À propos de Syracuse

PMF · April 2020

Bonjour
Voici mon approche de l'inusable conjecture de Syracuse.
Ce travail consiste surtout à "creuser la mine" cad à explorer tous les types de données que l'on peut générer et de tenter d'y trouver des corrélations solides. C'est donc un travail essentiellement pratique, et qui est facilement vérifiable par calcul sur n'importe quel tableur.

Je ne considère que les entiers impairs parce que tout entier pair P se rattache forcèment à un entier impair i' tel que P = i'*2^n. Il n'y a donc rien à démontrer sur ce point et le problème de Syracuse ne se situe qu'en partant d'un impair i' et en arrivant à un impair i tel que 3i+1 = 2^n (5, 21, 85,341...). A partir de ce i, le retour à 1 est donc automatique puisque tout 2^n se divise par 2 jusqu'à 1.

Je me base sur 5 variables que l'on peut facilement extraire dans un tableur :
tdv le temps de vol (étapes paires et impaires jusqu'à 1)
x nombre d'étapes impaires
i' entier impair de départ
i dernière étape impaire avant 1
n nombre des divisions par 2 jusqu'à i

Par exemple pour i' = 19 : tdv=20, x=6, i=5, n=10 (on ne compte pas les divisions de 16 à1)

Voyons d'abord que x et n sont dépendantes de tdv, i' et i
Si vous utilsez un tableur voilà la manière de les calculer
x = ARRONDI(a*ln(i')+b;0)
n =tdv-(LOG(3i+1;2)+x)
Evidemment il faut disposer de a et b pour y arriver. Si je pose par exemple a =-5,452626E-01 et b 4,279210E+01
Pour i'=27, tdv=111 et i=5
on obtient :
x = ARRONDI(a*ln(i')+b;0) = 41
n =tdv-(LOG(3i+1;2)+x) = 66
Ce qui correspond exactement aux valeurs réelles de x et y

Ces valeurs a et b s'associent à un tdv. Si je prend un autre i' tel que 235 807 dont le tdv est aussi de 111 (et i = 5), j'obtient avec les mêmes a et b :
x = ARRONDI(a*ln(i')+b;0) = 36
n =tdv-(LOG(3i+1;2)+x) = 71
Qui sont les bonnes valeurs, je vous laisse vérifier

Si je prends i' = 41 629 dont le tdv est aussi 111 avec i = 341
x = ARRONDI(a*ln(i')+b;0) = 37
n =tdv-(LOG(3i+1;2)+x) = 64

Avec les a et b correspondant à 282 tdv (min 7 max 339) je peux calculer tous les x et n pour i' de 7 à 120.001. En fait je pourrais calculer à l'infini sur cet échantillon de tdv. Notons qu'il y a assez peu de tdv en fait. Les valeurs maximales trouvées sont de l'ordre de 2000.

Passons maintenant à un autre calcul qui pourrait avoir une utilité pour la démonstration - un jour peut-être.
y = (2^(n+4)*(0,1875i+0,0625)*(3i+1)/16-3^x*i'-2^n)/3

Si je reprends i'=27, j'obtiens avec x = 41 et n = 66 (comme vu plus haut)
y = (2^70*(0,1875*5+0,0625)*(3*5+1)/16-(3^41)*27-2^66)/3 = 4,067791E+19
Vous pouver directement copier-coller cette formule dans Excel pour vérifier

J'ai joint un tableau recap et un graphique montrant une forte analogie de structure entre un nuage de points i' tdv et i' y.

Je n'ai pas expliqué comment et a et b sont obtenus mais pour simplifier c'est en "creusant la mine"

Je cherche une ou plusieurs personnes qui seraient intéressées par continuer avec moi sur cette voie. Les données que j'ai obtenues à ce jour sont disponibles si vous voulez voir de plus près. Le but serait de calculer le plus de a et b possibles pour les tdv jusqu'à 2000. Il faut du temps et de la puissance de calcul. Peut-être peut-on arriver à calculer plus vite avec du dev adapté.

Dans l'attente de vos réponses donc.

christophe c · April 2020

Je me suis encanaillé aussi il y a une dizaine de jours, en me glissant dans la peau d'un shtameur et pas de John Malcovitch. Merci pour ce tableur. Mais on parle d'entiers, c'est dommage de laisser des écritures scientifiques.

Par ailleurs, pour ce que j'en ai vu cette conjecture repose sur la question de savoir ce qu'il se passe pour des puissances assez grandes de $2$ et de $3$, c'est à dire des nombres à 1000 chiffres.

Le constat par ordinateur sur les petites valeurs (nombres de moins de 50 chiffres) a été faits par plusieurs matheux, qui présentent des graphiques exhaustifs (lien à l'edit).

Moi-même ai testé quelques points cruciaux.

Les matheux ont été plus loin, ils ont interpolé une courbe qui ressemble fort à une droite (en gros, chaque fois qu'un record est franchi, c'est à dire un vol plus long que tous les précédents, ils l'enregistrent et jettent les intermédaires, sauf erreur), et donc conjecturent qu'il en sera toujours ainsi, et de plus, ils ont généralisé cette conjecture à TOUS les Syracuse-like et elle est contsatée sur les petits nombres.

