Décomposition d'un espace vectoriel

Bonjour à tous,

On considère la décomposition de Hodge $ H^{2k} ( X , \mathbb{C} ) = \displaystyle \bigoplus_{ p + q = 2k } H^{p,q} (X) $.
Je cherche à établir la décomposition suivante que j'appelle décomposition de Chow, qui est : $ H_{2n - 2k } ( X , \mathbb{C} ) = \displaystyle \bigoplus_{ p+q= 2k } \mathrm{CH}_{q,p} (X) $, mais à partir de la décomposition de Hodge çi dessus, déjà découverte par Sir Hodge, mais à l'aide de l'hypothèse suivante que je fais,

- On suppose $ H^{2k} ( X , \mathbb{C} ) $ lié à $ H_{2n - 2k } ( X , \mathbb{C} ) $ par un morphisme surjectif, $ \varphi \ : \ H_{2n - 2k } ( X , \mathbb{C} ) \to H^{2k} ( X , \mathbb{C} ) $ vérifiant l'identité

$ \int_X \eta \wedge \alpha = \int_V \alpha $ pour tout $ \alpha \in H^{2n - 2k} ( X , \mathbb{C} ) $, et pour tout $ V \in H_{2n - 2k } ( X , \mathbb{C} ) $ et pour tout $ \eta \in H^{2k} ( X , \mathbb{C} ) $ tel que, $ \eta = \varphi ( V ) $.

En fait, pour le moment, je ne cherche à montrer que l'inclusion, $ H_{2n - 2k } ( X , \mathbb{C} ) \subseteq \displaystyle \bigoplus_{ p+q= 2k } \mathrm{CH}_{q,p} (X) $ et je précise que, $ H_{2n - 2k} ( X , \mathbb{C} ) $ est l'espace vectoriel complexe d'homologie des sommes de variétés algébriques réelles de dimension $ 2n-2k $.

$ X $ est bien sûr une variété complexe projective non singulière de dimension complexe $ n $ ( i.e : de dimension réelle : $ 2n $ ).

Alors, pour montrer que, $ H_{2n - 2k } ( X , \mathbb{C} ) \subseteq \displaystyle \bigoplus_{ p+q= 2k } \mathrm{CH}_{q,p} (X) $, il faut vérifier, que, pour tout $ \eta \in H^{2k} (X , \mathbb{C} ) $ pour tout $ S \in H_{2n - 2k } ( X , \mathbb{C} ) $, il existe, $ \displaystyle \sum_{p+q} S^{q,p} \in \displaystyle \bigoplus_{ p+q= 2k } \mathrm{CH}_{q,p} (X) $ tel que,
$$ \displaystyle \int_{S} \alpha = \int_X \eta \wedge \alpha = \displaystyle \sum_{ p +q = 2k } \displaystyle \int_{S^{p,q}} \alpha^{n-p , n-q } = \displaystyle \sum_{ p +q = 2k } \displaystyle \int_{X} \eta^{p,q} \wedge \alpha^{n-p,n-q} $$
pour tout $ \alpha \in H^{2n - 2k} ( X , \mathbb{C} ) $

J'aimerais juste une justification du fait que la famille $ ( S^{p,q} )_{p+q = 2k} $ pour tout $ \eta $ et $ S $ tel que : $ \varphi ( S ) = \eta $, existe.

Merci infiniment.