mon ordinateur accidentellement.

Ce qu'il y a de remarquable, c'est le fait que dans une simple feuille de papier, on peut tracer un très grand nombre
de traits, sans qu'il y ait un seul chevauchement, si tant est que l'on puisse utiliser un pointe de traceur assez fine.
Les nombres premiers étant premiers entre eux par définition, les valeurs 1/p le sont également. Nul besoin de
démonstration pour affirmer cela.

Pour en revenir à mon PDF couleur, je le troque contre un PDF noir et blanc.
Il est vrai qu'il n'y figure pas un nombre de traits important,et ce, parce que j'ai tracé les traits à la règle graduée.
Pour saisir la difficulté, rendez-vous compte de la chose suivante :

1/19 = 0,05263158 et 29,7 ( longueur de ma feuille 21//29,7 ) donc 29,7x0,05263158 = 1,56315793 ~ 1,56 cm

Avec une règle graduée en centimètres 1,56 cm n'est pas une côte à reporter avec précision eu égard au diamètre
de la pointe du crayon utilisé. ( Du coup, je ne sais même pas si je suis allé jusqu'à 1/19 pour mon tableau. )

Quoiqu'il en soit mon nouveau PDF joint Code barre 1 sur p et p premier en noir et blanc laisse apparaître
paradoxalement ce que tu dis "il n'y a rien de visible ?" : oui entre les traits noirs c'est de l'invisible, porté par
le blanc de la feuille.

Pour p = 2, nous avons écrit plus haut que le nombre de trait(s) est p - 1 = 2 - 1 = 1 => 2 parties "invisibles"
Pour p = 3, ...................................................................de traits.. est p - 1 = 3 - 1 = 2 => 3 parties "invisibles"
Pour p = 5,....................................................................de traits.. est p - 1 = 5 - 1 = 4 => 5 parties "invisibles"
etc...

Ce qui fait une suite de nombre de traits, à sommer, liée aux premiers nombres premiers :

1 + 2 + 4 + 6 +10 + 12 + 16 + 18 + 22 + 28 + 30 +...+ etc = A [ je ne sais pas comment modéliser cette somme ]

Tout ce que je sais, c'est que le nombre de parties "invisibles" sera égal à A + 1

Ainsi, dans le nouveau PDF joint, tu peux voir ce qu'il y a de remarquable, le début de ce que j'écrivais plus haut :

L'infini peut tenir dans une vulgaire feuille de papier si l'on a les moyens de faire décroître le diamètre de la pointe du crayon traceur utilisé. Et ce, grâce à 1/p , p premier.

Homo Topi · March 2020

C'est plutôt grâce aux $\dfrac{k}{p}$, avec $p$ premier et $1 < k < p$.

Après une petite réflexion, j'y vois une illustration que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Dom · March 2020

En mathématiques, un segment (ou une droite) n’a pas « d’épaisseur ».
En ce sens, on peut recouvrir un rectangle d’une infinité de segments.

Homo Topi · March 2020

Au passage, l'infini tient dans $]0;1[$, aussi. C'est en bijection avec $\mathbb{R}$.

lourrran · March 2020

Un peu d'informatique aurait fait du bien, et aurait permis d'avoir un résultat plus fidèle à la réalité.

Sur le dessin en couleur, on a les traits n° 7 et 8, en partant du haut, qui sont orange et rouge. Ils sont très proches l'un de l'autre.
En bas de la page, les traits n°7 et 8, en partant du bas maintenant, sont également orange et rouge : c'est tout à fait normal.
Mais l'espace entre ces 2 traits est beaucoup plus grand qu'en haut du dessin. C'est dommage.
Normalement, on devrait avoir une parfaite symétrie.
Mais ça donne effectivement un truc sympa.