Enfin, même sans bagage maths élaboré, tu peux voir que les enchainements sont du type:

$$ 2^a (2p_1+1) \to 2p+1 = (2^k(2q+1)-1) \to 3^k(2q+1)-1 = 2^b(2p_2+1)\to AND-SO-ON$$

qui ne rend intéressant que $(a,p_1),(b,p_2)$ les intermédiaires devenant des variables liées signalant l'existence de la jointure.

Autrement dit, les tests sur les nombres à 30 chiffres ne font que nous dire que pour une petite centaine de nombres concernés, la conjecture est confirmée (à comparer avec le fait que le plus petit nombre abondant est 945, et qu'il est grand).

Au final, les petits nombres n'apportent strictement rien du tout. La question est assez similaire à celle pour la conjecture de Goldbach, qui fait apparaître une sorte d'invraisemblabilité qu'un nombre pair puisse échapper à la très forte croissance du nombre de façons de le rendre somme de 2 premiers constatée, mais où cette remarque ne constitue pas une preuve.

PMF · April 2020

merci pour cette réponse
cependant concernant les petits nombres :
Je pense que les temps de vol sont extremement limités en taille . Exemple signalé par calculis : La suite de Syracuse qui débute avec le nombre 2 361 235 441 021 745 907 775 a pour durée de vol 2 284, un record pour un nombre inférieur à 2^72.)
27 (un tout petit nombre) a le même temps de vol (111) que 251.411. On trouve déjà1402 tdv=111 en explorant jusqu'à 300.000.
Mon intuition est que les très grands nombres ont les mêmes tdv que les petits : on trouvera surement un tdv de 111 avec un nombre de 1000 chiffres. Je serais d'ailleurs curieux de trouver la liste des tdv trouvés à ce jour

christophe c · April 2020

C'est juste dû au fait que si X a tel temps de vol, en ajoutant $2^n-1$ à $X$, avec $n$ grand, l'évolution sera la même mais $2^n$ subira les descentes et les montées, et "sanctionnera" $X$ du déséquilibre (si trop de descentes confronté aux montées)

Collag3n · April 2020

$x=\lfloor \log_6\frac{2^{TDV}}{i'}\rfloor$

Berkouk2 · April 2020

Bonjour

@PMF

j'ai "vérifié" vos 2 formules qui estiment respectivement les valeurs x=ARRONDI (a .log ( i' ) +b ; 0 ) et n = TDV -( log(3.i+1);2) +x , pour a = -0.532566 et b =3.366005 ( chiffres que vous avez présenter dans votre PDF )

la vérification est faite pour le chiffre 9 :
9 - 28 -14- 7 -22 -11 -34 -17 -52 -26 -13 -40 -20 -10 -5 -16 -8 -4 -2 -1

résultats :

TDV = 20 , x = 6 , n = 9 ( =log(512;2) )

or x = ARRONDI (a .log ( i' ) +b ; 0 ) = ARRONDI ( (LOG(9)*(-0,532566))+3,366005 ) = 3 ?

et n = TDV -( log(3.i+1);2) +x = 20 -( log(16);2) + 3 = 19 ?

J’espère me tromper ( confinement + jeun = ! )

BERKOUK

PMF · April 2020

Pour i' = 9
Trajectoire 9 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
i = 5
x = 6
n = 9
tdv = 16
a = -5,457052E-01 (-0,545705170662373)
b = 7,234737E+00 (7,2347373792828)
x = ARRONDI(a*LN(i')+b;0) = ARRONDI(-0,545705170662373*LN(9)+7,2347373792828;0) = 6
n = tdv-(LOG(3*i+1;2)+x) = 19-(LOG(3*5+1;2)+6) = 9
Pas de soucis donc pour i' = 9

PMF · April 2020

génial @Collag3n !

dans excel j'utilise donc
x = ARRONDI(LOG((2^tdv)/i';6);0)
n = tdv-(LOG(3*i+1;2)+x)
et vérifié sur 60.000 i' de 3 à 120.001 , c'est tout bon.

vous m'expliquez votre formule C?

Collag3n · May 2020

En gros, on prend $\frac{3n_0+1}{2^{k_1}}=n_1$ qu'on réécrit $3(1+\frac{1}{3n_0})=2^{k_1}\frac{n_1}{n_0}.$
Si on réécrit ceci pour $i$ steps et qu'on multiplie, on obtient $$
3^i\Big(1+\frac{1}{3n_0}\Big)\Big(1+\frac{1}{3n_1}\Big)\cdots\Big(1+\frac{1}{3n_{i-1}}\Big)=\frac{n_i}{n_0}\prod_{j=1}^i2^{k_j}
$$ et si on va jusqu'à $n_i=1$ on a $$
k_1+k_2+k_3+\ldots+k_i=i\cdot \log_23+\log_2{n_0}+\log_2\prod_{j=0}^{i-1}\Big(1+\frac{1}{3n_j}\Big)
$$ qui en sautant quelques étapes donne $k$ nombre total de divisions par 2 dans la suite (somme des $k_i$) :
$k=\lceil i\cdot \log_23+\log_2{n_0} \rceil$ et avec $TDV=k+i$ : $$
TDV=\lceil i\cdot \log_26+\log_2{n_0} \rceil
$$ ou avec tes notations : $$
TDV=\lceil x\cdot \log_26+\log_2{i'} \rceil.$$

