Factorisation polynomiale dans $ \mathbb{H} $

Bonsoir,

Il me semble qu'on peut factoriser dans $ \mathbb{C} $ le polynôme $ P(X,Y,Z) = X^2 + Y^2 + Z^2 $ sous la forme : $ (b_0 X + b_1 Y + b_2 Z ) ( c_0 X + c_1 Y + c_2 Z ) $ avec : $ b_0 , b_1 , b_2 , c_0 , c_1 , c_2 \in \mathbb{C} $, parce que de manière générale, le polynôme : $ a_5 X^2 + a_4 XY + a_3 Y^2 + a_2 YZ + a_1 Z^2 + a_0 XZ $ qui, lorsqu'on l'identifie à : $ (b_0 X + b_0 Y + b_0 Z ) ( c_0 X + c_1 Y + c_1 Z ) = b_0 c_0 X^2 + ( b_0 c_1 + b_1 c_0 ) XY + b_1 c_1 Y^2 + ( b_1 c_2 + b_2 c_1 ) YZ + c_0 c_1 Y^2 + ( b_0 c_2 + b_2 c_0 ) XZ $ fournit un système de la forme : $ \begin{cases} b_0 c_0 = a_5 \\ b_0 c_1 + b_1 c_0 = a_4 \\ b_1 c_1 = a_3 \\ b_1 c_2 + b_2 c_1 = a_2 \\ c_0 c_1 = a_1 \\ b_0 c_2 + b_2 c_0 = a_0 \end{cases} $, c'est à dire, qu'il fournit un système de $ 6 $ équations à $ 6 $ inconnues. Cela montre fortement pourquoi les polynômes de la forme : $ a_5 X^2 + a_4 XY + a_3 Y^2 + a_2 YZ + a_1 Z^2 + a_0 XZ $, et en particulier, le polynôme : $ P(X,Y,Z) = X^2 + Y^2 + Z^2 $ peuvent certainement se factoriser sous la forme : $ (a_0 X + b_0 Y + c_0 Z ) ( a_1 X + b_1 Y + c_1 Z ) $, meme si on dit le contraire. Qu'est ce que vous en pensez ?

Merci d'avance.

Merci GBZM, mais la matrice correspondante à la forme quadratique $ X^2 + Y^2 + Z^2 $ est $ I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $. Non ?.
Quelle est la matrice correspondante à la forme quadratique : $ ( b_0 X + b_1 Y + b_2 Z )( c_0 X + c_1 Y + c_2 Z ) $ ? C'est : $\vphantom{\begin{pmatrix} b_0 \\ c_0 \\ 0 \end{pmatrix} }^t \hspace{-1.5mm}\begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $. Non ?
Mais on peut tout à fait avoir : $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \vphantom{\begin{pmatrix} b_0 \\ c_0 \\ 0 \end{pmatrix} }^t \hspace{-1.5mm}\begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $.
Qu'est ce qui empercherait ça ?

Edit : Ah oui, $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ a pour rang $ 3 $, par contre, $ \vphantom{\begin{pmatrix} b_0 \\ c_0 \\ 0 \end{pmatrix} }^t \hspace{-1.5mm} \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ a pour rang $ 2 $. Oui. Tu as raison GBZM.