Math Coss · March 2020

Pas dur.

def dV(N):
    p, r = 2, sqrt(2.)
    G = Graphics()
    for k in range(N):
        G+= add(line([(0,i*r/p),(1,i*r/p)],thickness=.2,color=hue(k/1.1/N)) for i in range(1,p))
        p = next_prime(p)
    return G

de VILLEMAGNE · March 2020

@Math Coss

Ces deux graphiques illustrent parfaitement 1/p, p premier en couleur.
Le programme que vous fournissez est utilisable par chacun pour un
emploi en choisissant à loisir p et le nombre de couleurs à appliquer.

Avec mes plus vifs remerciements,

Dom · March 2020

Amusant.
On observe une sorte de violet (le magenta des imprimantes) et quand on zoome, on voit se dissocier les couleurs.

Homo Topi · March 2020

J'aime bien les images avec des zôlies couleurs (par exemple les graphes de fonctions holomorphes) mais j'aime encore mieux quand il y a des maths derrière.

J'imagine qu'en zoomant, même en donnant une logique aux couleurs qu'on donne à chaque $p$, on ne va jamais trouver de périodicité (ou même de motif quelconque) dans les couleurs sur la feuille. La question serait pourquoi c'est le cas ? Là on parlerait de répartition des (multiples des inverses des) nombres premiers, ça pourrait devenir intéressant.

Il faudrait voir aussi si l'on ne peut pas trouver des endroits où les traits apparaissent beaucoup plus/moins vite quand $p$ augmente... ça correspondrait aux nombres faciles/difficiles à approcher par des fractions irréductibles, il y a peut-être des notions d'algébricité/transcendance derrière.

lourrran · March 2020

L'effet Zoom est bluffant. Un truc blanc avec quelques traits de couleur, qui devient un truc magenta.

Mais c'est en fait un bug du process d'affichage des PDF. L'image est une succession de traits. Quand on zoome arrière, les traits deviennent plus fins, mais dans une certaine limite. Ce n'est pas un vrai zoom. PDF sait que pour afficher cette page, il doit tracer des traits de couleurs à certains endroits bien précis. Mais il fait en sorte que ces traits gardent une certaine épaisseur, pour qu'ils restent visibles. Et tant pis si la surface blanche en arrière plan disparaît parce que les traits se superposent quand on zoome arrière, alors qu'ils ne se superposaient pas au début.

Dom · March 2020

J’imagine qu’on doit pouvoir coder dès image en pdf pour que le zoom permette de voir totalement autre chose.

de VILLEMAGNE · March 2020

@Homo Topi

Je fais office de découvreur : j'offre à votre sagacité l'utilisation de la fraction 1/p avec p premier.
Math Coss fait office d'illustrateur ( merci Math Coss )

En tant qu'autodidacte, je n'ai pas le niveau mathématique nécessaire pour envisager creuser
les questions que tu soulèves.
Si quelqu'un d'entre vous peut s'y coller, ce serait avec attention et plaisir que l'on pourrait découvrir le résultat de l'étude.

Personnellement ces zôlies couleurs me conviennent. C'est une contemplation de la beauté contenue dans les maths. Ce qui n'empêche pas d'espérer découvrir autre chose par derrière, en terme de réflexion mathématique.

Je suis heureux que Lourrran mentionne le fait que PDF soit obligé de superposer des traits quand on zoome,
tout en répondant à la deuxième intervention de Dom.

En mathématique, une droite n'a pas d'épaisseur : en toute chose, l'on peut considérer le fond et la forme.

Ici, le fond est l'aspect mathématique, la formule 1/p et p premier,
.....la forme est les graphiques de Math Coss,plus élaborés que les miens.

Si le fond de la question est la mathématique, on se trouve dans un sujet intellectuel, entièrement dématérialisé.

Par contre, la forme ( les graphiques ) est strictement matérielle. C'est pourquoi PDF, qui a des limites, en vient à
faire se chevaucher des traits qui ne le devraient pas.