PMF · May 2020

Merci bcp pour cette réponse @Collag3n qui est très utile pour moi

Il y a clairement une relation entre le tdv, le nombre d'étapes impaires x, la dernière étape impaire i et l'impair de départ i'
Toute cette relation est inscrite dans y = (2^(n+4)*(0,1875i+0,0625)*(3i+1)/16-3^x*i'-2^n)/3
que l'on peut écrire en n'utilsant que tdv, i' et i (c'est long mais directement copiable dans excel)
y= (2^ARRONDI((tdv-(LOG(3*i+1;2)+LOG(2^tdv/i';6))+4);0)*(0,1875*i+0,0625)*(3*i+1)/16-3^ARRONDI(LOG(2^tdv/i';6);0)*i'-2^ARRONDI((tdv-(LOG(3*i+1;2)+LOG(2^tdv/i';6)));0))/3

Il faut aussi tenir compte que 3i+1 =2^m
3*5+1=2^4, 3*21+1=2^6, 3*85+1=2^8, 3*341+1=2^10....
on voit que les valeurs de m sont 4, 6, 8, 10... (m = 4 dans 93% des cas)

Il y a enfin dans les trajectoires de Syracuse une étape impaire qui est très fréquente : 911. Elle est située 11 étapes avant i et représente 40% des cas ayant un x >=12

je joins les recaps actualisés

christophe c · May 2020

Je n'ai pas compris cette histoire de 911 et pourtant j'ai bien regardé tes 3 tableurs. Peux-tu préciser?

PMF · May 2020

pour le 911 c'est une étape impaire entre i' et i que l'on trouve en douxième position avant la fin
exemple avec le 607 dont le x = 13 et le 911 est l'étape impaire juste après
5
53
35
23
61
325
433
577
3077
2051
1367
911
607

il y a vraiment bcp de 911 dans les trajectoires Syracuse puisque j'en trouve 40% pour les x>=12

Collag3n · May 2020

Pour x>12 beaucoup de chemins passent par 911. C'est un peu l'équivalent de "pour x petit, beaucoup de chemins passent par 5", et plus x grandi plus on a de chemins qui passent par 85 par exemple. C'est lié à l'arbre de Collatz.

PMF · May 2020

@collag3n : oui mais 5, 21,85, 341... sont des i de la forme 3i+1 =2^m et qui arrivent direct à 1 après
911 est une étape entre i' et i : 3*911+1 n'est pas égal à 2^m
je n'ai pas donné de nom à ce 911- les suggestions sont les bienvenues !

PMF · May 2020

je continue sur quelques observations intéressantes dans les trajectoires de Syracuse
Je joins le graphique i' y pour les trajectoires passant par l'étape 911 et un graphique montrant un des segments de ce graphique
on peut voir que chaque segment correspond à un couple x,n donné et est determiné par la relation y = a*i'+b
a et b sont obtenus en calculant PENTE(y,i') et ORDONNEE.ORIGINE(y,i') sur la selection du couple x,n
donc il y a autant de couples que de segments visibles sur le graph général
intriguant...

PMF · May 2020

et on peut reconstituer un des alignements de segments visibles sur le graph général en sélectionnant les bons couples x,n
couples x_n du graph joint
35_69
37_72
39_75
41_78
43_81
45_84
47_87
49_90
51_93
53_96
55_99
57_102
59_105
61_108
63_111
65_114

christophe c · May 2020

Au point de taf où tu en es c'est dommage que tu ne reprécises pas tout. Je suis perdu dans tes graphiques sans légende et je n'ai toujours pas compris 40% de quoi, car il y a des conventions d'élimination des étapes monotones souvent, et en plus tu mets de l'écriture scientifique pour désigner des entiers.

Si tu veux qu'on en profite tous, fais un point ultra précis sur cette histoire de 911.

Est-ce que 40% des nombres compris entre 1 et 10^80 passent par 911 lors de leur vol CLASSIQUE au sens de Syracuse et sans effacer d'étape triviale?

PMF · May 2020

Pour répondre à Christophe, voici l'histoire du 911

Quand j'ai commencé à "creuser la mine" de Syracuse, j'ai surtout essayé de bien visualiser les étapes d'un vol. Je me suis vite aperçu que les étapes paires ne servaient pas à grand chose (hormis le fait de connaitre le nombre de divisions par 2). Donc j'ai supprimé les étapes paires et une trajectoire se définit d'un impair i' à un impair i (qui est de la forme 3i+1=2^m). Sur ce chemin (vol, trajectoire...) on passe par des étapes impaires. J'ai donc fait un tableau qui aligne pour chaque vol (i') les caractériques principales (tdv, nbr étapes impaires...)) et le détail de chaque étape impaire (voir l'image jointe)

Si on regarde la colonne marquée 12 il y a bcp de 911. Donc 911 c'est une valeur impaire par laquelle passe le vol et cette valeur est toujours située 11 étapes impaires avant la 1 que je nomme i (5, 21, 85,341... .)

