Identité remarquable généralisée.
dans Shtam
Bonjour,
Je lance une conjecture, mais j'ignore comment déterminer les bornes de mon intégrale :
Voici ma conjecture,
Soit $ \alpha > 0 $,
Alors, $ \exists A \in \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $, tel que, pour tout $ (x,y) \in \mathbb{R}^2 $ :
$$ (x+y)^{\alpha} = \int_{A} \ \dfrac{ \Gamma ( \alpha +1 ) }{ \Gamma ( t+1 ) \Gamma ( (\alpha - t) + 1 ) } \ x^t y^{ \alpha - t } \ dt \ \ \ \ \ \ \ \ (1) $$
avec, $ \Gamma \ : \ t \to \Gamma (t) $ est la fonction Gamma.
Comment alors trouver $ A $ ?.
Que se passe -t-il si on préfère travailler sur $ \mathbb{C} $ au lieu de $ \mathbb{R} $ ? Comment devient-elle la formule $ (1) $ dans ce cas là ?
Merci d'avance.
Je lance une conjecture, mais j'ignore comment déterminer les bornes de mon intégrale :
Voici ma conjecture,
Soit $ \alpha > 0 $,
Alors, $ \exists A \in \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $, tel que, pour tout $ (x,y) \in \mathbb{R}^2 $ :
$$ (x+y)^{\alpha} = \int_{A} \ \dfrac{ \Gamma ( \alpha +1 ) }{ \Gamma ( t+1 ) \Gamma ( (\alpha - t) + 1 ) } \ x^t y^{ \alpha - t } \ dt \ \ \ \ \ \ \ \ (1) $$
avec, $ \Gamma \ : \ t \to \Gamma (t) $ est la fonction Gamma.
Comment alors trouver $ A $ ?.
Que se passe -t-il si on préfère travailler sur $ \mathbb{C} $ au lieu de $ \mathbb{R} $ ? Comment devient-elle la formule $ (1) $ dans ce cas là ?
Merci d'avance.
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Réponses
Est ce que,
Pour tout $ \alpha > 0 $, il existe $ A \subset \mathbb{R} $ tel que pour tout $ (x,y) \in \mathbb{R}^2 $ :
$$ (x+y)^{\alpha} = \int_{A} \ \dfrac{ \Gamma ( \alpha +1 ) }{ \Gamma ( t+1 ) \Gamma ( (\alpha - t) + 1 ) } \ x^t y^{ \alpha - t } \ dt \ \ \ \ \ \ \ \ (1) $$
avec, $ \Gamma \ : \ t \to \Gamma (t) $ est la fonction Gamma.
C'est à dire, est ce que l'application $ \varphi \ : \ \mathcal{P} (\mathbb{R} ) \to \mathbb{R}_{+}^{*} $ telle que, $ \alpha = \varphi ( A ) $, est surjective ?
$\frac{x^{t+1} - 1}{x-1} = \int_A x^u \,\mathrm{d}u$
Hmmm, mais sur quoi intégrer ?
Tu écris,
Est ce que,
Pour tout $ \alpha \geq 0 $, il existe $ A \subset \mathbb{R} $ tel que pour tout $ x \in \mathbb{R} $ :
$$ \dfrac{ x^{ \alpha + 1 } - 1 }{x-1} = \int_{A} \ x^{ \displaystyle t} \ dt $$
C'est à dire, est ce que l'application $ \varphi \ : \ \mathcal{P} (\mathbb{R} ) \to \mathbb{R}_{+} $ telle que, $ \alpha = \varphi ( A ) $, est surjective ?
Très jolie conjecture @Poirot. :-)
Pauvre Poirot, le voilà dans Hodge et l'intégrale de Pablo-Lebesgue.
Alors, on se demande, s'il existe, $ A \in \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $ et $ a \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ une fonction telle que, $ t \to a(t) x^{ \displaystyle t } $ est intégrable pour tout $ x \in \mathbb{R} $, telles que,
$$ f(x) = \displaystyle \int_A a (t) x^{ \displaystyle t } \ dt $$
de sorte que, pour tout $ n \geq 0 $, $ a(n) = a_n $ ?.
C'est à dire, est ce que l'application $ \varphi \ : \ \mathcal{F} ( \mathbb{R} , \mathbb{R} ) \times \mathcal{P} (\mathbb{R} ) \to \mathbb{R}_{+} $ telle que, $ \alpha = \varphi ( a , A ) $, est surjective ?
Vous avez deux heures, et je ramasse les copies ? :-D
Edit : Bien sûr, par rapport à la mesure de Lebesgue, et non par rapport à la mesure de comptage.
Edit : [size=x-large]Poste corrigé[/size].
Pour tout $ \alpha \in \mathrm{Hdg}^{2k} ( X , \mathbb{Q} ) $, il existe $ A \in \mathrm{CH}^k ( X , \mathbb{Q} ) $ tel que pour tout $ \eta \in \mathrm{Hdg}^{2n-2k} ( X , \mathbb{Q} ) $ :
$$ \displaystyle \int_X \alpha \wedge \eta = \int_A \eta \ \ \ \ \ \ \ \ (1) $$
C'est à dire, est ce que l'application $ \varphi \ : \ \mathrm{CH} ( X , \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Hdg}^{2k} ( X , \mathbb{Q} ) $ telle que, $ \alpha = \varphi ( A ) $, est surjective ?