Et c'est pourquoi j'ai écrit : L'infini peut tenir dans une vulgaire feuille de papier si l'on a les moyens de faire décroître le diamètre de la pointe du crayon traceur utilisé.

( Pendant que j'écris, Dom fait une remarque : qu'entends-tu par autre chose ?

Cordialement,

Dom · March 2020

Je pense à des artistes qui pourraient créer des pdf qui visiblement sont une image de montagne (par exemple) mais qui, en utilisant le « bug d’affichage » du pdf, pourraient dévoiler une autre image, un cycliste par exemple.

C’est une idée vague, qui sort du sujet des nombres premiers, voire des maths.

Homo Topi · March 2020

Si quelqu'un a quelque chose à dire sur ce que je disais dans mon dernier message, je suis preneur.

Poirot · March 2020

@HT : tu peux détailler le problème ? J'ai du mal à lire les shtameries.

Homo Topi · March 2020

OK, j'essaie pour toi (on est dans shtam, je m'autorise à ne pas être 100% précis dans ce que je raconte, tu es prévenu).

Ce que le créateur du fil a proposé est la chose suivante : on prend une feuille, et pour chaque nombre premier $p$, on divise la feuille en $p$ parties. Au lieu de plier la feuille, on fait un trait de couleur là où serait le pli.

Je me représente la chose comme ça : au lieu de la feuille, on prend le segment $[0;1]$ (enfin, c'est $]0;1[$ techniquement qui est intéressant, mais ça ne change quasiment rien). et on y place les nombres $\dfrac{k}{p}$, avec $p$ premier et $1 < k < p$, et ce jusqu'à un nombre premier $P$ donné (la fin de notre algorithme, si on veut). Maintenant, au lieu de colorier notre point, je lui donnerais une valeur numérique : je ne sais pas encore laquelle, mais je donnerais la même valeur numérique à tous les $\overline{k}{p}$ puisqu'on colorait tous les plis associés à $p$ de la même couleur.

Je suis donc en train de définir une fonction $f$ sur un sous-ensemble de $\mathbb{Q} \cap ]0;1[$, constitué des fractions dont le dénominateur est un nombre premier. Admettons que $f \bigg( \dfrac{k}{p} \bigg) := \dfrac{1}{p}$ quel que soit $k$, pour fixer les idées (et rester dans le carré unité). Je conjecturerais que $f$ n'admet aucune période. En termes de couleurs sur la feuille, ça voudrait dire qu'il n'y a jamais de "motif" qui apparaît, peu importe jusqu'à quel $P$ on essaie de tracer les traits. Ensuite, j'ai conjecturé (mais je suis resté hyper vague, parce que je n'y connais absolument rien comme tu dois sûrement l'avoir deviné) qu'il y a peut-être là un rapport avec la répartition des nombres premiers. Je ne sais pas si l'ensemble des fractions irréductibles avec un dénominateur premier est dense dans $\mathbb{R}$, je n'ai pas pris le temps de vérifier, mais ça m'étonnerait.

Ensuite, si tu regardes les animations de Math Coss ci-dessus, tu peux voir que certaines zones restent "sans aucun trait" même après un grand nombre d'itérations de l'algorithme. Ce qui voudrait dire, en repassant dans mon modèle "un peu plus mathématique", qu'il y a des nombres réels dans $]0;1[$ qui sont "plus difficiles" à approcher par des fractions $\dfrac{k}{p}$ que d'autres, dans le sens suivant : après avoir placé tous les $\dfrac{k}{p}$ pour, disons, les $N$ premiers nombres premiers, je me fixe une distance $D$. La plupart des nombres de $]0;1[$ auront au moins un $\dfrac{k}{p}$ dans un rayon $D$ autour d'eux, la plupart en auront même plusieurs, d'autres n'en auront encore aucun (surtout si je me prends $D$ très petite). Je me demandais si ce fait, quand on fait tendre $N$ vers l'infini et $D$ vers $0$, pouvait cacher une information sur la transcendance de certains nombres réels.