Pour compter 40% voilà les données exactes :
i de 3 à 120.001 : 60.000 éléments
i de 3 à 120.001 ayant une 12ème étape non vide donc un x>=12 : 56.857 éléments
i de 3 à 120.001 ayant une 12ème étape qui est 911 : 23.328 éléments
23.328 / 56.857 = 0.41029 donc grosso modo 40%

Pour les notations et l'écriture, c'est vrai que c'est pas super élégant car c'est du brut d'excel. Avantage : on peut les copier coller direct dans un tableur et il n'y a plus qu'à faire pointer les cellules sur les variables. ça permet de vérifier que ces formules donnent des résultats vérifiables et que je n'ai pas fumé la moquette

Ce que j'attends de ce forum, c'est justement de faire les bonnes généralisations à partir de ces calcul bruts (le minerai si on veut)
@Collag3n m'a super aidé en sortant une formule qui évite de faire des calculs longs. J'ai vraiment fait un bond avec cette aide et du coup je peux aller plus vite chercher des données qui me semblent intéressantes.

J'ai aussi bien vu dans le Shtam quelques délires de certains. Ce n'est pas du tout le chemin que je veux prendre. J'aime bcp creuser la mine, je connais très bien Excel et je produis des données sur cette conjoncture. J'avancerais peut-être des idées du genre :"ce graph ferait penser que..." mais ce n'est surement pas moi qui vait démontrer quoi que ce soit. Je me contente de montrer tout court.

Désolé si des légendes ont été oubliées, je vais plus revérifier. Pour les notations scientifiques, elles ne concernent que y car c'est un nombre qui est souvent très grand : 7,039258E+14 = 703925839856631. De plus Excel met des zéros à partir de 15 chiffres donc cette notation est indispensable.

Berkouk2 · May 2020

Bonjour

si on considère x : nombre d'étapes impaires durant un TDV , et n : le nombre d'étapes paires

soit n = tdf - ( log (3 i' +1) ;2 ) +x
et x = arrondi ( log(2^tdf /i' ; 6 ) qu'on peut reduire à la base 2 par x= 0.38685281 * arrondi ( log(2^tdf /i' ; 2 )

or d'aprés etudes de cette suite fascinante , je suis arrivé à un théorème définit comme suit :

qql soit un entier appartenant à N privé de 0 , Syracuse atterrit à 1 <==> 2^n > 3^x et x/n < log2/log3

conformément à ce " théorème" , 0.38685281 * arrondi ( log(2^tdf /i' ; 2 ) / tdf - ( log (3 i' +1) ;2 ) +x devra être
< log2/log3

c à d avec i' = 5 ( qui constitue -d’après PML - 93 % des cas ( 3i+1=2^m , m=4) ) nous aurons :

0.38685281 * arrondi ( log(2^tdf /5 ; 2 ) / tdf - ( log (16) ;2 ) +x < log2/log3

ou bien = x / tdf - 4 + x < log2/log3 , en prenant l'exemple de 19 dont x= 6 , tdf =20 , et log2/log3 = 0.630929753
==> x / 16+ x < 0.630929753

==> 6/ 22 < 0.630929753

==> 0.27272727 < 0.630929753 pas de contradiction , Bravo , vous êtes sur la bonne voie

BERKOUK

Collag3n · May 2020

$y=i\cdot2^n-i'\cdot3^{x-1}$

PMF · May 2020

ça marche nickel !!!

christophe c · May 2020

Merci pour les détails.

PMF · May 2020

bonsoir @Berkouk2
je reviens vers vous demain... promis !

PMF · May 2020

je vous joins 2 graphiques utilisant y = i * 2^n - i' * 3^(x-1)
le premier montre le nuage de point i' y pour tous les i' de 3 à 177 943
le deuxième montre le nuage de point i' y pour tous les i' de 3 à 177 943 ayant une étape impaire = 911
comme expliqué plus tôt dans la journée, les pointillés ou segments bien visibles sur le graph 911 sont parfaitement isolables et on peut les définir y = a*i'+b

PMF · May 2020

je reviens sur cette formule
y = i * 2^n - i' * 3^(x-1) n'est vrai que si i = 5
les valeurs de i : 21, 85, 341... ne renvoient pas la bonne valeur de y
le nuage de point i' y pour tous les i' de 3 à 177 943 ayant une étape impaire = 911 calculé avec cette formule freste correct car le i =5 pour 911

PMF · May 2020

@ BERKOUK2
En corrigeant la notation de ton texte :
x : nombre d'étapes impaires durant un TDV
n : le nombre d'étapes paires
i : la dernière étape impaire avant 1
i’ : l’impair de départ
tdv : le temps de vol

soit n = tdv - ( log (3i +1) ;2 ) +x et x = arrondi ( log(2^tdv /i' ; 6 )

ta proposition est :
qql soit un entier appartenant à N privé de 0 ,Syracuse atterrit à 1 <==> 2^n > 3^x et x/n < log2/log3

En vérifiant sur 88.971 i’ de 3 à 177.943
Vrai pour 2^n > 3^x et x/n < log2/log3 : 88.923 cas
Faux pour 2^n > 3^x et x/n < log2/log3 : 48 cas
Les i’ en défaut sont :
3
5
7
9
11
13
21
75
85
113
151
201
227
341
403
423
537
605
635
715
805
847
891
909
953
955
1 003
1 365
5 461
7 281
14 563
17 259
19 417
20 455
21 845
25 889
27 273
30 683
34 519
38 835
40 911
46 025
51 779
54 547
58 253
61 367
64 647
87 381

Collag3n · May 2020

$y=\frac{(i(3i+2)-5)}{16}\cdot2^n-i'\cdot3^{x-1}$
Étrange comme formule. L'autre correspondait à l'accumulation des +1 , mais celle-ci....

