Encore un truc sur zêta de Riemann

Bonsoir,

Soit $f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{u_n}{n!}t^n$ une fonction développable en série entière au voisinage de $0$.

Je viens de démontrer que

$$I_f(z) \mathop = \limits^{def} \frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^{ + \infty }\frac{t^{z-1}e^{-t}f(t)}{e^t-1} dt=\sum_{n=0}^{+ \infty} (-1)^{n}\binom{-z}{n}a_{f,n} \left(\zeta(z+n)-1\right)$$
telle que $(a_{f,n})$ est une suite de nombre qui dépendent des $u_n$ de $f$.

Cela prouve que cette famille d’intégrales admettent toutes un prolongement analytique sur tout le plan complexe sauf peut être en $1$.