AntiTwins et symétrie
dans Shtam
Bonsoir chers phorumeurs,
Après avoir un peu hésité entre poster dans shtam ou dans arithmétique, je me lance, le contexte n'y étant pas pour rien. Il s'agit de l'observation d'une symétrie dans la collection des nombres premiers.
Je préviens que l'explication sera un peu confuse et que les termes mathématiques seront employés de travers ce qui agacera les professeurs de mathématiques.
On considère la collection des nombres premiers ordonnés dans l'ordre croissant.
On calcule l'écart entre chaque nombre premier (successeur moins prédécesseur), on réduit cet écart modulo 6 (ou 3 ce qui revient au même) et on associe à chaque nombre premier son écart réduit modulo 6 avec son successeur.
La collection 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... devient (2,1), (3,2), (7,4), (11,2), (13,4), ...
Les écarts réduits modulo 6 sont égaux à 2, 4 ou 0.
On compte à présent les nombres premiers selon l'écart réduit modulo 6 avec le successeur, un peu comme si on typait les nombres premiers et on obtient la symétrie suivante :
le nombre de nombres premiers associés à un écart de type 2 est égal au nombre de nombres premiers associés à un écart de type 4 (plus ou moins un en "réalité").
Un décompte sur le premier milliard de nombres premiers donne :
274 252 409 type 2
274 252 408 type 4
451 495 181 type 0
1 type 1
1 erreur
Total un 1 milliard de nombres premiers
Il y a deux petites choses intéressantes en plus :
- un nombre premier de type 2 n'est jamais suivi ou précédé d'un nombre premier de type 2, idem pour les nombres premiers de type 4, et idem aussi pour les nombres premiers de type 0
- si la remarque précédente est vraie la recherche d'un nombre premier coûterait 30% de calcul en moins
Voila, je profitais aussi du titre du dernier post dans cette section.
D.
Après avoir un peu hésité entre poster dans shtam ou dans arithmétique, je me lance, le contexte n'y étant pas pour rien. Il s'agit de l'observation d'une symétrie dans la collection des nombres premiers.
Je préviens que l'explication sera un peu confuse et que les termes mathématiques seront employés de travers ce qui agacera les professeurs de mathématiques.
On considère la collection des nombres premiers ordonnés dans l'ordre croissant.
On calcule l'écart entre chaque nombre premier (successeur moins prédécesseur), on réduit cet écart modulo 6 (ou 3 ce qui revient au même) et on associe à chaque nombre premier son écart réduit modulo 6 avec son successeur.
La collection 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... devient (2,1), (3,2), (7,4), (11,2), (13,4), ...
Les écarts réduits modulo 6 sont égaux à 2, 4 ou 0.
On compte à présent les nombres premiers selon l'écart réduit modulo 6 avec le successeur, un peu comme si on typait les nombres premiers et on obtient la symétrie suivante :
le nombre de nombres premiers associés à un écart de type 2 est égal au nombre de nombres premiers associés à un écart de type 4 (plus ou moins un en "réalité").
Un décompte sur le premier milliard de nombres premiers donne :
274 252 409 type 2
274 252 408 type 4
451 495 181 type 0
1 type 1
1 erreur
Total un 1 milliard de nombres premiers
Il y a deux petites choses intéressantes en plus :
- un nombre premier de type 2 n'est jamais suivi ou précédé d'un nombre premier de type 2, idem pour les nombres premiers de type 4, et idem aussi pour les nombres premiers de type 0
- si la remarque précédente est vraie la recherche d'un nombre premier coûterait 30% de calcul en moins
Voila, je profitais aussi du titre du dernier post dans cette section.
D.
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Réponses
Oui, c'est à peu près évident.
Soit P0, P1 et P2 3 entiers premiers consécutifs.
P0 peut être égal à 1 ou 5 modulo 6, pas d'autre possibilité.
Supposons que p0 et p1 soit de type 2.
Et dans ce cas, soit P1, soit P2 sera un multiple de 3, on a donc une impossibilité.
Idem, si on suppose que P0 et P1 sont de type 2, alors soit P1, soit P2 sera un multiple de 3. Donc là aussi une impossibilité.
Dans ton listing de nombres premiers, tu as oublié 5, qui est de type 2.
Et du coup, il y a un contre-exemple à ce qu'on vient d'écrire : 3 et 5 sont tous les 2 de type 2.
D.
Je pense que c'est hors de portée des techniques actuelles de rendre ça rigoureux.
Parce qu'on est dans shtam, je peux suggérer qu'il il y a peut-être une "ruse" en essayant de former un crible et procéder ensuite par récurrence.
Le crible essaierait de trouver un premier à partir au plus des deux précédents en appliquant les règles suivantes :
- le type d'écart 2 est toujours être suivi ou précédé d’un type d'écart 4 ou 6
- le type d'écart 4 est toujours être suivi ou précédé d’un type d'écart 2 ou 6
- le type d'écart 2 suit un type d'écart 6 si le dernier type d'écart précédent le type d'écart 6 est égal à 4
- le type d'écart 4 suit un type d'écart 6 si le dernier type d'écart précédent le type d'écart 6 est égal à 2
- une fonction f égale à : premier moins 3 fois partie entière de premier plus 1 divisé par 3 qui prend la valeur 1 ou - 1 et quand le type d'écart est égal à 0 qui répond toujours la même chose selon le type d'écart précédent.
Bon je n'ai pas trouvé le crible car je bute d'emblée sur le passage de 89 à 97, mais je "rêve" qu'une fois ce premier obstacle franchi les premiers s’enchaînent.
D.