PMF · May 2020

En rappelant que :
x : nombre d'étapes impaires durant un TDV
n : le nombre d'étapes paires
i : la dernière étape impaire avant 1
i’ : l’impair de départ
tdv : le temps de vol
x = log(2^tdv/i';6)
n =tdv-(LOG(3i+1;2)+x)
y = (2^(n+4)*(0,1875i+0,0625)*(3i+1)/16-3x^*i'-2n)/3
On note en sus x_n un couple x et n associé à un tdv unique (il y a des x_n ayant plusieurs tdv)

On voit bien sur le nuage de points i’ y (voir pdf joint) que les courbes sont constituées de segments obliques :

Chacun des segments correspond à un couple x_n avec un tdv unique à une ligne d’équation
y = a*i’ + b (les coef a et b sont obtenus par PENTE et ORDONNEE.ORIGINE sur la sélection x_n)

Le couple choisi pour le graphique est le 20_45 dont le tdv est 69. Il est le plus abondant pour les i’ <= 177.943 : 231 occurrences

On devrait pouvoir aussi calculer les a et b des x_n ayant plusieurs tdv. De même il serait possible (envoyé hier) de construire une courbe en groupant les couples de tous les segments qui la constitue (et éventuellement en calculer les coef). Je constate cependant que si on ne choisit que les i' passant par l'étape 911 , il est bien plus facile de faire ces alignements. Mais pour les autres bof, bof...

J'ai donc fait un alignement de segments avec les x_n : 20_45 22_48 24_51 26_54 28_57 30_60 ayant tous en commun 911 en étape 12 (pdf joint). la courbe de tendance de type puissance est quasi nickel : on appréciera le "E+104" du premier coef....

Mon hypothèse : tout nuage de points i' y pour tout i' serait structurable en segments et alignements de segments. Cette structure définirait donc tout l'espace de y (et donc de la conjecture)... mais je vous passe le bébé à ce stade !

PMF · May 2020

résultats du test de y = ((i*(3*i+2)-5)/16)*2^n-i'*3^(x-1)
88.973 i' analysés
même résultat que y standard : 70.802
erreurs (mais très petites) : 18.169
la moyenne de la diffrence y_std / y_new est de 4.614E-17 : très petit donc voire quasi pareil...
reste à savoir quelle est la meilleure formule ?

Collag3n · May 2020

Du -17 c'est au-delà de la précision d'excel il me semble. Peut-être utiliser int() ou floor(). Il y en a un des 2 qui ne fonctionne pas toujours correctement. Fix() en VBA est buggé

PMF · May 2020

Collag3n
je suis d'accord et encore merci pour cette contribution
j'utilse donc cette formule maintenant

Berkouk2 · May 2020

Bonjour

@PMF :

j'ai vérifié vos 48 cas , ils sont conformes à ma proposition ,voir détails sur PDF ci-joint

bonne lecture

BERKOUK

PMF · May 2020

Bonjour @Berkouk2
merci pour le tableau. Je confirme votre vérification sur 100.000 i' <=200.001
j'intègre donc z = x/(tdv-(log(3i+1);2)+x) < log2/log3
concernant les valeurs de z, il y en a exactement 666 (brrr... le nombre du diable !)
la valeur max de z est 0.5 et la min 0.105263
je vous joins le graphique de la distribution de z
bien à vous

PMF · May 2020

il y a vraiment parfois de belles surprises et je pense que c'est pour cela que ça vaut le coup de creuser la mine;
au fil de cette semaine, j'ai pu avancer rapidement grâce à deux contributions de membres de ce forum
Collag3n : y = ((i*(3*i+2)-5)/16)*2^n-i'*3^(x-1)
BERKOUK2 : z = x/(tdv-(log(3i+1);2)+x) < log2/log3

les courbes que vous pouvez voir en pièce jointe sont des nuages de points i' y en choisissant z = 0.25 (z le plus fréquent) et une étape impaire n°12 (là où on trouve le fameux 911)
Elles présentent des alignements parfaits sur une tendance de type puissance
sans dire que cela démontrerait quoi que ce soit.... mais c'est tout de même beau à voir !

lourrran · May 2020

Ces courbes sont 'belles'.

Prenons la première courbe de ce document.
Pour ceux qui lisent ce fil en diagonale, peux-tu expliquer ce que représente cette courbe.

Voici ce que je comprends, et ce que je ne comprends pas !

