Suite de Syracuse.

Elle ne m'inspire rien la conjecture de Syracuse @Rescassol. Je la quitte.

Je ne comprends pas pourquoi @CC a une forte admiration pour cette conjecture. Elle est complètement laide. (:D

Non, tu es toujours la bienvenue pour écrire ce que tu veux sur mes fils @Cere. :-)

On a :

$ u_{n+k} = \big( \ f_{i} (u_n) \ | \ u_{n} \ \in 2^k \mathbb{Z} + i \ \big)_{ i = 1 , \dots , 2^{ \displaystyle k } } $ et ce pour tout $ (n,k) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N} $.

Alors, je me dis, que si on permute $ n $ et $ k $ dans $ u_{n+k} $, on va avoir, pour tout $ (n,k) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N} $,

$ u_{n+k} = u_{k+n} = \big( \ f_{i} (u_k) \ | \ u_{k} \ \in 2^n \mathbb{Z} + i \ \big)_{ i = 1 , \dots , 2^{ \displaystyle n } } $,

et donc, pour tout, $ (n,k) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N} $,

$ u_{n+k} = \big( \ f_{i} (u_k) \ | \ u_{k} \ \in 2^n \mathbb{Z} + i \ \big)_{ i = 1 , \dots , 2^{ \displaystyle n } } $

et donc, pour $ k=0 $, et pour tout $ n \in \mathbb{N} $, on a,

$ u_{n} = \big( \ f_{i} (u_0) \ | \ u_{0} \ \in 2^n \mathbb{Z} + i \ \big)_{ i = 1 , \dots , 2^{ \displaystyle n } } $

Qu'est ce qu'on peut en conclure ?

Merci d'avance.

Ce qui achève la démonstration de conjecture de Syracuse. (:P)
Est ce que c'est faux ça ?

Vous moquez vous de moi @Ramon Mercader, @gerard0 et @lourrran ou bien c'est sérieux ?,
Montrez moi s'il vous plaît s'il y'a des erreurs dans mon raisonnement !. ça fait belle lurette que je ne touche pas aux suites et au calcul technique.

Edit : Pardon. Croisement avec le dernier message de @lourrran.

@Poirot,

C'est en partant de considérations triviales, et avec un peu de temps, et de familiarité, on arrivera à résoudre la conjecture. Jamais quelqu'un ne part de considérations non triviales depuis le début et réussit à résoudre des conjectures. Il lui est obligatoire de passer par des considérations triviales au début, et petit à petit, il apprend et devient familier avec le sujet ( grâce à ces considérations triviales ), et finit par trouver l'issue. Votre but, est simplement me décourager pour déserter le milieu.

De toute façon, moi, je ne cherche qu'à apprendre de mes erreurs. Est ce qu'il a quelques passages qui sont faux dans mon raisonnement plus haut concernant mon approche de la conjecture de Syracuse ?

Merci d'avance.

Edit : Croisement avec ton dernier message @CC. Pardon.

@CC,

La conclusion ne t'est pas trop claire si je saisis bien ce que tu dis. Alors, je t'explique comment je suis passé à la conclusion, et que ça y est,

c'est fini, j'ai résolu la conjecture ( Bien sûr, il peut y avoir une erreur dans un passage, alors, quant je dis que c'est fini, et que c'est résolu,

c'est à prendre avec des pincettes ).

On fixe, $ u_0 = N $,

Alors, je suis arrivé à la conclusion que, ( Voir plus haut )

$ \exists ! (n_0 , i_0 ) \in \mathbb{N} \times \{ \ 0 , \dots , 2^k \ \}, \ \forall n \in \mathbb{N} $,
$$ u_n = f_{ \displaystyle i_{0} } (u_ 0) $$
où, $ u_0 \in 2^{ \displaystyle n_ 0 } \mathbb{Z} + i_0 $.

Attention,

- $ f_{ \displaystyle i_{0} } ( u_0 ) $ dépend uniquement de $ n $, c'est à dire, $ f_{ \displaystyle i_{0} } (u_ 0) := f_{ \displaystyle i_{0} } (u_ 0) (n) $.

- On a un algorithme grâce au quel on obtient réellement la suite, $ f_{ \displaystyle i_{0} } (u_ 0) := f_{ \displaystyle i_{0} } (u_ 0) (n) $. ( Voir plus haut )

Donc, ça y est, on fixe $ u_0 = N $, et on regarde, l'expression de $ u_n $ qui est $ u_n = f_{ \displaystyle i_{0} } (u_ 0) (n) $ qui est une égalité qu'on sait à priori son expression,

et donc, la conjecture de Syracuse nous demande de montrer que, pour tout $ u_0 $, il existe $ n_0 \in \mathbb{N} $ tel que, $ u_{n_{0}} = 1 $.

Donc, on a l'expression de $ u_n $ qui est $ u_n = f_{ \displaystyle i_{0} } (u_ 0) (n) $, on résout, alors, $ f_{ \displaystyle i_{0} } (u_ 0) (n) = 1 $ en $ n $, et on regarde si les $ n $ qu'on obtient sont dans $ \mathbb{N} $

( Au minimum, il faut avoir une solution dans $ \mathbb{N} $ ), dans ce cas là la conjecture de Syracuse est correct. Si, aucun des solutions $ n $ ne sont dans $ \mathbb{N} $,

alors, la conjecture est fausse.

CQFD.