Distributions
dans Shtam
Bonjour à tous,
Soit $ T \in \mathcal{D} ( \Omega ) $ une distribution définie sur un ouvert $ \Omega $ de $ \mathbb{R} $.
Est ce que, la quantité, $\quad \displaystyle \int_{ \Omega } T \quad$ a un sens et existe ?
De mon coté, il me semble que ça a un sens et existe, parce que, si on considère $ \chi $ une fonction positive de $ \mathcal{D} ( \Omega ) $ telle que, $ \int_{ \Omega } \chi d \lambda = 1 $, et on pose, $ \chi_{ \displaystyle \epsilon } (x) = \dfrac{1}{ \epsilon^{n} } \chi \big( \dfrac{x}{ \epsilon } \big) $, alors, pour tout $ \epsilon > 0 $, $ \ T \star \chi_{ \displaystyle\epsilon } \to T $ lorsque $ \epsilon \to 0^+ $, au sens des distributions. Non ?
Or, pour tout $ \epsilon > 0 $, $ \ T \star \chi_{ \epsilon } $ est une fonction dans $ \mathcal{C}^{ \infty } ( \Omega ) $.
Donc, $ \displaystyle \int_{ \Omega } (T \star \chi_{ \displaystyle \epsilon } ) $ a un sens, et existe. Non ?
Puis, on pose, $ \displaystyle \int_{ \Omega } T = \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \displaystyle \int_{ \Omega } ( T \star \chi_{ \displaystyle \epsilon } ) $.
Donc, oui, $ \displaystyle \int_{ \Omega } T $ a un sens et existe et est définie par, $$
\displaystyle \int_{ \Omega } T = \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \displaystyle \int_{ \Omega } ( T \star \chi_{ \displaystyle \epsilon } )
$$ Non ?
Merci d'avance.
Soit $ T \in \mathcal{D} ( \Omega ) $ une distribution définie sur un ouvert $ \Omega $ de $ \mathbb{R} $.
Est ce que, la quantité, $\quad \displaystyle \int_{ \Omega } T \quad$ a un sens et existe ?
De mon coté, il me semble que ça a un sens et existe, parce que, si on considère $ \chi $ une fonction positive de $ \mathcal{D} ( \Omega ) $ telle que, $ \int_{ \Omega } \chi d \lambda = 1 $, et on pose, $ \chi_{ \displaystyle \epsilon } (x) = \dfrac{1}{ \epsilon^{n} } \chi \big( \dfrac{x}{ \epsilon } \big) $, alors, pour tout $ \epsilon > 0 $, $ \ T \star \chi_{ \displaystyle\epsilon } \to T $ lorsque $ \epsilon \to 0^+ $, au sens des distributions. Non ?
Or, pour tout $ \epsilon > 0 $, $ \ T \star \chi_{ \epsilon } $ est une fonction dans $ \mathcal{C}^{ \infty } ( \Omega ) $.
Donc, $ \displaystyle \int_{ \Omega } (T \star \chi_{ \displaystyle \epsilon } ) $ a un sens, et existe. Non ?
Puis, on pose, $ \displaystyle \int_{ \Omega } T = \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \displaystyle \int_{ \Omega } ( T \star \chi_{ \displaystyle \epsilon } ) $.
Donc, oui, $ \displaystyle \int_{ \Omega } T $ a un sens et existe et est définie par, $$
\displaystyle \int_{ \Omega } T = \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \displaystyle \int_{ \Omega } ( T \star \chi_{ \displaystyle \epsilon } )
$$ Non ?
Merci d'avance.
Réponses
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Il me semble que si $T$ est de support compact $K\subset \Omega$, c'est plus simple de considérer $T(1_K)$.
-
Bonjour,
quangtu123, $\mathbf{1}_K$ n'est pas une fonction $\mathcal C^\infty$. Il faudrait plutôt regarder $T(\mathbf{1}_\Omega)$. -
Bonjour quangtu123, et Calli,
Je n'ai pas saisi où vous voulez en venir exactement. Pouvez vous être plus clair et plus précis ?
Merci d'avance. -
Calli écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1994792,1994800#msg-1994800
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
C'est vrai. Le problème est que $\mathbf{1}_\Omega$ n'est pas de support compact. Sinon, on peut regarder une régularisation lisse $\phi$ qui vaut $1$ sur $K$ est $0$ hors d'un ouvert $U$ contenant $K$, et montrer que $T(\phi)$ ne dépend pas de $\phi$. -
quangtu123, si tu prends $T$ à support compact, alors $T$ est prolongeable en une forme linéaire sur $\cal C^\infty(\Omega)$, donc on peut considérer $T(\mathbf{1}_\Omega)$.