J'appelle fonction Zêta de Pablo l'application $\zeta_{\mathrm{Pablo}}$ qui à $s\in\Bbb C$ tel que $\Re(s)>1$ associe $\displaystyle \int_1^\infty \frac{{\rm d}t}{t^s}$. Exercice :
- Montrer que $\zeta_{\mathrm{Pablo}}$ est bien définie.
- Calculer $\zeta_{\mathrm{Pablo}}(2)$.
- Montrer que $\zeta_{\mathrm{Pablo}}$ possède un prolongement holomorphe à $\Bbb C\setminus \{1\}$.
- Trouver tous les zéros de ce prolongement.
Quand tu auras fait ça Pablo, tu pourras t'attaquer à la conjecture de Riemann. B-)-Voilà à quoi ça ressemble la Higher Number Theory. :)o
Pour les autres, les béotiens, peux-tu également rappeler ce que représente $Hdg^{2k}(X,\Q)$ ou encore $CH^k(X, \Q)$
Suis juste ce que je t'écris pour comprendre. Compare l'énoncé de la conjecture de Hodge qui est devant toi, avec les trois conjectures que nous avons posé sur ce fil, Poirot et moi. C'est la meme chose. Si tu réussis à comprendre ça, tu as alors compris la conjecture de Hodge, et donc, pas besoin de te poser ce genre de questions que tu me poses dans ton dernier message. :-)
Tu connais bien mal l’œuvre de Grothendieck pour dire que l'hypothèse de Riemann ne l'intéressait pas...
Et comparer ta conjecture à la conjecture de Hodge c'est du grand délire.
Votre conjecture à Pablo et toi. :-D
"Les trois conjectures que nous avons posé sur ce fil, Poirot et moi."
Et, pour ton infos, oui, je connais tout l’œuvre de Grothendieck tout en gardant mon humilité face à lui.
Une autre perle.
Oui, parce que tu ne connais rien sur la conjecture de Hodge. Avoue le.
Je ne connais pas tout l’œuvre de Grothendieck, mais j'en connais $ 50 $ % à peu près.
Je ne suis pas fort en français. Tu le sais.
Merci.
L'inverse de Pablo est Galois et c'est bien lui qui est intégré dans les programmes. Cqfd
Est ce que vous pouvez me dire si j'ai droit de faire comme suit :
Je reprends ce que j'avais écrit ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1875164 :
Est ce que je peux faire de meme pour classifier les parties $ A $ de $ \mathbb{R} $ qui apparaissent tout au long de ce fil depuis le début,
Par exemple, je considère, le foncteur ( Je ne sais pas si c'est un foncteur ), peut être, un moduli problem, comme suit :
$$ F \ : \ \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) \to \mathrm{Ens} $$
défini par,
$$ T \to \left \{ \ A \ \mathrm{sur} \ T \ \ | \ \ \alpha \in T \ \ \mathrm{et} \ \ (x+y)^{\alpha} = \int_{A} \ \dfrac{ \Gamma ( \alpha +1 ) }{ \Gamma ( t+1 ) \Gamma ( (\alpha - t) + 1 ) } \ x^t y^{ \alpha - t } \ dt \ \right \} / \sim_{ \mathrm{iso} } $$
D'abord, $ \mathcal{P} ( \mathbb{R} ) $ n'est pas une catégorie, donc, c'est un peu farfelu tout ça ... (:P)
Alors, est ce que ce pseudo-moduli-problem a une solution ? Si, oui, laquelle ?
Je suppose que vous connaissez tous le théorème de changement de variables en théorie de l'intégration ( de Lebesgue, plus précisément ). ( Sinon, voir ici, http://www.les-mathematiques.net/a/i/d/node4.php ).
Sur ce lien internet que j'ai indiqué çi - dessus, on a,
$$ \displaystyle \int_D f(x) dx = \displaystyle \int_{ \Delta } f \circ h(x) \ | D(h) (x) | dx $$
en ayant effectué le changement de variables, $ x = (x_1 , \dots , x_n) \in \Delta \to (y_1 , \dots , y_n ) = h(x) \in D $, avec, $ h \ : \ \Delta \subset \mathbb{R}^n \to D \subset \mathbb{R}^n $ un $ \mathcal{C}^1 $ - difféomorphisme.
Ma question, est de savoir, si l'on peut considérer $ h \ : \ \Delta \to D $ non un difféomorphisme mais une application, $ h \ : \ \Delta \subset \mathbb{R}^n \to D \subset \mathbb{R}^m $ avec, $ n \geq m $, mais juste surjective ( i.e, un épimorphisme ), quel serait dans ce cas là, $ [D(h)(x)| $ ? et est ce que, $ \Delta $ est unique dans ce cas là ?
Merci d'avance.