Conjecture étonnante
dans Shtam
Bonjour.
Conjecture : pour tous nombres premiers $p,q$ distincts supérieur ou égaux à 5, le nombre $6+pq$ est premier.
Je n’ai pas trouvé de contre exemple, je vais faire un programme cette nuit. On s’éclate pendant ce confinement!
Conjecture : pour tous nombres premiers $p,q$ distincts supérieur ou égaux à 5, le nombre $6+pq$ est premier.
Je n’ai pas trouvé de contre exemple, je vais faire un programme cette nuit. On s’éclate pendant ce confinement!
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Réponses
$13\times19+6=11\times 23$
Bonne nuit. :-D
$5\times 17+6=91=7\times 13$
$7\times 17+6=125$
par exemple.
Cordialement,
Rescassol
Edit: Je suis trop lent !! :-X
Est-ce qu'il dit que toute suite arithmétique ayant une raison première avec un de ses termes contient un terme premier?
Très mauvais souvenir pour moi : c'est en partie grâce à ça que j'ai raté à $\varepsilon$ l'admissibilité à l'ENS Saint-Cloud (l'ancêtre de Lyon) en 1978.
Le problème d'algèbre consistait précisément à démontrer ce théorème.
Si je me souviens bien, soit $D_{a,r}$ l'ensemble des nombres de la forme $a+nr$.
On démontre que la densité de l'ensemble des nombres premiers dans $D_{a,r}$ est égale à $1/\varphi(r)$, où $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler, ce qui entraîne trivialement l'infinitude de cet ensemble.
Et le pire c'est qu'en 5/2 j'avais tout misé sur Cloud, ça m'a valu une année de rebelote. Et quand j'ai commencé à rebosser pour les concours, en février 79, j'ai éclaté aussi bien le pb d'algèbre que celui d'analyse dans le temps imparti. Je devais être très mal dans mes baskets au moment du concours. (Je précise cependant que je n'avais bu que du café et de la flotte).
Le théorème de Dirichlet dit la chose plus faible suivante : $$\sum_{p \equiv a [r]} \frac{1}{p^x} \underset{x \to 1^+}{\sim} \frac{1}{\varphi(r)} \log \left(\frac{1}{x-1}\right).$$ On appelle bien sûr cette notion de limite "densité de Dirichlet" en l'honneur de celui-ci.
Je vais essayer de discuter de ça avec google.
Si quelqu'un a plus de chance que moi...
J'ai écrit ces précisions car ton message laisse sous-entendre que le théorème de Dirichlet c'est $\frac{\pi(x;r,a)}{\pi(x)} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} \frac{1}{\varphi(r)},$ où tu auras reconnu mes notations je pense. Sauf que ça c'est le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques, c'est beaucoup plus fort que le résultat de Dirichlet.
Mais j'ai vraiment le souvenir que le problème de Cloud nous faisait démontrer ce que tu appelles le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques.
Mais je peux me tromper, ça fait 42 ans...
L'analyse complexe n'était pas au programme, du coup je me souviens qu'une bonne partie du sujet consistait justement à reprouver de manière un peu ad hoc des trucs d'analyse complexe.
J'ai fouillé un peu dans mes affaires qui me restent de la prépa, malheureusement, je n'ai pas pu retrouver le sujet.
Et je me suis embourbé dans des trucs faciles.
Fait ch... de ne pas pouvoir remettre la main sur ce satané sujet !
Est ce que ce n'est pas le sujet de 1993 dont vous parlez ? Première composition de mathématiques, sujet commun ENS Ulm et Lyon. Le corrigé est dans la revue RMS 9-10, Mai Juin 1994, p. 600-611 (12 pages, c'est petit), intitulé Corrigé du 6637. Je n'y ai pas accès (à l'ex R.M.S).
PS : je trouve que je poste beaucoup dans Shtam ces derniers temps, faut que je fasse gaffe.
J'ai regardé le sujet dont tu parles, et du coup je dois bel et bien parler du même sujet que Martial, car ce n'est pas ce sujet que j'avais en tête!
En analyse c'étaient des produits de convolutions mélangés avec des interversions séries-intégrales, et j'ai réussi à me gameller comme c'est pas permis. J'ai eu 8 alors que j'aurais pu avoir 16 en étant davantage concentré. Et tout ça c'est psychologique : j'ai mal lu l'énoncé, donc j'ai raisonné comme si les fonctions étaient définies sur $\R$, et au bout d'1/2h j'ai réalisé qu'elles étaient définies sur $\C$. Il m'a fallu tout recommencer, et ça m'a sapé le moral car je me suis dit : ça y est c'est mort, c'est un concours et les autres m'ont déjà mis 1/2h dans la vue. Du coup j'ai passé le reste de l'épreuve le moral dans les chaussettes, ce qui n'est jamais bon pour la réussite.
Mais bon, on apprend de ses erreurs...
Effectivement Poirot, c'est bien le théorème de Dirichlet tel que tu l'as énoncé. Je me suis m'embrouillé parce que le sujet formule cela avec une notion de "densité" d'un ensemble de nombres, et demande de déterminer la "densité" des nombres premiers de la forme $an+m$, mais visiblement, cette notion de densité n'est pas celle dont tu parles.
J'ai également composé sur le sujet que tu as posté, mais là je n'en ai strictement aucun souvenir. Bizarrement je me suis grave gauffré à Ulm en 7/2, alors qu'en 5/2 j'avais été sous-admisssible (GRRRR!!!). Faut dire aussi, à ma décharge, que la veille de la 1ère épreuve d'Ulm j'ai appris que j'étais admissible à l'ENSET. Du coup je me suis moralement plus focalisé sur l'oral de l'ENSET (où je savais avoir des chances sérieuses, la preuve) que sur l'écrit d'Ulm, où ma probabilité de réussite était voisine de zéro, même en cas d'admissibilité. J'avais appris par quelques indiscrétions qu'à Ulm on n'aime pas beaucoup les 7/2...
PS : Ça a existé jusqu'à quand, 7/2 ?
Je me suis tout simplement planté d'année.
Il s'agit de Saint-Cloud 79, et non pas 78.
Math-Coss, tu peux nous les trouver ? (Par contre le sujet d'analyse que tu as posté est bien celui où j'ai eu 8).
Je me souviens même (mais seulement maintenant) que j'avais montré le sujet à Cossart, qui à l'époque faisait des TDs en algèbre commutative, à moins que ce soit en théorie des nombres, je ne sais plus. Il avait reconnu que le sujet était particulièrement non trivial.
Sorry
Cordialement, j__j
J'ai fait 5/2, suis parti en L3 avec une équivalence, et j'ai repassé les ENS en candidat libre, ce qui était possible puisque pour chaque concours on dispose de 3 tentatives
Franchement, nous n'avons pas d'autre explication...