Édit : En fait ce que tu viens de dire revient à démontrer mon affirmation. -
Je ne comprends rien de ce que vous racontez.
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Si tu poses une question comme ça sur les distributions, je pars du principe que tu connais les distributions (même si, venant de toi, je ne me fais pas d'illusion).
Si on prend $\Omega=\Bbb R$ et $T=\cos$, quel sens donnes-tu à $\displaystyle\int_{\Bbb R} \cos$, Pablo ? -
Ben, lorsqu'on voit $ \cos $ comme une simple fonction, alors, $ \int \cos = \int \cos d \lambda $.
Lorsqu'on voit, $ \cos = T_{ \cos } $ comme une distribution, alors, $ \int \cos $ est définie en suivant ce que j'ai expliqué plus haut. -
$ \displaystyle \int_{ \mathbb{R} } \cos = \displaystyle \int_{ \mathbb{R} } T_{\cos } = \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \displaystyle \int_{ \mathbb{R} } ( \chi_{ \epsilon } \star T_{ \cos } ) $
$ \mathrm{supp} \ ( \chi_{ \epsilon } \star T_{ \cos } ) \subseteq \mathrm{supp} ( \chi_{ \epsilon } ) + \mathrm{supp} \ T_{ \cos } = \mathbb{R} $. Non ?
Je ne comprends pas où est le problème. -
S'il vous plaît, essayez de m'éclairer les choses. Je ne pige rien en langage des sourds.
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Tu ne piges rien au langage des maths en fait.
-
Pablo
En effet, je ne pourrai pas donner une vérification à la construction que tu as donnée. Quant à l'intégrale d'une distribution, si le support de $T$ est compact, on peut considérer la quantité $T^p(1_{\Omega})$ avec $T^p$ la forme linéaire prolongée. Cela coïncide avec $ \int_{\Omega}f $ si $T=T_{f}$. -
Les questions de Pablo me font à chaque fois penser à ce fameux sketch :-Est-ce que le schmillblick est-il vert ?
-Non, à quoi pensiez vous ?
-A rien, c'était pour faire avancer le schmillblick.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Pablo prend $T \in \mathcal{D} ( \Omega )$ ( et non pas $T \in \mathcal{D'} ( \Omega )$ qui définit bien une distribution régulière et puisque $\mathcal{D} ( \Omega )\subset L^1 ( \Omega )$ où est le problème ?Le 😄 Farceur
-
Si on veut une définition raisonnable de l'intégrale d'une distribution, il faut que ça généralise la quantité $\int_\Omega f = \langle f , 1 \rangle$ quand $f$ est une fonction localement intégrable, donc on pose
$$ \int_\Omega T = \langle T , 1 \rangle$$
dès qu'on peut donner un sens à cette formule. C'est fait dans certains bouquins de distributions même si j'avoue ne pas trop avoir d'exemples en tête où on a besoin d'intégrer une distribution...
Mais bon j'imagine que pour quelqu'un qui pense que $\int_{\R} \cos$ a un sens, tout cela est bien abstrait... -
Non, @gebrane, $ T \in \mathcal{D} ' ( \Omega ) $.
@quangtu123, En fait, $ \int_{ \mathbb{R} } \cos (t) dt = 0 $. Il faut alors vérifier si $ \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \int_{ \mathbb{R} } ( \chi_{ \epsilon } \star T_{ \cos } ) = 0 $.
A-t-on, $ \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \int_{ \mathbb{R} } ( \chi_{ \epsilon } \star T_{ \cos } ) = 0 $ ?
Merci d'avance.
Edit, Croisement avec le message de Héhéhé. -
Si tu parviens à démontrer que $\int_{ \mathbb{R} } \cos (t) dt = 0$ alors effectivement tu as une démonstration de la conjecture de Hodge ! (via $0=1$)
-
Poirot,
Tu ne sais pas pourquoi, $ \int_{ \mathbb{R} } \cos (t) dt = 0 $ ? -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1994792,1995154#msg-1995154
Bah même pas puisqu'on ne sait pas définir $\int_{ \mathbb{R} } \cos (t) \,{\rm d}t$. Remarquez que je n'ai pas demandé l'intégrale du sinus pour éviter que Pablo me fasse la blague de me sortir "ça fait zéro parce que le sinus est impair" (on sait qu'il en est capable). -
@Calli,
$ \cos (t) = \sin \big( \dfrac{ \pi }{ 2 } - t \ \big) $. -
Poirot,
Tu ne sais meme pas calculer une simple intégrale ! B-) -
C'est du niveau L2 de savoir que $\int_{\R} \cos(t) \, \mathrm dt$ n'a pas de sens (elle n'est pas intégrable et n'est pas semi-convergente). Avant d'apprendre des mathématiques de haut niveau, il faut déjà maitriser les bases (mais on te l'a déjà dit 10000 fois).