- Sur l'axe des abscisses, on a tous les entiers impairs.
- Parmi tous les entiers impairs, tu as sélectionné uniquement ceux pour lesquels la suite de Syracuse passe par 911. Ok.
- Pour chacun de ces entiers, tu calcules un certain y, y peut atteindre 10^20 ... C'est quoi ce y ?

PMF · May 2020

en conclusion de cette discussion :

Conjecture de Syracuse
x : nombre d'étapes impaires
n : le nombre d'étapes paires
i : la dernière étape impaire avant 1
i’ : l’impair de départ
tdv : le temps de vol
étape 12 : la douzième étape impaire avant i

x = log(2^tdv/i';6) @Collag3n
n =tdv-(LOG(3i+1;2)+x) @Collag3n
y = ((i*(3*i+2)-5)/16)*2^n-i'*3^(x-1) @Collag3n
z = x/(tdv-(log(3i+1);2)+x) < log2/log3 @BERKOUK2

il apparait que l'on peut aligner des points [i',y] sur une courbe de tendance de type puissance en choisissant une valeur de z et une étape 12

voir graph joint

à bientôt sur une deuxième discussion qui partira de ce point

PMF · May 2020

bonjour @Lourran
Toutes les explications dans le post que je viens de publier
je te rejoins le graph "synthèse"

lourrran · May 2020

On part d'un entier impair i'.
On recherche $i$ , dernier entier impair avant 1, on recherche le temps de vol $tdv$.
On a également $n$ et $x$, qui sont bien définis.

On calcule un certain y : $ y = ((i*(3*i+2)-5)/16)*2^n-i'*3^{x-1}$
y représente quoi ?

Ensuite, on place les points ( i' , y) , et ça donne une forme assez régulière.

Si on avait pris par exemple $ y = ((i*(3*i+2)-5)/20)*2^n-i'*3^{x-2}$ , on aurait obtenu une autre courbe, plus ou moins similaire ... Pourquoi la formule initiale, plutôt que celle que je propose ?
Que représente ce y ?

PMF · May 2020

Bonjour au forum

Vous trouverez ci-joint une note de synthèse très complète du post de la semaine dernière et des fichiers de données.

En résumé de la semaine dernière, j'ai fourni un premier jeu de données sur Syracuse et gràce à la contribution de ce forum, des formules ont été proposées qui ont permis de passer un cap et d'extraire de nouvelles données qui sont donc jointes ici.

En lisant la note de synthèse (indispensable) et en analysant les données fournies, vous allez vite voir qu'il y a un joli challenge pour trouver la raison des ''alignements'' très spectaculaires que ces données montrent.
J'attends donc avec impatience et curiosité vos contributions.
PMF

[Quelle que soit la saison, restons dans la discussion que tu as déjà ouverte sur le sujet. AD}

PMF · May 2020

@lourran
y représente rien en soi sauf qu'il est un concentré des variables essentielles de la trajectoire
le nuage de points i',y est donc plus informatif que le classique i',tdv

je vous conseille d'aller sur le nouveau post ''À propos de Syracuse, saison 2''. Vous allez trouver une note de synthèse très complète et des données. J'attends donc vos contributions sur ce post avec curisoité.

J'essaie bien sur sur votre formule et je reviendrai avec les résultats.

PMF · May 2020

@lourran

Désolé j'ai répondu trop vite et donc incomplétement tout à l'heure
y doit matcher une valeur réelle que l'on peut déduire sans formule d'une trajectoire de Syracuse
regardez bien le pdf joint et rendez-vous sur À propos de Syracuse, saison 2

PMF · May 2020

Je reviens vers vous pour quelques explications sur ''y'' qui semble souvent mal compris

il est important de définir comme données réelles (ou expérimentales) ce que l'on peut extraitre d'une trajectoire de Syracuse par simple calcul et observation. Ces données sont donc la trajectoire du point de départ impair (i') à l'arrivée i (5, 21,85,341.. qui aboutit direct à 1), le nombre d'etapes paires n ou impaires x, le tdv et une variable y.

Ce ''y'' expérimental est très important car il permet de confirmer que les formules le calculant sont correctes.
Voilà très précisement comment on obtient y pour i'=19 dont les étapes impaires sont 19 - 29 - 11 - 17 - 13 - 5
19 : y = 0 (par défaut pour i)
29 : y = 1 (par défaut pour l'étape impaire suivant i)
11: y = 5 (3*1+ 2^1) = 3*(yprev +2^nbr de div par 2 de 19 à 29)
17: y = 31 (3*5+ 2^4) = 3*(yprev +2^nbr de div par 2 de 19 à 11)
13 : y = 125 (3*31+ 2^5) = 3*(yprev +2^nbr de div par 2 de 19 à 17)
5 : y = 503 (3*125+ 2^7) = 3*(yprev +2^nbr de div par 2 de 19 à 13)

lourrran · May 2020

Ok.
Pas simple à expliquer. Mais le fait qu'on obtienne des belles courbes, c'est juste une évidence. (les choses évidentes sont les plus compliquées à expliquer !).
Faut pas y voir un début de preuve ou quoi que ce soit.

