AntiTwins

Je crois que c'est faux. La conjecture de Polignac énonce que pour tout entier $k \geq 2$ pair, on a $p_{n+1} - p_n = k$ une infinité de fois (le cas $k=2$ est la conjecture de nombres premiers jumeaux).

Apparemment, Yitang a montré qu'il existe des $k$ pairs avec $k< 70 000 000$ pour lesquels la conjecture est vrai, ce qui empêche que ta fonction tendent vers $+\infty$.

Plus d'infos sur le comportement de ta fonction ici et là.

EDIT: grillé :)o

Poirot : je ne m'y connais pas du tout, mais par curiosité : cette borne est non conditionnelle ? Je ne me souviens plus trop (et vu ton domaine tu sais sûrement beaucoup mieux que moi :-D ) mais j'avais souvenir que le projet PolyMaths avait atteint $\sim$ 600 et que tout ce qui était en dessous était conditionnel
(je me trompe très probablement)
(et Tao avait l'air de dire que les techniques pouvaient amener, à nouveau conditionnellement, à $6$; mais n'avaient aucun espoir d'atteindre $2$)

La borne 2 est aussi conditionnelle (:P)

Tu m'étonnes !...

Question :

Comprendre sa limite inférieure est l'enjeu de la conjecture des nombres premiers jumeaux, mais Yitang Zhang a prouvé que la limite inférieure était inférieure à 70 000 000 (et je crois que des travaux après ont montré qu'on pouvait abaisser cette borne à quelques centaines, peut-être 650; et à 6 modulo quelques conjectures).

Le mot que j'ai mis en rouge, ce ne serait pas plutôt supérieure ?

Et pour vérifier que j'ai vraiment compris, il n'y aurait donc aucun couple de nombres premiers consécutifs $P_n$ et $P_{n+1}$ tels que $P_{n+1}- P_n > 70 000 000$ ?

Mais dans ce cas là, je ne comprends pas le rôle de ce 246.

@lourrran : on parle bien de limite inférieure. Autrement dit, $p_{n+1} - p_n < 70000000$ (et en fait $246$) pour une infinité d'entiers $n$. Comme l'a dit Gérard, la limite supérieure est, elle, infinie puisqu'il existe des trous arbitrairement grands entre deux nombres premiers consécutifs.

La différence $d_n :=p_{n+1} - p_n$ est étudiée depuis longtemps. Mentionnons les résultats annexes suivants, bien connus depuis des décennies.

1. $\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \frac{d_n}{\log n} \geqslant 1$.

2. $\displaystyle \sum_{n=2}^N \frac{d_n}{\log n} \sim N$ lorsque $N \to \infty$.

3. $d_n \ll p_n^{0,525}$. Voir cet article.

4. $\displaystyle \sum_{\substack{p_n \leqslant x \\ d_n \geqslant p_n^{1/2}}} d_n \ll x^{3/4+\varepsilon}$.

Pour ceux qui aiment ces résultats de théorie des nombres, voici un livre rempli de tels résultats sans démonstration. Cela permet d'avoir un coup d'œil sur toute la production sans se farcir d'innombrables ouvrages ou de chercher des sites pas toujours simples à trouver. Alors, certes, certains de ces résultats ne sont plus à la page, mais pour un non-spécialiste, ça fait très bien l'affaire. D'ailleurs, les références sont systématiquement données, ce qui permet de mettre à jour les résultats par des recherches sur ZentralBlatt par exemple.

Encore une fois, tu sembles mettre le doigt sur des choses importantes.

En effet, il y a des fonctions solutions d'équations différentielles aux différences qui jouent un rôle crucial dans certaines branches de la théorie des nombres. Ces équations ne sont pas tout à fait identiques à celle que tu décris, mais je crois que ça vaut le coup que je donne quelques détails.

1. La fonction de Dickman $\rho$ est définie sur $\mathbb{R}_+$ par $\rho(x) = 1$ si $x \in [0,1]$, est continue en $1$, dérivable sur $]1,+\infty[$ et, pour tout $x > 1$, satisfait l'équation
$$\rho^{\, \prime}(x) = - \frac{1}{x} \rho(x-1).$$

2. La fonction de Buschtab $\omega$ est définie $[1,\infty[$ par $\omega(x) = \frac{1}{x}$ si $x \in [1,2]$, est continue en $2$, dérivable sur $]2,\infty[$ et, pour tout $x > 2$, satisfait l'équation
$$(x \omega(x))^{\, \prime} = \omega(x-1).$$

Ces deux fonctions sont les fers de lance des fonctions de comptage suivantes :
$$\sum_{\substack{n \leqslant x \\ P(n) \leqslant y}} 1 \quad \textrm{et} \quad \sum_{\substack{n \leqslant x \\ p(n) > y}} 1$$
où $P(n)$ et $p(n)$ sont respectivement le plus grand et le plus petit facteur premier de $n$. Dans le $1$er cas, on dit que l'on compte les entiers $y$-friables, dans le $2$nd cas ce sont les entiers $y$-criblés.

Il existe effectivement des résultats explicites pour des majorations de $\pi_2(x)$, le dernier en date doit être celui-ci, l'article étant en téléchargement libre.

Si, si, les heuristiques prédisent un équivalent de la forme $\frac{Cx}{(\log x)^2}$ où $C$ est la constante sous forme de produit infini de l'article. Les constantes conjecturées dans ce genre de problèmes sont toujours de cette forme à cause du raisonnement probabiliste : on suppose que certaines congruences modulo les nombres premiers sont indépendantes, d'où une constante du type "probabilité que ... = produit sur tous les $p$ des probas qu'aucune obstruction locale mod $p$ n'ait lieu".

Tu peux regarder la conjecture de Hardy-Littlewood et la conjecture d'Artin pour voir des exemples édifiants de telles heuristiques.

Les heuristiques prévoient des équivalents, donc en particulier des minorations ! Et bien sûr c'est hors d'atteinte puisqu'on ne sait même pas montrer que $\pi_2(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$ (avec $\pi_2$ la fonction de comptage des premiers jumeaux bien sûr).

Une heuristique est en quelque sorte entre une conjecture et un résultat démontré : il s'agit d'une assertion soutenue par un modèle, le plus souvent probabiliste comme l'a indiqué Poirot.

Dans la plupart des cas, ces heuristiques fournissent la bonne réponse au problème posé, ce qui permet de guider les recherches quant au but à atteindre.

Mais dans tous les cas, on est pour le moment incapable de produire une démonstration qui viendrait valider cette heuristique.

C'est un peu comme quand on observe qu'un médicament semble fonctionner (hum! hum !) sans que l'on ait pu valider son efficacité, si tu vois ce que je veux dire.