-
Non, je voudrais d'abord que Poirot m'explique pourquoi cet intégrale est indéfinie d'après lui, et Héhéhé aussi et tous les autres. On corrigera ensemble après.
-
Ce n'est pas intégrable car
$$\int_{\R} \vert \cos(t) \vert \, \mathrm dt \geq \sum_{k \in \mathbb Z} \int_{\frac{-\pi}{4}+2 k \pi}^{\frac{\pi}{4}+2 k \pi} \cos(t) \, \mathrm dt = \sum_{k \in \mathbb Z} \sqrt 2 = +\infty$$
et ce n'est pas semi-convergent car quand $n \to + \infty$
$$\int_{0}^{2 \pi n} \cos(t) \, \mathrm dt = 0 \to 0$$
et
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} \cos(t) \, \mathrm dt = 1 \to 1$$
Si tu ne comprends pas ce que j'ai écrit, c'est que tu n'as pas le niveau pour faire des mathématiques de niveau master, dont les distributions, et toutes les mathématiques au delà (Hodge, catégories, etc.). -
Et Poirot, comment il fait aussi ? B-)-
-
Il fait pareil, c'est un résultat ultra-classique (on peut montrer plus généralement qu'une fonction continue et périodique est intégrable sur $\mathbb R$ si et seulement si elle est nulle, pareil pour le fait que son intégrale est semi-convergente).
-
Héhéhé a écrit:Il fait pareil, c'est un résultat ultra-classique (on peut montrer plus généralement qu'une fonction continue et périodique est intégrable sur $\mathbb R$ si et seulement si elle est nulle, pareil pour le fait que son intégrale est semi-convergente).
Peux tu m'indiquer un seul cours sur le net qui affirme ça ? -
Héhéhé écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1994792,1995194#msg-1995194
Je ne comprends pas en quoi le fait que, quand $n \to + \infty$ $$\int_{0}^{2 \pi n} \cos(t) \, \mathrm dt = 0 \to 0
\qquad\text{et}\qquad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} \cos(t) \, \mathrm dt = 1 \to 1
$$ impliquerait que $ \int_{ \mathbb{R} } \cos (t) dt $ diverge.
Peux-tu détailler ce point ?
Merci.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD] -
Parce par définition une intégrale $\int_{\R} f$ avec $f \colon \R \to \R$ continue par morceaux converge si $\int_0^x f$ et $\int_{-x}^0 f$ admettent des limites finies quand $x \to + \infty$. C'est dans n'importe quel cours sur les intégrales généralisées...
-
Héhéhé
Oui, mais ça n'a rien à avoir avec ce que tu écris, lorsque tu écris que, quand $n \to + \infty$ $$\int_{0}^{2 \pi n} \cos(t) \, \mathrm dt = 0 \to 0
\qquad\text{et}\qquad
\int_{0}^{\frac{\pi}{2} + 2\pi n} \cos(t) \, \mathrm dt = 1 \to 1 $$
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Bah si ça prouve que $\int_0^x \cos(t)\, \mathrm dt$ n'admet pas de limite quand $x \to + \infty$.
-
ça veut dire que, si $ \int_{0}^{ + \infty} \cos (t) dt $ diverge, alors, alors, $ \int_{ \mathbb{R} } \cos (t) dt $ diverge aussi ? Je n'ai pas compris.
-
Quelle est la négation de "$\int_0^x f$ et $\int_{-x}^0 f$ admettent des limites finies quand $x \to + \infty$" ?
-
https://www.maths-france.fr/MathSpe/Cours/05-integration.pdf définition 5 page 6.
-
Donc, par contraposée,
$ \int_{0}^{ + \infty } f $ diverge ou $ \int_{ - \infty }^0 f $ diverge, implique que, $ \int_{ \mathbb{R} } f $ diverge. Non ? -
oui
-
:-S :-D
Oui, c'est convaincant Héhéhé.