C'est hautement conjecturel, mais au moins, c'est des maths faits à partir de shtam. Je mérite au moins d'avoir établi une problématique :-D

Dom · March 2020

Ça me parait dense moi.
Si une suite positive d’entiers $u$ tend vers l’infini, alors on peut approcher n’importe quel nombre avec des $k/u_n$, non ?
Irréductibles ? Il suffit de prendre pour $k$ un autre nombre premier avec $u_n$, ça doit se trouver.
Édit : bah si $u_n$ est un nombre premier, alors $k$ est premier avec donc $k/u_n$ est irréductible.
Hum... quitte à prendre $n$ plus grand...

Poirot · March 2020

@HT : je pense que je vois. N'est-ce pas simplement équivalent à la question de la taille du $n$-ième nombre premier ? Dans ce cas on sait depuis 122 ans que c'est équivalent à $n \log n$. :-D

Homo Topi · March 2020

J'avoue ne pas avoir vraiment essayé, mais peut-on approcher $\dfrac{1}{4}$ par des fractions irréductibles à dénominateur premier ?

Homo Topi · March 2020

Poirot : avec ça, on peut probablement bazarder assez vite ma deuxième question. Mais quid de la première avec la non-périodicité ?

Poirot · March 2020

Pour tout premier $p$, on a $[0, 1] = \bigcup_{k=0}^{p-1} \left[\frac{k}{p}, \frac{k+1}{p}\right[$ donc $\frac{1}{4}$ appartient à exactement un tel intervalle. Ensuite la distance de $\frac{1}{4}$ à l'extrémité la plus proche est inférieure à $\frac{1}{2p}$.

Calli · March 2020

Salut,
Homo Topi, il y a $\dfrac{\lfloor p/4\rfloor}p$ où $p$ est un grand nombre premier (nécessairement, $\lfloor p/4\rfloor$ est premier avec $p$), même si ça n'est pas passionnant.

Poirot · March 2020

Et les rationnels à dénominateurs premiers sont denses dans $\mathbb R$, je t'ai fait la démonstration juste au-dessus :-D

Je n'ai pas compris l'histoire de la périodicité par contre.

Homo Topi · March 2020

Pas étonnant, j'ai un peu de mal à formaliser ce que je veux dire.

J'essaie autre chose. Dans $]0;1[$, les rationnels qui peuvent s'écrire $\dfrac{k}{p}$ avec $p$ premier et $1 < k < p$ forment une suite $(u_n)$ qu'on peut ranger dans l'ordre croissant. Si je note $(v_n)_n$ la suite des dénominateurs des éléments de $(u_n)_n$, je conjecture que $(v_n)_n$ n'admet aucune période.

Est-ce que ça c'est un énoncé mathématiquement clair, maintenant ?

Poirot · March 2020

Si $(v_n)_n$ était périodique elle n'admettrait qu'un nombre fini de valeurs donc la réponse est trivialement non :-S

Homo Topi · March 2020

Laisse tomber, c'est l'effet du shtam et de la fatigue !

Calli · March 2020

Attention, le Shtam est très contagieux ! Pour éviter de vous faire contaminer, respectez les gestes barrières : restez à un mètre de votre écran ! (Les masques ne sont d'aucune efficacité contre le Shtam d'après le gouvernement.) X:-(

Poirot · March 2020

@Calli : (tu) :-D

lourrran · March 2020

Le dessin obtenu sera non périodique : oui, aucun doute là dessus.

