Variante, produit eulérien
Salut, j'ai voulu faire quelque chose.
Je ne sais pas si ce que j'écris a du sens ou est correct.
S'il vous plaît, soyez indulgents.
\begin{align*}
\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})+\ln(a^{\frac{1}{2^t}})+\ln(a^{\frac{1}{3^t}})+\ldots \\
\frac{1}{2^t}\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{2^t}})+\ln(a^{\frac{1}{4^t}})+\ln(a^{\frac{1}{6^t}})+\ldots \\
\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})-\frac{1}{2^t}\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})+\ln(a^{\frac{1}{3^t}})+\ln(a^{\frac{1}{5^t}})+\ldots \\
(1-\frac{1}{2^t})\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})+\ln(a^{\frac{1}{3^t}})+\ln(a^{\frac{1}{5^t}})+\ldots \\
\prod_{i=1}^\infty1-\frac{1}{p_i^t}\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})
\end{align*} Si ce que j'ai écrit est cohérent, j'ignore quel devrait être l'encadrement de $a$.
EDIT : pas log mais ln
Je ne sais pas si ce que j'écris a du sens ou est correct.
S'il vous plaît, soyez indulgents.
\begin{align*}
\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})+\ln(a^{\frac{1}{2^t}})+\ln(a^{\frac{1}{3^t}})+\ldots \\
\frac{1}{2^t}\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{2^t}})+\ln(a^{\frac{1}{4^t}})+\ln(a^{\frac{1}{6^t}})+\ldots \\
\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})-\frac{1}{2^t}\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})+\ln(a^{\frac{1}{3^t}})+\ln(a^{\frac{1}{5^t}})+\ldots \\
(1-\frac{1}{2^t})\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})+\ln(a^{\frac{1}{3^t}})+\ln(a^{\frac{1}{5^t}})+\ldots \\
\prod_{i=1}^\infty1-\frac{1}{p_i^t}\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})&=\ln(a^{\frac{1}{1^t}})
\end{align*} Si ce que j'ai écrit est cohérent, j'ignore quel devrait être l'encadrement de $a$.
EDIT : pas log mais ln
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Réponses
On ne peut pas savoir si ça a un sens, tu ne nous a pas présenté a et t. Tu as écrit une série formelle à la première ligne, puis une autre égalité sans dire d'où elle sort.
Tu fais de la calligraphie ? Ce n'est pas très beau ...
Cordialement.
Je suis la même logique que la "démonstration élémentaire due à Euler" avec une petite modification.
Désolé je ne sais pas présenter "a et t".
Quel intérêt ont ces "calculs" ?
Au moins je suis passé d’Ératosthène à Euler ça fait un bond de 2000 ans tout de même.
Il me reste encore 250 ans pour être contemporain.
Ça me fait plaisir quand même, ça prouve que je suis encore jeune.
En fait je pense que t ne sers a rien.
Edit : ah, si t doit être différent de 1 sinon ça diverge mais bon ça donnerait un truc du genre $\infty\times 0$ qui pourrait ne pas diverger.
Je n'ai aucune idée des valeurs que pourraient avoir $a$.
Edit2: 0<a car $ln(0)=\infty$
a pourrait être remplacer par a +1 $\forall a\in\left]-1,1\right[$
$$(1-2^{1-t})\sum_{s=1}^{\infty}\frac{1}{s^t}=\sum_{s=1}^{\infty}\frac{(-1)^{s-1}}{s^t}$$ mais meme en multipliant de chaque cote par $\log a$ je ne retrouve pas tout a fait ce que tu as ecrit.
\zeta(t)=\prod_{i=1}^{\infty}\frac1{1-p_i^{-t}}=\frac{\sum_{s=1}^\infty \ln(a^{\frac{1}{s^t}})}{\ln(a)}.
$$ Pfffff. Encore aucun intérêt.
Par contre retomber sur une égalité bien connu prouve que je ne me suis pas trompé.
\begin{align*}
\zeta(t)&=\prod_{i=1}^{\infty}\frac1{1-p_i^{-t}}=\frac{\ln(a)\sum_{s=1}^\infty \frac{1}{s^t}}{\ln(a)} \\
\zeta(t)&=\prod_{i=1}^{\infty}\frac1{1-p_i^{-t}}=\sum_{s=1}^\infty \frac{1}{s^t}.
\end{align*} J'aurais au moins appris que le $\ln$ permet de transformer des puissances en vulgaires multiplications.