PMF · May 2020

pour rappel
x nombre d'étapes impaires
i' entier impair de départ
i dernière étape impaire avant 1
n nbr div par 2

Il est possible de calculer une estimation du tdv en fonction de i' en supposant un ratio n/x et une valeur de i (5,85,341)
on précalcule pour cela avec les données réelles les coef a et b pour chaque ratio n/x
et on peut obtenir tdv = a.ln(i') + b

pour i = 5 et n/x = 11/6 tdv = 16,456*ln(i') - 38,977
sur les 1116 i' concernés en vérifiant ARRONDI(tdv_réel - tdv_estim;0) on obient 151 fois 1, 761 fois 0 et 204 fois -1

nous avons donc encore une possibilité d'alignement dans [i',tdv] dont le sélecteur serait le rapport n/x. Ces rapports ne sont pas très nombreux : pour 100.000 i' entre 3 et 200.001 on en trouve 613. Le plus fréquent est n/x = 2 (4272 occurences)

voir le pdf joint pour le graph

PMF · May 2020

Bonjour au forum

Pas de démonstration de la conjecture, mais voici un joli ‘’smoking gun’’ (preuve évidente) de la structure de [i', tdv]

En rappelant les données réelles que l’on peut observer pour n’importe quelle trajectoire ou ‘’vol’’ :
x : le nombre d'étapes impaires
n : le nombre d'étapes paires (ou combien de fois on divise par 2 jusqu’à i)
i : la dernière étape impaire avant 1 (3*i+1 est une puissance de 2)
i’ : l’impair de départ
tdv : le temps de vol

Et comme un post précédent sur ce forum a permis de les définir et vérifier, ces formules ‘’Excel’’ :
x = log(2^tdv/i';6) @Collag3n
n =tdv-(LOG(3i+1;2)+x) @Collag3n
y = ((i*(3*i+2)-5)/16)*2^n-i'*3^(x-1) @Collag3n
z = x/(tdv-(log(3i+1);2)+x) sachant que z < log2/log3 @BERKOUK2

Je mets en évidence par analyse des données que :
Tout point [i',tdv] se définit par une coordonnée [latitude, longitude] telle que :
Pour la latitude, à partir d'un x_n_tdv donné, les points s'alignant sur une série telle que : tdv=tdv_prev+3 x=x_prev+1 n=n_prev+2
Pour la longitude, à partir d'un x_n_tdv donné, les points s'alignant sur une série telle que : tdv=tdv_prev-5 x=x_prev-2 n=n_prev-3

Dans les documents joints il y a le graph et les données concernant la recherche des coordonnées pour i' = 5389, tdv = 67, dont le x_n_tdv ''latitude'' = 3_6_13 et le x_n_tdv ''longitude'' = 37_66_107

Je publierai dans les jours qui viennent une liste complète de coordonnées sur un ensemble de i’.

Vos contributions sont les bienvenues.

PMF · May 2020

Bonjour à tous
Je commence à constituer une table exhaustive des alignements [i',tdv] dits ''latitude" et "longitude"

Je remarque depuis hier qu'il faut impérativement utiliser comme sélection une valeur n/x et une valeur de i

Comme bien visible sur le graph joint, avec n/x = 1.6666 et i=341 on voit l'intersection latitude et longitude au point [i',tdv] = [25683,162]

Si tout va bien par la suite, ce type de graph devrait être possible en n'importe quel point de [i',tdv]

Pour rappel :
x : le nombre d'étapes impaires
n : le nombre d'étapes paires (ou combien de fois on divise par 2 jusqu’à i)
i : la dernière étape impaire avant 1 (3*i+1 est une puissance de 2)
i’ : l’impair de départ
tdv : le temps de vol

PMF · May 2020

Bonjour

Les données de latitude et longitude ont été extraites pour 100.000 i’ de 3 à 200.001

Elles se regroupent 1649 lignes ce qui correspond exactement au nombre de x_n_tdv uniques pour 100.000 i’ de 3 à 200.001.

En chaque point de coordonnée [i’,tdv] se croisent une longitude et une latitude. La latitude aligne des points ayant le même i et le même rapport n/x. La longitude aligne des points dont le x_n_tdv parte d’un x_n_tdv initial et dont tous les autres sont respectivement incrémentés de -5, -2, -3. Dans la pratique, on part du x_n_tdv du i’ cherché et on scanne dans la base en montant et en descendant avec les incréments indiqués.

Je joins la table en pdf faute de mieux pour l’instant. Un Excel serait mieux adapté mais ce n’est pas accepté sur ce forum. Me contacter au besoin si vous êtes intéressés.

Je conclus donc ce post avec la ‘’monstration’’ à défaut de ‘’démonstration’’ de la conjecture de Syracuse. Mon algorithme détricote celui de Syracuse puisqu’il est capable de replacer tous les points dans [i’,tdv] au sein d’ un système de coordonnées (latitude, longitude). N’importe qui peut refaire ce calcul et en extraire les mêmes données.

Je suis intimement persuadé qu’une généralisation est possible en partant de ces données. En commençant bien sûr par les formules qui définiraient latitude et longitude avec les paramètres i’, i tdv, x et n. On pourrait certainement déduire de nombreuses propriétés de ces formules et pourquoi pas une démonstration. Merci de me tenir au courant sur ce post !