Il y a des zones moins denses ? Oui
Les 2 zones extrêmes ( proches de 0 ou proches de 1) sont les moins denses. Le point le plus proche de 0 est issu de la dernière série, il a pour abscisse 1/p.
La zone autour de 1/2 est peu dense également. On sait parfaitement identifier le point le plus proche de 1/2, il est forcément issu de la dernière 'série'.
L'écart entre le trait x=1/2 et ce dernier trait est 1/2p

Entre x=1/p et x=1/2-1/2p, on a donc la moitié des traits tracés jusque là ... c'est beaucoup, comparé à aucun trait entre 0 et 1/p ou aucun trait entre 1/2-1/2p et 1/2.
Par exemple, si p=1009, et si je ne me trompe pas, on aura 38483 traits entre 1/p et 1/2-1/2p (en comptant les 2 traits extrèmes).
Un trait tous les 1/77000 unités. Et juste à côté, aucun trait sur un intervalle de 1/1009.

Et je pense qu'on peut continuer, les zones proches de 1/3 ou de 2/3 doivent être peu denses, puis les zones proches de 1/2, 2/5, 3/5 et 4/5 ... etc etc
Conjectures, conjectures.

lourrran · March 2020

Et l'idée du dessin qui représenterait un motif en zoom normal, et autre chose en zoom lointain ! Ce serait amusant. Je ne connais pas assez le mode de stockage des formes dessinées dans les PDF pour être affirmatif, mais j'y crois.

de VILLEMAGNE · March 2020

Bonjour,

Je remercie Lourrran pour ses ( ces ) encouragements.

Il est certain,

- d'une part que le graphique présente obligatoirement des groupes de traits symétriques par rapport
au trait généré par 1/2, lequel trait de trouve au milieu du graphique, par définition,
et,
- d'autre part que le tracé obtenu par 1/p ( p premier ) ne sera pas périodique, comme la succession des nombres premiers ne l'est pas, ou la succession de groupes choisis de nombres premiers ne l'est pas non plus.

C'est peut-être un coup d'épée dans l'eau d'affirmer cela, mais je le fais.

Les graphiques PDF dV et dV2 de Math Coss retracent mes deux remarques ci-dessus.

Des questions autres que celles qu'a posées Homo Topi doivent pouvoir surgir. Je reprends sa demande : "Je suis preneur."

Je ne sais pas jusqu'à quel "p" Math Coss est allé pour programmer ses graphiques, ni combien il a choisi de couleurs. Apparemment un "p" assez grand, et un grand nombre de couleurs également. ( Je n'arrive pas à discerner dans le détail ces paramètres dans le programme qu'il a écrit et fait fonctionner. )

En ce qui me concerne, je vous offre en pièce jointe, un PDF d'un graphique que j'ai tracé à la main en ayant recours à quatre couleurs uniquement. Il date de 2006 et je n'ai pas noté la valeur de "p".
[ PDF Code barre 1 sur p et p premier 4 couleurs ]

Ce que vous pouvez voir, n'est pas aussi précis que le(s) graphique(s) de Math Coss, mais le tracé est plus dense que dans mon premier PDF en couleur.

Il y a les couleur ROUGE, ORANGE, VERT et BLEU.
La vision globale donne l'effet qu'il y a plus de couleurs : c'est l'effet de la répartition non périodique des couleurs.
Si l'on prend le quadruplet de couleurs ( rouge, orange, vert, bleu ), on le trouve au centre du graphique, et autrement, nulle part ailleurs ( en développant l'observation sur une seule moitié de la feuille, bien entendu ).
Si l'on part de la ligne centrale rouge, vers la gauche ou vers la droite selon le choix, et que l'on applique une "visionneuse" de traits de quatre cases, que l'on déplace tous les 4n ( n > 0 ) traits, on verra des quadruplets de couleurs se former dans cette "visionneuse", qui ne respectent jamais de périodicité : ça n'a aucunement l'air d'un "papier peint" à rayures cycliques, rouge, orange, vert et bleu.
On voit là un effet de la répartition des nombres premiers pour un "p" plus ou moins grand, ceci dans une page de format A4.

L'intérêt est une matérialisation de ce qui est uniquement intellectuel et donc totalement dématérialisé.