Merci. -
La négation de $P$ et $Q$ c'est non $P$ ou non $Q$, c'est de la logique de base.
-
Merci beaucoup Héhéhé. Tu m'as ajouté une chose nouvelle dans ma tête Héhéhé. ;-)
Et comment calcule-t-on $ \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \int_{ \mathbb{R} } ( \chi_{ \epsilon } \star \cos ) $ cette fois çi ?
$ \chi_{ \epsilon } \star \cos $ ici, est à support compact. -
A-t-on droit d'écrire, $ \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \int_{ \mathbb{R} } ( \chi_{ \epsilon } \star \cos ) = \int_{ \mathbb{R} } \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } ( \chi_{ \epsilon } \star \cos ) $ ?
C'est à dire, a-t-on droit d'intervertir $ \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } $ et $ \displaystyle \int_{ \mathbb{R} } $ dans ce cas là ?
Merci d'avance. -
Ni le membre de gauche, ni le membre de droite ne sont bien définis. Donc cette interversion limite / intégrale est aussi vraie que « $\text{not a number}$ $=$ $\text{not a number}$ » en informatique. :)o
-
@Calli,
Pourquoi, $ \displaystyle \lim_{ \epsilon \to 0^{+} } \int_{ \mathbb{R} } ( \chi_{ \epsilon } \star \cos ) $ n'est pas bien défini ?
Merci. -
S'il te plaît. Un peu d'éclairage à propos du calcul de cette limite d'intégrale. Je ne sais pas pourquoi elle n'est pas bien définie.
-
Pourquoi cette formule serait-elle définie ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
-
ça t'ennuie à ce point de m'écrire une réponse @Calli alors que tu vois clairement que je suis sur du feu ?. 8-)
-
Voici une autre méthode pour calculer $ \displaystyle \int_{ \mathbb{R} } \cos (t) dt $,
On a, $ \displaystyle \int_{ \mathbb{R} } \cos (t) dt = \displaystyle \sum_{ n \in \mathbb{Z} } \int_{f_{n} ([ - \pi , \pi [) } \cos (t) dt $, avec, $ f_n (x) = x+2 \pi n $.
D'où, $ \displaystyle \int_{ \mathbb{R} } \cos (t) dt = \displaystyle \sum_{ n \in \mathbb{Z} } \int_{[ - \pi , \pi [ } \cos (t + 2 \pi n) dt = \displaystyle \sum_{ n \in \mathbb{Z} } \int_{[ - \pi , \pi [ } \cos (t) dt $
$ = \displaystyle \sum_{ n \in \mathbb{Z} } [ \sin (t) ]_{ - \pi }^{ \pi } = \displaystyle \sum_{ n \in \mathbb{Z} } 2 \sin ( \pi ) = \displaystyle \sum_{ n \in \mathbb{Z} } 0 = 0 $
Où est l'erreur ? -
Non.
Je vais reprendre la même technique que toi, et je vais montrer que le résultat est égal à 0 (ton calcul), mais qu'il est aussi égal à 2.
L'intégrale en question, tu la découpes en $n$ intervalles de longueur $2 \pi$ avec $n \in \mathbb{Z}$ . C'est ton choix.
Je vais appliquer la même idée, mais je vais la découper en 3 intégrales :
- Une intégrale sur $ ]-\infty , - \pi/2 ] $
- Une intégrale sur $ ] - \pi /2 , \pi /2 [ $
- Une intégrale sur $[ \pi /2 , +\infty [ $
La première et la 3ème intégrale, je fais comme toi (c.a.d. la même erreur que toi), et je trouve qu'elles valent 0.
La 2ème, je la calcule et elle vaut 2.
L'intégrale totale vaut donc 2.
Et donc 2=0.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Ta première ligne est fausse. Tu ne peux pas écrire $$
\int_{\R} \cos(t) \, \mathrm dt = \sum_{k \in \Z}\ ...
$$ tant que tu n'as pas montré que $\int_{\R} \cos(t) \, \mathrm dt$ existe (par exemple en montrant que la fonction cosinus est intégrable sur $\R$).
Ce que tu as montré: si la fonction cosinus est intégrable sur $\R$, alors $ \int_{\R} \cos(t) \, \mathrm dt =0$. Mais elle n'est pas intégrable. -
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1994792,1994822#msg-1994822
C'est quand même désespérément facile d'entraîner Pablo dans le mur... (d'ailleurs, le plus souvent il trouve le mur tout seul (:P))
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