Factorisation polynomiale dans $ \mathbb{H} $
dans Shtam
Bonsoir à tous
On sait que le polynôme $ P(X,Y,Z) = X^2 + Y^2 + Z^2 $ n'est pas factorisable dans $ \mathbb{C} [X,Y,Z] $, c'est-à-dire, il ne peut pas se mettre dans $ \mathbb{C} $ sous la forme : $ (a_0 X + b_0 Y + c_0 Z ) ( a_1 X + b_1 Y + c_1 Z ) $ avec : $ a_0 , a_1 , b_0 , b_1 , c_0 , c_1 \in \mathbb{C} $.
Est-ce que le polynôme : $ P(X,Y,Z) = X^2 + Y^2 + Z^2 $ est factorisable dans $ \mathbb{H} $ le corps des quaternions ?
Merci d'avance.
On sait que le polynôme $ P(X,Y,Z) = X^2 + Y^2 + Z^2 $ n'est pas factorisable dans $ \mathbb{C} [X,Y,Z] $, c'est-à-dire, il ne peut pas se mettre dans $ \mathbb{C} $ sous la forme : $ (a_0 X + b_0 Y + c_0 Z ) ( a_1 X + b_1 Y + c_1 Z ) $ avec : $ a_0 , a_1 , b_0 , b_1 , c_0 , c_1 \in \mathbb{C} $.
Est-ce que le polynôme : $ P(X,Y,Z) = X^2 + Y^2 + Z^2 $ est factorisable dans $ \mathbb{H} $ le corps des quaternions ?
Merci d'avance.
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Réponses
... sous la forme : $ (a_0 X + b_0 Y + c_0 Z ) ( a_1 X + b_1 Y + c_1 Z ) $ avec : $ a_0 , a_1 , b_0 , b_1 , c_0 , c_1 \in \mathbb{H} $.
Il me semble qu'on peut factoriser dans $ \mathbb{C} $ le polynôme $ P(X,Y,Z) = X^2 + Y^2 + Z^2 $ sous la forme : $ (b_0 X + b_1 Y + b_2 Z ) ( c_0 X + c_1 Y + c_2 Z ) $ avec : $ b_0 , b_1 , b_2 , c_0 , c_1 , c_2 \in \mathbb{C} $, parce que de manière générale, le polynôme : $ a_5 X^2 + a_4 XY + a_3 Y^2 + a_2 YZ + a_1 Z^2 + a_0 XZ $ qui, lorsqu'on l'identifie à : $ (b_0 X + b_0 Y + b_0 Z ) ( c_0 X + c_1 Y + c_1 Z ) = b_0 c_0 X^2 + ( b_0 c_1 + b_1 c_0 ) XY + b_1 c_1 Y^2 + ( b_1 c_2 + b_2 c_1 ) YZ + c_0 c_1 Y^2 + ( b_0 c_2 + b_2 c_0 ) XZ $ fournit un système de la forme : $ \begin{cases} b_0 c_0 = a_5 \\ b_0 c_1 + b_1 c_0 = a_4 \\ b_1 c_1 = a_3 \\ b_1 c_2 + b_2 c_1 = a_2 \\ c_0 c_1 = a_1 \\ b_0 c_2 + b_2 c_0 = a_0 \end{cases} $, c'est à dire, qu'il fournit un système de $ 6 $ équations à $ 6 $ inconnues. Cela montre fortement pourquoi les polynômes de la forme : $ a_5 X^2 + a_4 XY + a_3 Y^2 + a_2 YZ + a_1 Z^2 + a_0 XZ $, et en particulier, le polynôme : $ P(X,Y,Z) = X^2 + Y^2 + Z^2 $ peuvent certainement se factoriser sous la forme : $ (a_0 X + b_0 Y + c_0 Z ) ( a_1 X + b_1 Y + c_1 Z ) $, meme si on dit le contraire. Qu'est ce que vous en pensez ?
Merci d'avance.
Quelle est la matrice correspondante à la forme quadratique : $ ( b_0 X + b_1 Y + b_2 Z )( c_0 X + c_1 Y + c_2 Z ) $ ? C'est : $\vphantom{\begin{pmatrix} b_0 \\ c_0 \\ 0 \end{pmatrix} }^t \hspace{-1.5mm}\begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $. Non ?
Mais on peut tout à fait avoir : $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \vphantom{\begin{pmatrix} b_0 \\ c_0 \\ 0 \end{pmatrix} }^t \hspace{-1.5mm}\begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $.
Qu'est ce qui empercherait ça ?
Edit : Ah oui, $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ a pour rang $ 3 $, par contre, $ \vphantom{\begin{pmatrix} b_0 \\ c_0 \\ 0 \end{pmatrix} }^t \hspace{-1.5mm} \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_0 & b_1 & b_2 \\ c_0 & c_1 & c_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ a pour rang $ 2 $. Oui. Tu as raison GBZM.
J'introduis ici de nouvelles notions un peu fofolles :
Soit $ \mathbb{C}^2 $ l'espace vectoriel complexe que vous connaissez tous.
- Définition 1,
Soit $ L/K $ une extension de corps.
$ L^2 $ est 2-algébriquement clos si et seulement si tout polynôme non constant $ P \in L [X,Y] $ admet une racine $ (z_1 , z_2) \in L^2 $.
- Question 1,
Est ce que, $ \mathbb{C}^2 $ est 2-algébriquement clos ?
Si oui, pourquoi, alors, tout polynôme non constant : $ P \in \mathbb{C} [X,Y] $ n'est pas forcément scindé ?.
- Définition 2,
Soit $ L/K $ une extension de corps.
$ L^2 $ est une 2-clôture algébrique de $ K^2 $ si et seulement si tout polynôme non constant $ P \in L [X,Y] $ admet une racine $ ( z_1 , z_2 ) \in L^2 $.
- Question 2,
Est ce que $ \mathbb{C}^2 $ est une 2-clôture algébrique de $ \mathbb{Q}^2 $ ?
Merci d'avance.