D'autres choses concrètes existent. L'une est bien connue : quand un groupe de militaires marchant au pas arrive à un pont pour le traverser, ils cassent le pas pour ne pas faire entrer le pont en résonance avec le pas adopté. Sinon le pont pourrait se déliter.
Chaque militaire se met à marcher de son propre pas, à son propre rythme.
Casser le rythme revient à mettre en oeuvre une arythmie entre chacun des militaires du groupe.
L'arythmie des nombres premiers se coule dans les rythmes ( cycles ) des multiples de 2, de 3, de 5 etc...c'est le principe du crible d'Eratosthène.

Pour notre 1/p , p premier, le(s) graphique(s) fournis montrent bien une arythmie des nombres premiers que l'on peut visualiser, arythmie de couleurs des différents traits.
Si de "p" on passe au "p" immédiatement supérieur, le graphique varie : la "visionneuse" de quatre couleurs consécutives offre des quadruplets de couleurs différents pour 4n. Ainsi, pour n = 1, cette "visionneuse" ne présente plus le quadruplet ( rouge, orange, vert, bleu ), mais un nouveau quadruplet à découvrir... De même pour les valeurs de n successivement passant de 1 à 2, puis de 2 à 3, puis de 3 à 5 etc...
D'où l'intérêt de cette matérialisation.

La remarque que nous retiendrons est que l’arythmie des nombres premiers nécessite des causes indépendantes les unes des autres. Le corollaire est que le rapprochement des causes entraîne des cycles.

Et le souvenir que nous pouvons avoir de cette présentation est que est que dans une fenêtre de format A4 on peut voir beaucoup de merveilles visuelles offertes par l'opération 1/p ( premier ) mise en oeuvre avec un certain panel de couleurs.

Cordialement,

@Math Coss

Pourrais-tu, s'il te plaît, aménager ton programme pour choisir une valeur de p ( p premier ) importante, pour 1/p en n'utilisant que trois couleurs ?

Tes deux PDF ci-dessus chargés dans ton post font apparaître une succession de beaucoup de couleurs pour finir sur du violet, alors qu'il n'y a pas de violet au début, ce qui n'est pas le fonctionnement que j'ai décrit.

Je te remercie : cela fournira un nouvelle et magnifique vision de la répartition des trois couleurs en fonction de celle des nombres premiers.

de VILLEMAGNE · April 2020

Bonjour,

Dans mon post précédent, j'ai fait un Edit pour faire une demande à Math Coss.

Merci à lui s'il a l'occasion d'y répondre.

Cordialement,

Math Coss · April 2020

def dV2(N,clr=("red","green","blue"),bcl='indice'):
    def c(a,b):
        if bcl=='indice':
            return clr[a%(len(clr))]
        else:
            return clr[b%(len(clr))]
    p, r = 2, sqrt(2.)
    G = Graphics()
    for k in range(N):
        G+= add(line([(0,i*r/p),(1,i*r/p)],thickness=.2,color=c(k,p)) for i in range(1,p))
        p = next_prime(p)
    return G

de VILLEMAGNE · April 2020

@Math Coss

Un immense merci : ton PDF unsurp50.pdf dans le post ci-dessus est vraiment époustouflant de beauté ( c'est mon avis ).

de VILLEMAGNE · September 2020

Bonjour,

Pour compléter ce qu'a réalisé Math Coss, je vous prie de trouver dans le PDF joint un dessin fait par ordinateur
où p a plus de trois couleurs, mais où la couleur orange n'est pas utilisée.

De part et d'autre de la ligne centrale claire, apparaît un mélange optique de plusieurs couleurs : le coloris orange surgit lorsque l'on s'éloigne de l'écran, ou de l'impression du PDF d'au moins 1,5 mètre.

Outre l'aspect harmonieux de l'ensemble, cela s'avère être une curiosité.

Cordialement,

1/p, p premier

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