Rappel notations et formules :
i’ : l’impair de départ
x : le nombre d'étapes impaires
n : le nombre d'étapes paires (ou combien de fois on divise par 2 jusqu’à i)
i : la dernière étape impaire avant 1
tdv : le temps de vol
x_n_tdv : le triplet des 3 paramètres x, n et tdv
x = log(2^tdv/i';6) @Collag3n
n =tdv-(LOG(3i+1;2)+x) @Collag3n
y = ((i*(3*i+2)-5)/16)*2^n-i'*3^(x-1) @Collag3n
z = x/(tdv-(log(3i+1);2)+x) sachant que z < log2/log3 @BERKOUK2

PMF

Berkouk2 · May 2020

Bonjour

j'ai procédé à quelques observations "stochastiques" au niveau des corrélations qui peuvent exister entre les différentes variables étudiées par @PMF dans son tableau -excel à savoir :

x : le nombre d'étapes impaires
n : le nombre d'étapes paires (ou combien de fois on divise par 2 jusqu’à i)
i : la dernière étape impaire avant 1 (3*i+1 est une puissance de 2)
i’ : l’impair de départ
tdv : le temps de vol

ainsi que les résultats recueillis notamment au niveau de y et z :

y = ((i*(3*i+2)-5)/16)*2^n-i'*3^(x-1)
z = x/(tdv-(log(3i+1);2)+x) sachant que z < log2/log3

* * *

les différentes corrélations entre la suite des nombres impairs du départ ( i') et les autres variables :

- entre i' et i

> r = 0.00463133
- entre i' et x

> r = 0.14629068
- entre i' et n

> r = 0.18137288
- entre i' et y

> r = 0.00311737
- entre i' et z

> r = -0.02193557
- entre i' et tdf

> r = 0.16897954

quand aux correlations entre , x , n , tdf et z le coefficient r varie entre 0.7719613 et 0.78824926 ce qui est elevé par rapport à i' ci-dessus

ce qui est remarquable aussi c'est que y corrèle peu avec z ( 0.0041938 ) et surtout , la corrélation négative entre i' et z , ce qui s'explique par : plus on avance dans les nombres impaires , plus le rapport x/n devient petit , c'est à dire que le cardinal des nombres impairs devient insignifiant par rapport au cardinal des nombres pairs dans la suite de Collatz ; sans jamais s'annuler ( = 1/2^k ; est l'inverse d' une puissance de 2 qui contient au numérateur 1 nombre impair , "surtout vers la fin ")

ce qui s'explique par les dires d' un internaute :

dans le processus syracusien , à force éliminer les combinaisons de nombre premiers impairs dans la décomposition en facteur premier d'un nombre pair , il finit par ne rester que la seule puissance de 2

excellente piste de recherche qui lie Syracuse au nombres premiers

BERKOUK

Berkouk2 · May 2020

Bonjour

PMF a écrit:

Mon algorithme détricote celui de Syracuse puisqu’il est capable de replacer tous les points dans [i’,tdv] au sein d’ un système de coordonnées (latitude, longitude). N’importe qui peut refaire ce calcul et en extraire les mêmes données.

Est-ce à dire que vos êtes en train de travailler sur la fonction i' = f( tdv) et que vous avez réussi à isoler certaines variables en utilisant la (latitude, longitude) ce dont je n'ai pas encore bien compris le concept, et la méthode.

PMF a écrit:

... Un Excel serait mieux adapté ...

bellevue-2011@hotmail
merci
BERKOUK

Homo Topi · May 2020

Moi aussi, j'ai une question à propos de Syracuse... je la mets vite-fait ici pour ne pas ouvrir encore un 14ième fil dessus.

Est-ce qu'elle a un lien mathématique avec quoi que ce soit ? De ce que j'en ai vu, c'est juste un problème que quelqu'un a inventé une fois, "juste comme ça", et qui est devenu célèbre parce que l'énoncé est très simple mais personne ne sait le résoudre. Mais est-ce qu'on connait déjà des résultats intéressants liés à la résolution de la conjecture ? Evidemment, je sais que comme on ne connait pas encore les outils nécessaires pour la résoudre, on ne peut pas déjà savoir TOUT ce qu'on déduira de la résolution, mais est-ce qu'à l'heure actuelle cette conjecture a déjà le moindre intérêt outre sa difficulté (qui est un peu "artificielle", si j'ose dire, vu que le problème est un peu sorti de nulle part) ?

Berkouk2 · May 2020

Bonjour

Homo Topi a écrit:

Est-ce qu'elle a un lien mathématique avec quoi que ce soit ?

à commencer par démontrer rigoureusement les deux assertions : x = log(2^tdv/i';6) et n =tdv-(LOG(3i+1;2)+x)

sachant que dans la suite de Collatz :
x : le nombre d'étapes impaires
n : le nombre d'étapes paires (ou combien de fois on divise par 2 jusqu’à i)
i : la dernière étape impaire avant 1 (3*i+1 est une puissance de 2)
i’ : l’impair de départ
tdv : le temps de vol

bon courage à tous ( on ne vient pas ici rien que pour se distraire , non ..)

BERKOUK

À propos de Syracuse

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Bonjour!

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