Variante, produit eulérien

Salut, j'ai voulu faire quelque chose.
Je ne sais pas si ce que j'écris a du sens ou est correct.
S'il vous plaît, soyez indulgents.
\begin{align*}
\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})+\ln(a^{\frac{1}{2^t}})+\ln(a^{\frac{1}{3^t}})+\ldots \\
\frac{1}{2^t}\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{2^t}})+\ln(a^{\frac{1}{4^t}})+\ln(a^{\frac{1}{6^t}})+\ldots \\
\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})-\frac{1}{2^t}\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})+\ln(a^{\frac{1}{3^t}})+\ln(a^{\frac{1}{5^t}})+\ldots \\
(1-\frac{1}{2^t})\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})+\ln(a^{\frac{1}{3^t}})+\ln(a^{\frac{1}{5^t}})+\ldots \\
\prod_{i=1}^\infty1-\frac{1}{p_i^t}\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})

\end{align*} Si ce que j'ai écrit est cohérent, j'ignore quel devrait être l'encadrement de $a$.

EDIT : pas log mais ln